第二章-流體靜力學(xué)-終

§2.1平衡流體上的作用力§2.2流體平衡的微分方程式§2.3重力場(chǎng)中的平衡流體§2.4靜壓強(qiáng)的計(jì)算和測(cè)量§2.5靜止液體作用于壁面的總壓力§2.6液體的相對(duì)平衡第二章流體靜力學(xué)前言：一、流體靜力學(xué)的主要任務(wù)：

根據(jù)諸作用力的平衡關(guān)系研究流體處于靜止或相對(duì)靜止時(shí)的力學(xué)規(guī)律及其在工程技術(shù)上的應(yīng)用?！办o”——絕對(duì)靜止、相對(duì)靜止§2.1平衡流體上的作用力一、質(zhì)量力1.定義：質(zhì)量力指作用在流體全部質(zhì)點(diǎn)上并與受作用的流體質(zhì)量成比例的力。如重力、慣性力等。2.單位質(zhì)量力：在流體力學(xué)中，往往不直接用質(zhì)量力，而用單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力，簡(jiǎn)稱單位質(zhì)量力。則：例題：封閉容器盛水，在地面上靜止時(shí)水所受單位質(zhì)量力為多少？封閉容器從空中自由下落時(shí)，其單位質(zhì)量力又為多少？3.重力場(chǎng)中質(zhì)量力

答:

2.平衡流體的表面力及靜壓力的特征

(2)靜壓力特征

2)靜壓力的方向a.靜壓力方向沿作用面的內(nèi)法線方向N/m2（Pa）

b.任一點(diǎn)靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)

(1)平衡流體的表面力－靜壓力

1)靜壓力的大?。o壓強(qiáng)二、表面力1.定義：表面力是指作用于流體表面上并與作用表面積成比例的力。表面力按作用方向分為：法向表面力—壓力切向表面力—摩擦力。靜壓力的矢量表達(dá)式：面積矢：3）靜壓力的矢量表達(dá)式面積矢的模方向矢量：微元面積外法線方向的單位矢量§2.2

流體平衡的微分方程式

1.質(zhì)量力在靜止流體中任取一微元六面體，其邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz，坐標(biāo)的選取如下圖。一、歐拉平衡方程式點(diǎn)的壓強(qiáng)為

2.表面力六面體頂點(diǎn)A(x，y，z)的壓強(qiáng)為p，包含A點(diǎn)的三個(gè)相互垂直面上的靜壓強(qiáng)相等＝p壓強(qiáng)在平衡流體中是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)：作用在六面體的質(zhì)量力為：根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式：X方向：y方向：z方向：上式除以微元體質(zhì)量，得：建立x方向受力平衡關(guān)系式同理從y、z方向建立受力平衡關(guān)系式有：靜止流體平衡微分方程，也稱歐拉平衡微分方程。（1）質(zhì)量力與該方向上的表面力平衡；說(shuō)明：（2）平衡流體受哪個(gè)方向上的質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)在該方向上必然發(fā)生變化；（3）如果哪個(gè)方向上沒(méi)有質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)在該方向上必然保持不變。3.歐拉平衡微分方程二、壓強(qiáng)微分方程式及等壓面1.壓強(qiáng)微分方程式壓強(qiáng)微分方程式或歐拉微分方程式的綜合形式存在勢(shì)函數(shù)W（x、y、z）滿足：不可壓縮均質(zhì)流體2.質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)滿足：的函數(shù)W（x、y、z）稱為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)只有在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，不可壓縮流體才能處于平衡狀態(tài)。等壓面也是等勢(shì)面。等壓面與質(zhì)量力正交。兩種不相混合平衡流體的交界面必然是等壓面3.等壓面及性質(zhì)（1）等壓面定義：流體中壓力相等各點(diǎn)所組成的平面或曲面叫做等壓面等壓面上：（2）等壓面的微分方程式（3）等壓面的性質(zhì)兩式均為不可壓縮流體靜力學(xué)基本方程?！?.3重力場(chǎng)中的平衡流體

在實(shí)際應(yīng)用中，作用在平衡流體上的質(zhì)量力常常只有重力，以下就討論重力場(chǎng)中靜止流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。一、質(zhì)量力只有重力時(shí)靜力學(xué)基本方程對(duì)靜止流體，因：由（3）式有時(shí)，將上式積分得：對(duì)于靜止流體中任意兩點(diǎn)，有：位置水頭，：壓力水頭，平衡流體各點(diǎn)的總勢(shì)能由位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能組成，總勢(shì)能保持不變。物理意義：p/ρg——壓強(qiáng)水頭z——位置水頭

可以看出靜止流體中各點(diǎn)位置水頭和壓力水頭可以相互轉(zhuǎn)換，但各點(diǎn)測(cè)壓管水頭相等并為一水平線，如圖1、2兩點(diǎn)的測(cè)壓管液位在同一位置高度。真空值：絕對(duì)壓強(qiáng)：相對(duì)壓強(qiáng)：

