《概率》教材分析

概率教材分析人教B版選修2—3一、本章主要內(nèi)容與結(jié)構(gòu)1.

內(nèi)容

（1）離散型隨機變量及其分布列；（2）超幾何分布；（3）條件概率及事件的獨立性；（4）獨立重復(fù)試驗與二項分布；（5）隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差；（6）正態(tài)分布。2.

結(jié)構(gòu)概率是高中數(shù)學(xué)中非常重要的基礎(chǔ)知識，也是人類必備的常識，通過學(xué)習(xí)本章知識，初步學(xué)會利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現(xiàn)象的方法，并利用所學(xué)知識解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，初步形成用隨機觀念觀察分析問題的意識，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。3.本章地位和作用4.本章教學(xué)重點和難點離散型隨機變量及其分布列、期望和方差；

難點

重點對期望和方差的理解和計算，體會它們在實際問題中的應(yīng)用1.考試說明對《概率》部分的考點要求：二、課標(biāo)要求：2.知識點細化量表（個人意見）

知識點要求2.1.1離散型隨機變量隨機變量、離散型隨機變量C2.1.2離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念、離散型隨機變量的分布列分布列的性質(zhì)C二點分布B2.1.3超幾何分布超幾何分布的概念、超幾何分布的應(yīng)用A2.2.1條件概率條件概率、事件的交（或積）A2.2.2事件的獨立性相互獨立事件、相互獨立事件的概率公式B知識點要求2.2.3獨立重復(fù)試驗與二項分布n次獨立重復(fù)試驗的概念、n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率、二項分布B2.3.1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念、二點分布的期望、二項分布的期望，另：超幾何分布的期望、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的意義及應(yīng)用B2.3.2離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念、二點分布的方差、二項分布的方差，離散型隨機變量的方差的意義及應(yīng)用B2.3正態(tài)分布概率密度曲線、正態(tài)分布、正態(tài)曲線及性質(zhì)A三、教學(xué)建議（一）整體要求：《標(biāo)準(zhǔn)》（第27頁）概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義。教師應(yīng)通過日常生活中的大量實例，鼓勵學(xué)生動手試驗，正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，并嘗試澄清日常生活遇到的一些錯誤認識?！稑?biāo)準(zhǔn)》（第62頁）

學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)某些離散型隨機變量分布列及其均值、方差等內(nèi)容，初步學(xué)會利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現(xiàn)象的方法，并能用所學(xué)知識解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，初步形成用隨機觀念，觀察、分析問題的意識。解讀《課標(biāo)》1.通過實例，理解所有的概念，避免過分注重形式化的傾向。這部分內(nèi)容的每個概念，都必須運用數(shù)學(xué)和生活中的大量詳實事例引證或推理。教學(xué)中不應(yīng)簡單從抽象的定義出發(fā)，機械地模仿，得出概念。重點是理解“離散型隨機變量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正態(tài)分布”的概念。（1）離散型隨機變量:射擊問題、天氣預(yù)報、拋擲骰子、拋擲一枚硬幣等實例（2）獨立重復(fù)試驗與二項分布：姚明投籃、人壽保險、有放回的抽樣、拋硬幣100次等（3）…….解讀《課標(biāo)》2.“隨機觀念”貫穿于這部分內(nèi)容的始終。首先要認識離散型隨機變量的分布列對刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；其次掌握超幾何分布、二項分布是兩個非常重要的應(yīng)用廣泛的概率模型。另外正態(tài)分布應(yīng)用更廣泛。通過這些“分布”的學(xué)習(xí)，初步學(xué)會一種方法（即利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現(xiàn)象的方法），形成一種意識（用隨機觀念觀察分析問題的意識）。但“方法”和“意識”的培養(yǎng)，仍然離不開實例。

（二）、具體要求1.離散型隨機變量及其分布列（1）《課標(biāo)》要求：在對具體問題的分析中，理解取有限量的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。

