2018屆數(shù)學(xué)專題8.3圓錐曲線的綜合問題同步單元雙基雙測（B卷）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題8。3圓錐曲線的綜合問題(測試時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）1。雙曲線右支上一點Ｐ（a,b）到直線l：y=x的距離則a+b=（)A．–B．C．或D．２或–2【答案】B【解析】試題分析:由題意可知成立，且，解方程組可得考點：雙曲線方程及點到直線的距離2。已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則＝A．B．C．3D．2【答案】C【解析】考點：拋物線的定義．3。橢圓的左、右焦點分別為、，則橢圓上滿足的點（）A．有2個B．有4個C．不一定存在D．一定不存在【答案】D【解析】試題分析:點P為橢圓上任一動點，當(dāng)點P是短軸端點時，可求得，，即為銳角．同時可知，當(dāng)點P在此位置時，最大，所以不存在點P使，故選D．考點：存在性問題．4。已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為，若，則雙曲線的離心率為(）A．B．C．D．【答案】B【解析】考點：雙曲線的定義．【易錯點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的離心率,拋物線的定義．利用拋物線的定義可求得點的橫坐標(biāo),代入拋物線方程，可求得點的坐標(biāo)．而后利用雙曲線的定義可得的值，離心率就可求得．本題考查的知識點多，綜合性強(qiáng),以基礎(chǔ)知識為主,放在最后一個選擇題的位置難度不大．屬于中等難度．5。已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離不大于，則雙曲線的離心率的取值范圍是(）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離等于，選B。考點：雙曲線離心率【方法點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式,再根據(jù)a，b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.6。過拋物線的焦點作兩條垂直的弦，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì).7.【2018山西兩校聯(lián)考】已知雙曲線離心率為，則其漸近線與圓的位置關(guān)系是(）A。相交B.相切C.相離D.不確定【答案】C【解析】因為一條漸近線方程為，又離心率為,所以，所以漸近線方程為，由知圓心,半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離,故選C。8。已知點、是雙曲線:(，）的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線的右支上，且滿足,，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、橢圓的定義及離心率?！痉椒c晴】本題主要考查利用橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓的定義及離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率范圍問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式,從而求出的范圍.本題是利用勾股定理及橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合構(gòu)造出關(guān)于的不等式,最后解出的范圍的.9.已知雙曲線與拋物線的一個交點為，為拋物線的焦點，若,則雙曲線的漸近線方程為（)A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：設(shè)，根據(jù)拋物線的焦半徑公式:，所以，，代入雙曲線的方程，，解得：，所以，雙曲線方程是,漸近線方程是考點：1．雙曲線方程和性質(zhì)；2．拋物線的定義．名師點睛：對應(yīng)拋物線和兩個圓錐曲線相交的問題，多數(shù)從交點所滿足的拋物線的定義入手，得到交點的坐標(biāo)，然后代入另一個圓錐曲線，解決參數(shù)的問題．10.已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】考點:橢圓的幾何性質(zhì)．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍,解題的關(guān)鍵是利用對稱性得出就是,從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義．11?！?018山西名校聯(lián)考】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為,已知，,點是雙曲線右支上的動點，且恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是（)A.B。C.D.【答案】B【解析】垂直于軸，則為雙曲線的通徑的一半，，的坐標(biāo)為，則，，又，故有在第1象限上即在右支上，則有，即,故選B。12.【2018湖北黃岡中學(xué)一模】已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形。若,記橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（）A。B.C.D?！敬鸢浮緼可得c>,即有由離心率公式可得由于,則有。則的取值范圍為（,+∞)。故選:A.點睛:本題主要考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，明確橢圓和雙曲線的定義以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；本題中還用到了三角形變得性質(zhì):三角形的兩邊之和大于第三邊。二．填空題(共4小題，每小題5分，共20分）13.已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】綜上可得雙曲線方程為?？键c：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì)。14。已知橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別是，點是的中點，若，且，則橢圓的方程為.【答案】【解析】試題分析:由題意可得，①，,可得，即有②，解得，可得橢圓的方程為,故答案為.考點:1、待定系數(shù)求橢圓方程;2、平面向量數(shù)量積公式?！痉椒c晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于難題。用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟:①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組；④得方程:解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求．15.已知等腰梯形的頂點都在拋物線上，且，則點到拋物線的焦點的距離是__________．【答案】【解析】試題分析：建立坐標(biāo)系如圖所示，由題意可知由，則點到拋物線的焦點的距離是，故答案填?？