一、靜壓強(qiáng)的測(cè)量基準(zhǔn)以絕對(duì)真空狀態(tài)的壓強(qiáng)為零點(diǎn)計(jì)量的壓強(qiáng)值。以當(dāng)?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c(diǎn)計(jì)量的壓強(qiáng)值。以當(dāng)?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c(diǎn)計(jì)量的小于大氣壓的數(shù)值。三者的關(guān)系可表達(dá)為：§2.4靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量注意：pv表示絕對(duì)壓強(qiáng)小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)而形成真空的程度，讀正值！壓強(qiáng)計(jì)算方法習(xí)慣上壓強(qiáng)基準(zhǔn)真空度

完全真空絕對(duì)壓強(qiáng)表壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)

二、靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位工程大氣壓（at）

=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，簡(jiǎn)讀公斤）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（atm）

=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O換算：1kPa=103Pa

1bar=105Pa液拄式壓強(qiáng)計(jì)：例求pA（A處是水，密度為ρ，測(cè)壓計(jì)內(nèi)是密度為ρ’的水銀）解：作等壓面例求pA（A處是密度為ρ的空氣，測(cè)壓計(jì)內(nèi)是密度為ρ’的水）解：氣柱高度不計(jì)

一端與測(cè)點(diǎn)相連，一端與大氣相連二、靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位金屬?gòu)椥允綁簭?qiáng)計(jì)電測(cè)式壓強(qiáng)計(jì)1.測(cè)壓計(jì)解：

例：在管道M上裝一復(fù)式U形水銀測(cè)壓計(jì)，已知測(cè)壓計(jì)上各液面及A點(diǎn)的標(biāo)高為：1=1.8m，

2=0.6m，3=2.0m，

4=1.0m，A=5=1.5m。試確定管中

A點(diǎn)壓強(qiáng)。2.壓差計(jì)

例求Δp（若管內(nèi)是水，密度為ρ，壓差計(jì)內(nèi)是密度為ρ’的水銀）解：作等壓面

兩端分別與測(cè)點(diǎn)相連Δh12ρρ’例求Δp

（管內(nèi)是密度為ρ的空氣，壓差計(jì)內(nèi)是密度為ρ’的水）解：Δh12ρ’3.微壓計(jì)（放大倍數(shù)）圖示斜平壁和坐標(biāo)系oxy,o點(diǎn)在自由液面上，y軸沿斜平壁向下。在面積A上取面元dA

，縱坐標(biāo)y，淹深為1.平壁總壓力大小§2.5靜止流體作用于壁面的總壓力工程背景：壓力容器，水壩，潛艇，活塞等；結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，安全性能，運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算等。條件：均質(zhì)流體，體積力為重力。一、作用于平面壁上的總壓力作用在dA

和A上的總壓力

pc為形心的壓強(qiáng)。表明作用在面積A上的總壓力大小等于形心壓強(qiáng)乘以面積。

在幾何上面積A對(duì)x

軸的面積矩yc

為面積A形心的縱坐標(biāo),為形心的淹深。2.確定總壓力的作用點(diǎn)：假設(shè)受壓面是軸對(duì)稱面（此軸與oy軸平行），則總壓力的作用點(diǎn)必位于此對(duì)稱軸上。所以，這里只需確定yD的值即可確定總壓力的作用點(diǎn)。由理論力學(xué)中的合力矩定理，有：其中為受壓面積對(duì)ox軸的慣性矩，用表示。因，故，即壓力中心D點(diǎn)一般在形心C點(diǎn)的下面。其中為該受壓面對(duì)通過(guò)它的形心并與x軸平行的軸的慣性矩。于是有

根據(jù)慣性矩平行移軸定理有：

在工程實(shí)際中，受壓面多為以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱面，算出后，壓力中心D的位置就完全確定。若受壓面不是軸對(duì)稱面，則確定后尙需確定xD，可類似上述的推導(dǎo)來(lái)推出xD。

常見(jiàn)圖形的lC和IC圖形名稱矩形三角形梯形圓半圓例：如圖，矩形底孔閘門，閘門的高度h＝3m，寬度B=2m，水深H1=10m，求作用在閘門上的靜壓力大小及壓力中心距基底的標(biāo)高。解：閘門所受水的總壓力P=γhcAx=9.8×4×π×0.5×0.5×sin60o=26.66kN例題：如圖，涵洞進(jìn)口裝有一圓形平板閘門，閘門平面與水平面成60o，鉸接于B

點(diǎn)并可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，門的直徑d=1m，門的中心位于上游水面下4m，門重

G=980N。當(dāng)門后無(wú)水時(shí)，求從A處將門吊起所需的力T。壓力中心D到B的距離B到T的垂直距離B到G的垂直距離根據(jù)理論力學(xué)平衡理論

工程中承受流體壓力作用的曲面常為二向曲面。因此，現(xiàn)以二向曲面為例求其總壓力。如圖，ab為承受液體壓力的圓柱曲面即二向曲面，其面積為A。自由液面通大氣，即自由液面相對(duì)壓強(qiáng)為零。在曲面ab上任取一微元面積dA，它的液下水深為h，液體作用在微元面積。二、作用在曲面壁上的力