解讀：隨機現(xiàn)象的兩個基本特點：①結(jié)果的隨機性；②頻率的穩(wěn)定性。了解隨機現(xiàn)象是指：①知道這個隨機現(xiàn)象中所有可能的結(jié)果；②知道每個結(jié)果出現(xiàn)的概率。（二）、具體要求(課本P70自測與評估)設(shè)隨機變量X的概率分布為P（X=k）=m/k(k=1,2,3,4):（1）確定常數(shù)m的值（2）寫出X的分布列（3）計算P（1<X<4)2.兩個重要的離散型隨機變量模型

通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用。在具體情境中，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題。

（1）《課標(biāo)》要求：（2）解讀：二項分布和超幾何分布是兩個應(yīng)用廣泛的概率模型，要求通過實例引入這兩個概率模型，不追求形式化的描述。注意超幾何分布的使用條件為不放回地抽取，二項分布的使用條件為n次獨立重復(fù)實驗相當(dāng)于有放回抽取。常見的離散型隨機變量的概率分布如果離散型隨機變量

的概率分布為:超幾何分布:則稱服從超幾何分布.期望:方差:

有一批產(chǎn)品N件，其中M件是次品.從中任意抽取n件產(chǎn)品進行檢驗，那么次品數(shù)服從超幾何分布.數(shù)學(xué)模型:

注:超幾何分布是產(chǎn)品抽樣檢查的高度概括.（教材P45）高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲。在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，摸到4個紅球的就中一等獎，求獲一等獎的概率。通過實例，理解超幾何分布及其推導(dǎo)過程，并能簡單的應(yīng)用。常見的離散型隨機變量的概率分布如果離散型隨機變量的概率分布為:二項分布:則稱服從二項分布,記作B(n,p)

.期望:數(shù)學(xué)模型:

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p,假設(shè)連續(xù)射擊中每次射擊是相互獨立的,那么在n次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)服從參數(shù)為n,p的二項分布.方差:注:二項分布是伯努利概型的高度概括,是引進隨機變量后的再認識,要注意到它們的一致性.二項分布的實例：

二項分布有著十分廣泛的應(yīng)用。比如下列問題中的隨機變量ξ都可以看作是服從二項分布的：n次獨立射擊，每次命中率相同，ξ為命中次數(shù)。一枚硬幣擲n次，ξ為正面出現(xiàn)的次數(shù)。常見的離散型隨機變量的概率分布幾何分布：如果隨機變量

的概率分布為：則稱

服從參數(shù)為p的幾何分布。

，

。數(shù)學(xué)模型：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p,假設(shè)連續(xù)射擊中每次射擊是相互獨立的，直到擊中目標(biāo)為止，那么射擊的次數(shù)

服從幾何分布。幾何分布在新課標(biāo)中已經(jīng)刪減掉.二項分布的實例:擲n個相同的骰子，ξ為一點出現(xiàn)的次數(shù)。

n個新生嬰兒，ξ為男嬰的個數(shù)。女性患色盲的概率為0.25%，ξ為任取n個女人中患色盲的人數(shù)。案例消除對“概率”的“誤解”。（教材P56例3）將一枚均勻的硬幣隨機拋擲100次，出現(xiàn)正面的概率為1/2，求恰好50次正面的概率為多少？二項分布的應(yīng)用

解：令ξ為擲100次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則ξ服從n=100,p=1/2的二項分布,那么“擲100次恰出現(xiàn)50次正面”的概率為

二項分布的應(yīng)用

很多人以為“100次出現(xiàn)50次正面”是必然的，或者說，它的概率應(yīng)該很大，但計算表明這概率只有8%左右，如何解釋？有人給出了一個擲均勻硬幣的模擬試驗（見費勒著《概率論及其應(yīng)用》），這試驗相當(dāng)于100個人，每人都擲100次均勻硬幣，記錄下各自擲出正面的次數(shù)如下：二項分布的應(yīng)用

實驗數(shù)據(jù)

54,46,53,55,46,54,41,48,51,5348,46,40,53,49,49,48,54,53,45,43,52,58,51,51,

50,52,

50,53,49,58,60,54,55,50,48,47,57,52,55,48,51,51,49,44,52,

50,46,53,41,49,50,45,52,52,48,47,47,47,51,45,47,41,51,49,59,50,55,53,50,53,52,46,52,44,51,48,51,46,54,45,47,46,52,47,48,59,57,45,48,47,41,51,48,59,51,52,55,39,41。