键c：拋物線．【方法點晴】本題是一個關(guān)于拋物線及其幾何性質(zhì)方面的綜合性問題，屬于中檔題.解決本題的基本思路及切入點是，首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并且根據(jù)幾何圖形的特點，求出該等腰梯形的各個邊長，進(jìn)而表示出頂點的坐標(biāo),再根據(jù)點到直線的距離是，即可求出，再根據(jù)拋物線的定義，即可求出點到拋物線的焦點的距離.16?！?018湖南益陽兩校聯(lián)考】已知為雙曲線的左焦點，定點為雙曲線虛軸的一個端點,過兩點的直線與雙曲線的一條漸近線在軸右側(cè)的交點為,若,則此雙曲線的離心率為__________．【答案】三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17。已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為,短軸長為.(Ⅰ）求橢圓的方程;（Ⅱ)過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為,求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ）或．【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意列關(guān)于a、b、c的方程組，解方程得a、b、c的值，既得橢圓的方程；（Ⅱ）分兩種情況討論：當(dāng)直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為:，代入橢圓方程消去得：，再由韋達(dá)定理得,從而可得直線的方程．試題解析:（Ⅰ)由題意,，解得，即：橢圓方程為4分（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時,，此時不符合題意故舍掉；6分當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為:，代入消去得：．設(shè)，則8分所以，11分由，13分所以直線或．14分考點:1、橢圓的方程；2、直線被圓錐曲線所截弦長的求法；3、韋達(dá)定理．18?！?018湖南永州一?！恳阎獎訄A與圓相切，且經(jīng)過點。(1）求點的軌跡的方程；（2）已知點,若為曲線上的兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）(2)當(dāng)直線軸時，不成立,所以直線存在斜率，設(shè)直線．設(shè)，，則,，得，①，②又由，得③聯(lián)立①②③得，（滿足）所以直線的方程為19。在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0)交與M，N兩點，（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程;(Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ)存在【解析】試題分析：(Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo),再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ)先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程,設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系,從而找出適合條件的P點坐標(biāo).試題解析:（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即。故在=-處的到數(shù)值為-,C在處的切線方程為，即。故所求切線方程為或.……5分（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴。∴==.當(dāng)時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.……12分【考點定位】拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題;運(yùn)算求解能力20。已知橢圓：（)的一個焦點為，左右頂點分別為,經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓方程；(2）記與的面積分別為和,求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1）根據(jù)條件建立參數(shù)，,所滿足的方程，解方程組即可求解;（2）建立的函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)最值即可求解。當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為（）,設(shè),顯然,異號,由得，顯然，方程有實根，且，，此時，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴的最大值為.考點：1。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓中的最值問題.【方法點睛】求解范圍問題的常見求法：（1）利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；（2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；（3）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21.【2018東北名校聯(lián)考】在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點,是拋物線上的任意一點，當(dāng)位于第一象限內(nèi)時,外接圓的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過的直線交拋物線于兩點，且，點為軸上一點，且,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍。【答案】(1）（2)【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義與圓的性質(zhì)，可求出圓心到準(zhǔn)線的距離用表示,可得值;(2）設(shè),再由向量間關(guān)系可得坐標(biāo)間關(guān)系，令直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得中點坐標(biāo)，求出直線的垂直平分線方程，可求得點橫坐標(biāo),進(jìn)一步求出其取值范圍．試題解析：根據(jù)題意，點在的垂直平分線上,所以點到準(zhǔn)線的距離為，所以。（2)設(shè),設(shè)直線代入到中得，所以，又中點,所以直線的垂直平分線的方程為，可得.22.已知分別是橢圓的左、右焦點,曲線是以坐標(biāo)原點為頂點，以為焦點的拋物線，自點引直線交曲線于兩個不同的點，點關(guān)于軸對稱的點記為,設(shè)。（1）寫出曲線的方程；（2）若,試用表示;（3）若，求的取值范圍。【答案】（1）;（2);（3)【解析】試題分析：（1）橢圓焦點為,故；（2）設(shè)，將點的坐標(biāo)代入，化簡得，所以，代入求得,故；（3）由（1)（2）知，利用根