第1講中值定理和有關(guān)方程的根問題

第一講：中值定理和有關(guān)方程根的問題中值定理在競(jìng)賽中具有特殊的地位，它是高數(shù)中不多的一種邏輯證明類的問題，分析味道足，綜合性強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯推理能力要求較高，很多同學(xué)對(duì)此比較畏懼，主要是因?yàn)槲覀兤綍r(shí)學(xué)習(xí)中沒有引起足夠重視，訓(xùn)練不夠。主要內(nèi)容：1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性，最值性、零點(diǎn)定理、介值定理）2、微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日，柯西中值定理，泰勒中值定理（公式））方程根的問題，屬于微積分應(yīng)用的范疇。1.1基本理論綜述一、涉及函數(shù)的中值定理設(shè)上連續(xù)，則定理1、有界性定理2、最值性定理3、介值定理：當(dāng)定理4、零點(diǎn)定理：當(dāng)二、涉及導(dǎo)數(shù)（微分）的中值定理定理5、費(fèi)馬定理滿足在處(1)可導(dǎo)，（2）取極值，則可導(dǎo)點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件拉格朗日中值定理羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理定理6-9羅爾，拉氏，柯西，泰勒共有條件：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)補(bǔ)充：導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理，導(dǎo)數(shù)介值定理定理10、設(shè)上可導(dǎo)，當(dāng)定理11、設(shè)上可導(dǎo)，當(dāng)三、涉及積分的中值定理定理12則至少存在一點(diǎn)上連續(xù)1.2思路與例題解析一、有關(guān)思路總結(jié)1、根據(jù)欲證結(jié)論的形式大致確定需要用哪一個(gè)或哪幾個(gè)定理，一般來說（1）如果結(jié)論中的中值屬于閉區(qū)間，則優(yōu)先考慮介值定理（2）若結(jié)論中的中值屬于開區(qū)間，則優(yōu)先考慮微分中值定理（比如拉氏定理）等（3）若結(jié)論比較簡(jiǎn)單，如，則優(yōu)先考慮羅爾定理,或利用費(fèi)爾馬定理（都是對(duì)n-1階導(dǎo)數(shù)用）（4）若結(jié)論中有兩個(gè)中值，則優(yōu)先考慮應(yīng)該大區(qū)間分為若干小區(qū)間，在各個(gè)小區(qū)間多次使用拉氏定理，或者直接考慮柯西中值定理（5）若結(jié)論中含有高階導(dǎo)數(shù)，則優(yōu)先考慮泰勒公式（6）若結(jié)論中含有函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，則優(yōu)先考慮拉格中值定理或者泰勒公式將其聯(lián)系起來若不滿足，則（2）改令一次積分，驗(yàn)證是否滿足羅爾定理，若不滿足，則（3）改令兩次積分，將大區(qū)間分為小區(qū)間各個(gè)小區(qū)間多次使用中值定理，二、例題解析2、若結(jié)論中的中值屬于開區(qū)間，且需要做輔助函數(shù)，（1）將結(jié)論中的中值改寫為，通過整理使等式一端為0，另一端記為，令驗(yàn)證是否滿足零點(diǎn)定理，滿足則命題成立，分析:所給條件可寫為想到找一點(diǎn)c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知,必存在設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且例8、證明存在例9、設(shè)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明，至少存在一點(diǎn)，使得分析，本題結(jié)論中的中值屬于閉區(qū)間，優(yōu)先考慮介值th(1)由于上連續(xù)，故上必取最大值M,和最小值m，則對(duì)（2）建立的關(guān)系，用拉氏定理于是，即，由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得例10、設(shè)上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，，證存在一點(diǎn)分析（1）閉區(qū)間，優(yōu)先用介值定理（2）可考慮用泰勒公式對(duì)展開式兩端積分得由于上連續(xù)，故由介值定理，存在例11、已知上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（1）（2）兩個(gè)不同的證明(1)所以有，由零點(diǎn)定理即證（2）用把分成兩個(gè)小區(qū)間，并分別用拉氏定理有，所以，例12，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在證明：用將劃分為，在這兩個(gè)區(qū)間上分別對(duì)使用拉格朗日中值定理，得和要證的等式比較，得即可于是取，命題得證注意：本題采用了反推思想，1.3泰勒中值定理（公式）—應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)公式①稱為的n

階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng).在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中其中類似可得其中特別地（5）佩亞諾余項(xiàng)（6）已知其中類似可得三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.常用的泰勒展開式由此，可得2.利用泰勒公式求極限解:由于用泰勒公式將分子展到項(xiàng),例1.求用洛必塔法則不方便

!例2、求分析，時(shí)，故同理所以原極限=例3當(dāng)與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)a,b分析，由題設(shè)，問題：用泰勒公式究竟要展開到幾階？注意一個(gè)要點(diǎn)就可以，叫做上下同階例4、求分析：分母是4次的，所以用泰勒公式時(shí)分子只需要展開到4階就可以了所以例1、設(shè)，求分析：所求階數(shù)不高，可以直接求，但是如果將展開至3階，設(shè)故例2、設(shè)析：3、利用泰勒公式計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)又由麥克勞林公式令4、用于邏輯推理證明問題例1、設(shè)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件為非負(fù)常數(shù)，證明，對(duì)任意的證明：上有二階導(dǎo)數(shù)，展開為泰勒公式為分別令得兩式相減得，上式兩端取絕對(duì)值，并放大在，有例2，若其中A為非零任意常數(shù)，且解：由題設(shè)知，存在足夠大,使得在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，由于結(jié)論要求是帶自變量x的，所以可以展開為泰勒公式為介于之間，令所以例2，設(shè)在上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且當(dāng)時(shí)，，證明：證明：由于在上二階導(dǎo)數(shù)連