這里共擲了10000次，正面出現(xiàn)的次數(shù)，即上述100個數(shù)字之和，為4979，這表明正面出現(xiàn)的頻率為0.4979，可以認為硬幣是均勻的。另一方面，在上述100個數(shù)字中，50出現(xiàn)了7次。即“擲100次硬幣，出現(xiàn)50次正面”的頻率是7/100，和0.08相差不算大。

二項分布的應(yīng)用超幾何分布的實例

例如從全班任取n個人，取到女生的人數(shù)；從撲克牌中取n張，取到黑桃的張數(shù)；買n張彩票，中獎的張數(shù)，等等都可以用超幾何分布描述。中獎問題：

在獎券抽獎時，設(shè)發(fā)行了N張獎券，其中M張能中獎，中獎率是M/N。買n張獎券，令ξ為n張獎券中能中獎的張數(shù)，則ξ服從超幾何分布。中獎的概率是:

中獎問題：

假定發(fā)行的獎券數(shù)量巨大，可近似認為每張獎券是否中獎是相互獨立的，中獎率M/N不變，令ξ為n張獎券里中獎的張數(shù)，則ξ可看作服從二項分布。中獎問題：

我們用二項分布來近似描述抽獎問題。假設(shè)中獎率是千分之一，問買n張獎券能中獎的概率。解：令ξ為n張獎券里中獎的張數(shù)，可以近似認為ξ服從二項分布。中獎的概率記為，中獎問題：下表給出了數(shù)值的結(jié)果:n100020003000400050000.6320.8650.9500.9820.993

我們看到中獎率千分之一的獎券并非買1000張就能中獎，中獎的概率約為63%

；買3000張獎券中獎的概率為95%，再多買2000張，即買5000張，中獎的概率只提高了4.3%。3、離散型隨機變量的均值與方差（1）《課標(biāo)》要求：通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題。

（2）解讀：

離散型隨機變量的期望反映了離散型隨機變量的平均水平，而離散型隨機變量的方差反映了取值的穩(wěn)定性。期望對決策的作用

在實際中，有許多決策問題，例如，如何使成本最低，利潤最大，工期最短等等。它們通常表現(xiàn)為在一定的限制條件下，如何使某個量達到極大或極小。這類問題也被稱為優(yōu)化問題。4、正態(tài)分布

（1）《課標(biāo)》要求：通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直觀圖），認識正態(tài)分布、曲線的特點及曲線所表示的意義。

(2)解讀：要點：直觀認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。第一、通過實例，認識正態(tài)分布和正態(tài)曲線的意義?？梢杂酶郀栴D板實驗。第二，可以用計算機和幾何畫板研究正態(tài)曲線隨著μ和σ變化而變化的特點。并結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式及概率的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的特點和3σ原則。正態(tài)密度曲線圖象的特征；正態(tài)密度曲線——

函數(shù)表達式P(x)=，x

R；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)及3原則（在一次試驗里，x幾乎總是落在(

-3,

+3)中（99.73%））；會查正態(tài)分布表，（了解）任一正態(tài)分布X~N(，2)，可通過可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z~N(0，1)。4.用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)、解釋實際生活中的問題（1）.生日問題：有r個人，設(shè)每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，則事件

“r個人的生日都不同”的概率。

，即至少有2個人的生日在同一天的概率r1520232425304050550.250.410.510.540.570.710.890.970.99生日相同，其實這是一件很容易發(fā)生的事情。23人以上的班級，至少有2名同學(xué)生日相同的概率超過1/2，

55名同學(xué)的生日都不同的概率接近1%，至少有2名同學(xué)生日相同的概率接近99%。(2).電梯問題：一幢17層的塔樓，有r個人從第一層走進電梯，每人在哪一層下電梯是等可能的，則事件B“r個人在不同層走出電梯”的概率為

，當(dāng)r取2，4，6，10時事件

的概率分別為r