數(shù)值分析小論文 土木工程學院

題目：常微分方程數(shù)值解法在鋼筋混凝土

梁變形分析的應用算法：常微分方程數(shù)值解法組號：第9組組員：馬寧濤邵鵬飛王麗君申陸林郭娜王倩聶廣虎常微分方程數(shù)值解法在鋼筋混凝土梁變形分析的應用邵鵬飛，馬寧濤，申陸林，聶廣虎（河南理工大學土木工程學院河南焦作454003）摘要：為了獲得鋼筋混凝土梁變形的規(guī)律，運用常微分方程數(shù)值解法，使用Matlab數(shù)值分析軟件，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)對均布荷載集度在簡支梁上不同位置所產生的彎矩值和撓度值的關系進行了函數(shù)分析，得出在保證梁的強度及其安全變形條件下，找到梁上最危險點，并提出了相關的措施建議。結果表明：簡支梁的位置中點處即為梁上最薄弱、危險位置。這個規(guī)律可以有針對性的對鋼筋混凝土梁進行加固處理提供理論依據(jù)，使梁具有更強的耐久性、抗拉及抗壓性。關鍵詞：Matlab；材料力學；結構力學；數(shù)值分析；裂縫UsingtheNumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquationstoDistorttheAnalysisApplicationIntheSimpleReinforcedConcreteBeamShaoPengfei，MaNingtao，ShenLulin，NieGuanghu4540C（SchoolofCivilEngineering,HenanPolytechincUniversity,Jiaozuo,Henan,China,Abstract:Inordertoobtaintherulewhichthesimplereinforcedconcretebeamdistorts,usingthenumericalmethodforordinarydifferentialequations,andtheMatlabnumericalanalysissoftware,havingcarriedonthefunctionalanalysistotherelationshipofbendingmomentvalueandamountofdeflectionvaluewhichisproducedbyequispacedloadcollectioninthesimplebeamdifferentpositionaccordingtotheexperimentaldata,obtainingtofindthemosthazardpointofthesimplebeaminguaranteeingthesimplebeam'sintensityandthesafedistortioncondition,andstatementingtherelatedmeasuresuggestions.Theresultsindicatethatthesimplebeam'scenterpointpositionisthesimplebeam'sweakestandmostdangerousposition.Thisrulecanprovidethetheorybasistocarryonreinforcementprocessingofthesimplereinforcedconcretebeamthatistarget-oriented,causingthesimplebeamtohavethestrongerdurability,tensilestrengthandcompressivestrength.4540CKeywords:Matlab；Materialsmechanics；Structuremechanics；Numericalanalysis；Crack0.問題背景在土木工程學科結構工程研究設計領域的鋼筋混凝土梁變形分析中，繪制內力圖.尋找到危險點的位置是完成梁的截面設計或強度校核的關鍵環(huán)節(jié)，并對此危險點提出措施進行加固，防止梁發(fā)生破壞。但在有些復雜荷載共同作用下的梁.其計算內力圖的過程比較復雜，費時耗力，在計算機高速發(fā)展的今天.我們可以運用計算機軟件技術輔助完成粱的內力計算和內力圖的繪制，可以應用數(shù)值分析軟件Matlab和Ansys，Matlab（MATrixLABoratory即矩陣實驗室）是當今國際科學界最具影響力和活力的科學計算軟件，具有功能強大、語言簡單、擴充能力和可開發(fā)性強、編程易且效率高等特點，使科技人員從繁瑣的編程過程中解脫出來，從而節(jié)省大量時間以主攻理論研究。我們可以利用Matlab軟件對簡支梁進行建模分析，利用其高效省時的編程代碼對簡支梁進行編程，快速計算出簡支梁的各部位的彎矩和撓度，以及繪制其彎矩圖和撓度圖，找出危險點位置，即為彎矩和撓度值最大處，并對此處危險點位置進行加固處理，防止梁發(fā)生進一步的破壞，從而提高建（構）筑物的可靠性和穩(wěn)定性。—作者簡介：專業(yè)學位-碩士研究生，主要從事土木工程方向研究。電子郵箱：

