微積分課件 92 二重積分的計算(二)-

第二節(jié)二重積分的計算(二)二重積分的計算（一）在直角坐標(biāo)系下計算二重積分（累次積分）或yxdcX-型Y-型復(fù)習(xí)yxab例

計算其中xyo因此,針對不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點,選擇不同的坐標(biāo)系來計算二重積分是一個重要的問題.第二節(jié)二重積分的計算解(一)二重積分在極坐標(biāo)系下的計算(二)無界區(qū)域的的反常二重積分第二節(jié)二重積分的計算(二)極軸X極點Orxy

如果選取以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，以x軸為極軸，原點Ox軸二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算用以極點O為中心的一族同心圓,

設(shè)過極點O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點不多于兩點，把區(qū)域D分成n個小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，以及從極點出發(fā)的一族射線,在直角坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下的面積微元二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算則得故面積微元為這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達式為二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算

直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式

如何計算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計算二重積分在極坐標(biāo)系下的表達式為二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算要解決兩個問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算

極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分(1)若極點O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點O在區(qū)域D的邊界線上則有xoxoDD（只研究先對r后對θ的積分次序）下面根據(jù)極點O與區(qū)域D的位置分三種情況討論型區(qū)域(3)若極點O在區(qū)域D的內(nèi)部則有xoDo特殊地DD:x二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標(biāo)計算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)常能簡化計算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，等形式，要點與步驟:用直角坐標(biāo)系計算繁鎖或不能計算的可以用極坐標(biāo)計算;(2)畫區(qū)域圖,列出型區(qū)域,寫成極坐標(biāo)下的二次積分.二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算極坐標(biāo)下二重積分計算的基本步驟

(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),

②將區(qū)域D

的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，確定相應(yīng)的積分限.

將面積元素dxdy換為

.(2)將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分.(3)計算二次積分.則解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算例2

計算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.xyo在極坐標(biāo)系下二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算xy例3解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算例4

計算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算P36713（3）

例5

計算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解D的邊界曲線為x2+y2=2y，此時D可以表示為xyo其極坐標(biāo)表達式二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算解故例6二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算例7解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算利用區(qū)域的對稱性和函數(shù)奇偶性計算二重積分二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算例7解二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算

當(dāng)積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時，

一般說來，當(dāng)積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對計算二重積分的計算是至關(guān)重要的.而被積函數(shù)中含有

項時,選擇坐標(biāo)系選擇積分次序二重積分計算過程通常選擇在直角坐標(biāo)系下計算.下的計算方法往往比較簡便.二重積分計算方法總結(jié)：化為累次積分計算累次積分二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計算.采用極坐標(biāo)系三、無界區(qū)域上的廣義二重積分先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.例9

求廣義積分(正態(tài)分布）基本解法：解因為被積函數(shù)為偶函數(shù),例9

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計算。(正態(tài)分布）又因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),D令利用極坐標(biāo)計算H，二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算令利用極坐標(biāo)計算H，所以D正態(tài)分布二、無界區(qū)域上的廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.解

先考慮圓域二、無界區(qū)域上的廣義二重積分二.二重積分在極坐標(biāo)系中的計算一.二重積分在直角坐標(biāo)系中計算小結(jié)選擇坐標(biāo)系選擇積分次序化為累次積分計算累次積分第二節(jié)二重積分的計算作業(yè)：P36611（1），12（3），13（3）14

下次課內(nèi)容第九章

二重積分習(xí)題課第十章微分方程三.廣義二重積分基本解法

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.1.二重積分在極坐標(biāo)下的計算（在積分中注意使用對稱性）小結(jié)2.廣義二重積分基本解法：

先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解.第二節(jié)二重積分的計算(二)解答思考題練習(xí)題練習(xí)題答案由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性可得oxyD解例7二重積分在極坐標(biāo)下的計算oxy11D解例8二重積分在極坐標(biāo)下的計算二、二重積分在極坐標(biāo)系下