上的總壓力為。

由于曲面壁上不同微元面積上的作用力的方向不同，因此求總壓力時(shí)不能直接在曲面壁上積分。常將dP進(jìn)行分解，再積分。將dP分解為水平和垂直的兩個(gè)分量dPx、dPz，然后分別在整個(gè)面積A上求積分，得Px、Pz。

式中：Ax為面積A在yoz平面的投影，為面積Ax對(duì)oy軸的靜面矩，所以則（8）（8）式即為流體作用在曲面壁上的總壓力水平分力公式。此式說(shuō)明水平分力等于液體作用在曲面投影面積Ax上的總壓力。1.總壓力的水平分力式中Az為面積A在自由液面xoy平面或其延伸面上的投影面積。為以曲面ab為底，投影面積Az為頂以及曲面周邊各點(diǎn)向上投影的所有垂直母線所包圍的一個(gè)空間體積稱為壓力體積，以V表示。2.總壓力的垂直分力Fz則（9）作用點(diǎn)通過(guò)壓力體體積的形心V——壓力體體積ρgV——壓力體重量流體作用在曲面上的總壓力是水平分力與垂直分力的合力。大小為：

如果壓力體與受壓面同側(cè)稱為實(shí)壓力體，垂直分力向下，如下圖a所示。如果壓力體與受壓面異側(cè)稱為虛壓力體，垂直分力向上，如下圖b所示。總壓力與x軸之間夾角的正切為：θFFxFz實(shí)壓力體與虛壓力體實(shí)壓力體虛壓力體3.壓力體的作法壓力體由以下各面圍成：（a）曲面本身；（b）通過(guò)曲面周界的鉛垂面；（c）自由液面或者延續(xù)面

。與深度無(wú)關(guān)——浮力p壓力體水平壓力

例題：如圖為一溢流壩上的弧形閘門。已知：R=8m，門寬b=4m，α=30o，試求：作用在該弧形閘門上的靜水總壓力。

解：閘門所受的水平分力為Px，方向向右即：閘門所受的垂直分力為Pz，方向向上閘門所受水的總壓力總壓力的方向§2.5液體的相對(duì)平衡下面以流體平衡微分方程式為基礎(chǔ)，討論質(zhì)量力除重力外，還有牽連慣性力同時(shí)作用的液體平衡規(guī)律。在這種情況下，液體相對(duì)于地球雖然是運(yùn)動(dòng)的，但液體質(zhì)點(diǎn)之間、質(zhì)點(diǎn)與器壁之間都沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以這種運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)平衡?，F(xiàn)討論以下兩種相對(duì)平衡。一、直線等加速器皿中液體的相對(duì)平衡重力（－g）慣性力（－a）如后圖，盛有液體的容器在與水平面成α角的斜面由上向下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a。當(dāng)α為零時(shí)，顯然液面為水平面。設(shè)加速度為a時(shí)液面與水平面成β角傾斜。設(shè)定xoz坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的中點(diǎn)。相對(duì)于此運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力有兩個(gè)：一是垂直向下的單位質(zhì)量重力，另一是與加速度反向的單位質(zhì)量慣性力。單位質(zhì)量力的三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量

1。等壓面方程有:

將上式積分可得勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的等壓面方程:這是一族平行平面，它們對(duì)水平面的傾角

顯然，自由表面還是等壓面，自由表面上的z坐標(biāo)用zs表示，按自由表面的邊界條件x=0，z=0，定出積分常數(shù)c=0，故自由表面方程應(yīng)是:

或直線勻加速的相對(duì)平衡液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程積分得出積分常數(shù)可由邊界條件x=0，z=0處p=p0得出于是：為計(jì)壓點(diǎn)在傾斜自由液面下的淹沒(méi)深度。2。壓強(qiáng)分布解：自由表面方程由得出例題：容器內(nèi)盛有液體垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速運(yùn)動(dòng)，試求此時(shí)的自由表面方程和液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律?，F(xiàn)說(shuō)明自由表面依然是水平面。壓強(qiáng)分布規(guī)律則由可得出現(xiàn)由，并在本情況中故

二、等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對(duì)平衡如圖，盛有液體的直立圓柱筒繞其中心軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，由于液體粘性，使筒內(nèi)液體都以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，此時(shí)液體自由表面已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面。下面推導(dǎo)這種以等角速度旋轉(zhuǎn)的相對(duì)平衡情況的等壓面方程和壓強(qiáng)分布規(guī)律。取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，z軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn)上。此時(shí)流體所受的質(zhì)量力亦是兩個(gè)：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，與r軸方向一致。

單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量：代入歐拉平衡微分方程綜合式：1。由等壓面方程在自由表面上：可見(jiàn)，等壓面族是一組以圓筒為中心軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。新自由表面的z坐標(biāo)用表示，超高:Xoy平面的回轉(zhuǎn)拋物體內(nèi)的液體的體積：液面的最大超高:r=R時(shí)V為最大超高圓柱形體積的一半

由x=0，y=0，z=0處p=p0得c=p0，代入上式整理得：這就是等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對(duì)平衡時(shí)壓強(qiáng)分