L問題分析及建立模型根據(jù)《材料力學》（文獻［1］）和《結構力學》（文獻［2］）知識可知，基本荷載有集中荷載，均布荷載，集中力偶，在小變形條件下，可以將梁所受的荷載分解為若干簡單的基本荷載。即上述三基本荷載，根據(jù)力的獨立作用原理，先分別計算出各簡單的基本荷載作用下梁的內力，然后應用疊加法得到任意荷載下梁的內力，為了簡單化，設梁上荷載只有均布荷載，如下圖1所示。圖1其中，集中荷載也可以轉換成均布荷載，以圖2所示中的集中荷載轉換成均布荷載為例。當a<b時，F(xiàn)=2qa；當a=b時，F(xiàn)=2qa=2qb；當a>b時，F(xiàn)=2qb，其中q，q，q互不相等。3 1 2 3圖2由以上問題分析可以求得梁的彎矩圖和撓度圖的流程為：開始n數(shù)據(jù)準備（確定直角坐標系，各數(shù)據(jù)正負值）n輸人數(shù)據(jù)（輸入梁的長度，已有和轉化后均布荷載集度大小、位置）n根據(jù)所得彎矩方程和撓度方程利用Matlab進行編寫代碼n得出梁的彎矩圖和撓度圖n結束。根據(jù)（文獻［4］），所建立的數(shù)學模型，利用Matlab編寫的代碼如下示：根據(jù)圖1所示可得x處彎矩的方程為：M（x）=—qlx-—qx2，根據(jù)彎矩方程可編寫代碼為:2 2X=0:0.1:4;M=0.5*q*l*x-0.5*q*x,八2;Plot（x,M）即可得到彎矩圖。根據(jù)圖1所示可得x處的撓度方程為：y=上（土qx4-1qlx3+—ql3x），根據(jù)（文獻［4］），EI24 12 24代入編程代碼中，具體Matlab程序如下所示:y=dsolve（E*I*D2y=0.5*q*1*工+0.5*q*必2','y（0）=0,y（1）=0','x'）。即可得到撓度圖。常微分方程數(shù)值解法的數(shù)學原理根據(jù)（文獻［3］）,由于Matlab在《數(shù)值分析》的常微分方程數(shù)值解法中是基于Euler、Runge-Kutta、Adams、Taylor方法和邊值問題等算法，對于工程技術人員來說，用這種方法分析鋼筋混凝土梁問題是非常適用的計算方法。其數(shù)學原理為：包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程。在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，稱為常微分方程。自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。如果未知函數(shù)y及其各階導數(shù)都是一次的，則稱它是線性的，否則稱為非線性的。y'y"... y（n）常微分方程（ODEs未知函數(shù)是一元函數(shù)）華=g--vdtm偏微分方程（PDEs未知函數(shù)是多元函數(shù)）竺+u竺=v竺迎+竺=0dt dx 8x2dx2dy在高等數(shù)學中，對于常微分方程的求解，給出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分離變量法、常系數(shù)齊次線性方程的解法、常系數(shù)非齊次線性方程的解法等，但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解。一階方程的初值問題為:<d=f（x，'）'x日"'"，要求函數(shù)f（x，y）適當光滑，實際問題y（x）=yV0 0中歸結出來的微分方程主要靠數(shù)值解法求解。數(shù)值解法就是尋求解y（x）在一系列離散節(jié)點，xi<x2<...<x.<七+1〈…上的近似值y<y<??-<y<y<???。相鄰兩個節(jié)點的間距。=x-x稱為步長，總是假定h為定數(shù)，1 2 n n+1 n+1n這時節(jié)點為xn=x0+nh,n=0,1,2,???，都采取“步進式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進，用已知的七,yn-1,^-2,…計算皿的遞推公式即可，這種計算公式稱為差分格式。算法的MATLAB實現(xiàn)3.1實驗數(shù)據(jù)彎矩值的計算，根據(jù)《材料力學》（文獻［1］）和《結構力學》（文獻［2］），設上述圖1矩形截面鋼筋混凝土簡支梁上的均布荷載集度q=2KN/m，L=4m，截面寬度和高度分別為140mm和210mm，彈性模量E=2x10-5MPa，彎曲時梁的許用應力為［c］=10MPa，［f］=總，將q值（其中q值為負）和L值代入編程代碼中，根據(jù)方程：M⑴二1qlx--qx2,具體程序如下所示。2 2撓度值的計算，根據(jù)《材料力學》（文獻［1］）和《結構力學》（文獻［2］），梁的強度校核和剛度校核是利用公式^=^Wmax，M-8ql2，W-6bh2，將上述各數(shù)據(jù)代入后得：M-8X2X42KNm，七=6x0.14mx0.212m2-0.00103m3，將所求得值待入梁正應力公式b=Mmax后得到：；=8 3.88MPa<［。］-10MPa，根據(jù)所求的結果可看出梁的W 0.00103m3z.強度要求得以保證，利用公式EIzy''=-M（x）和邊界條件x-0時七=0，x-1時yB=0，可求的x處的撓度方程為：y=上（上qx4-1qlx3^!ql3x），從而代入編程代碼中。EI24 12 243.2Matlab程序代碼（1） 利用Matlab軟件，根據(jù)上述所求彎矩的常微分方程求解，并將各相關數(shù)據(jù)代入編程代碼中，根據(jù)（文獻［4］），編寫的Matlab具體程序代碼如下所示：0，0q是施加在簡支梁上的均布荷載，l是簡支梁的長度。/x是距離簡支梁左端的距離，M是彎矩大小。-0q--2000；l—4；x-［0:0.1:4］；M-0.5*q*l*x一0.5*q*x.a2；plot（x,M,'r'）；xlabelC簡支梁上的位置坐標'）；ylabel（'簡支梁各位置的彎矩'）；title（'簡支梁的彎矩圖'）。從而可得彎圖為圖3所示。（2） 利用Matlab軟件，根據(jù)上述所求撓度的常微分方程求解，并將各相關數(shù)據(jù)代入編程代碼中，根據(jù)（文獻［4］），編寫的Matlab具體程序代碼如下所示：00q是施加在簡支梁上的均布荷載，l是簡支梁的長度?！闑是彈性模量，I是z軸的慣性矩。/x是距離簡支梁左端的距離。-0q--2000；E-2*10e11；I-1.0804e-004；q--2000；

l=4；x=［0:0.1:4］；y=1/E/1*（1'24*q*x.八4-112*q*l*x>3+124*q*l.八3*x）；plot（x,y,'r'）；xlabel（'簡支梁上的位置坐標'）；ylabel（'簡支梁各位置的撓度'）；title（'簡支梁的撓度圖'）。由此可求得X處撓度圖為圖4所示。4.計算結果及結果分析4.1計算結果(1)根據(jù)上述實例中鋼筋混凝土梁上給定的均布荷載集度值q和簡支梁長度值乙，以及相關數(shù)據(jù)，可求得簡支梁的彎矩值的分布，并得到梁上所能承受的最大彎矩值M^，取負彎矩。再利用Matlab軟件對鋼筋混凝土梁進行建模，在qmax值前后附近取值對梁進行加載，得出其彎矩圖3。柴削富晌型萸源缺甌圖3柴削富晌型萸源缺甌(2)根據(jù)梁的強度校核和剛度校核實例中，鋼筋混凝土梁上給定的彎曲時梁的許用應力［。］、彈性模量E、彎矩最大值M^^和彎曲截面系數(shù)W，以及相關數(shù)據(jù)，可求得簡支梁的撓度值的分布，并得到梁上所能承就的最大撓度值，取負值。再利用Matlab軟件對鋼筋混凝土梁進行建模，在q值前后附近取值對梁進行加載，得出其撓度圖4。簡支梁的撓度圖□ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3：5 4簡支梁上的位置坐標圖44.2結果分析圖3上根據(jù)簡支梁上的位置坐標（橫坐標x），簡支梁各位置的彎矩（縱坐標y），當簡支梁上的位置坐標x=2m時，彎矩值最大，其值為-4000^m，因而彎矩值最大值處所承受的均布荷載對梁的作用力效果最明顯，簡支梁的位置中點處即為梁上最薄弱、危險位置。圖4上根據(jù)簡支梁上的位置坐標（橫坐標x），簡支梁各位置的撓度（縱坐標y），當簡支梁上的位置坐標x=2m時，撓度值最大，其值為△'=-3.2xI0-5m=-3.2xlO一2mm，因而撓度值最大值處所承受的均布荷載對梁的作用力效果最明顯，簡支梁的位置中點處即為梁上最薄弱、危險位置。5.對梁加固的必要性及其措施建議根據(jù)鋼筋混凝土材料的力學性能（文獻［5］）分析得到，從本質上講，材料的破壞是由外部因素和內部因素決定的，外部因素主要是荷載，試件幾何形狀和環(huán)境影響，它們構成促使材料破壞的驅動力，內部因素主要是材料的性質、微觀組織和缺陷，形成抵抗材料破壞的阻力，驅動力大于阻力時破壞，小于阻力時安全。材料的裂紋可以是在冶金和加工過程中形成的，也可以是在外載下形成的。從無到有是材料的損傷過程，一旦形成裂紋，裂紋端部場的高應力區(qū)又會產生新的損傷和已有損傷的增長。結構的整體破壞是由局部薄弱環(huán)節(jié)首先開始，然后擴及整體，局部行為在破壞中起著關鍵性的作用。由上面的工程實例可以得出：簡支梁的位置中點處即為梁上最薄弱位置。所以對危險點位置的加固是有必要的。根據(jù)梁裂縫產生的原因不同，有設計原因，施工原因，使用原因，溫度原因等，可以得到具體的加固措施為：（1）如果裂縫在不降低承載力的情況下，采取表面處理法、充填法、注入法等簡易的處理方法。（2）如果裂縫情況影響了鋼筋混凝土構件的承載能力，就應更慎重分析比較，采用經濟高效的方法，