函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 課件

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（4）.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

nxn1一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)二、復(fù)習(xí)引入:(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；

(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，1）上是減函數(shù)，在（1,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)概念回顧畫出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢?發(fā)現(xiàn)問題：用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時(shí).例如y=x3+2x2-x.是否有更為簡捷的方法呢？下面我們通過函數(shù)的y=x2－4x＋3圖象來考察單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系：這表明：導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)2yx0.......再觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：總結(jié):該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù),在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正.而當(dāng)x=2時(shí)其切線斜率為0,即導(dǎo)數(shù)為0.函數(shù)在該點(diǎn)單調(diào)性發(fā)生改變.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，0）上是減函數(shù)，在（0,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是常數(shù)函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系題1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.題1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí),當(dāng)x>4,或x<1時(shí),當(dāng)x=4,或x=1時(shí),試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當(dāng)1<x<4時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x>4,或x<1時(shí),可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x=4,或x=1時(shí),綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14題2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:題2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)因?yàn)?所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)?所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.題2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(3)因?yàn)?/p>

,所以因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.(4)因?yàn)?所以當(dāng),即函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢?1、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）2、證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的方法：(1)求f’(x)(2)確認(rèn)f’(x)在(a,b)內(nèi)的符號(3)作出結(jié)論例1．如圖，設(shè)有圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖象大致是下列四種情況中的哪一種？解：由于是勻速旋轉(zhuǎn)，陰影部分的面積S(t)開始和最后時(shí)段緩慢增加，中間時(shí)段S增速快，圖A表示S的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符，圖A應(yīng)否定；圖B表示最后時(shí)段S的增速快，也與實(shí)際不符，圖B也應(yīng)否定；圖C表示開始時(shí)段與最后時(shí)段S的增速快，也與實(shí)際不符，圖C也應(yīng)否定；圖D表示開始與結(jié)束時(shí)段，S的增速慢，中間的時(shí)段增速快，符合實(shí)際，應(yīng)選D。例2．確定函數(shù)f(x)=x2－2x+4在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f’(x)＞0，

f(x)是增函數(shù).令2x－2＜0，解得x＜1.∴當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f’(x)＜0，

f(x)是減函數(shù).例3如圖,水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.如圖,函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”,在或內(nèi)的圖象平緩.例4．找出函數(shù)f(x)=x3－4x2+x－1的單調(diào)區(qū)間。解：f’(x)=3x2－8x+1，令3x2－8x+1>0，解此不等式得或因此，區(qū)間為f(x)的單調(diào)增區(qū)間；令3x2－8x+1<0，解此不等式得因此，區(qū)間為f(x)的單調(diào)減區(qū)間。例5．證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù).證明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，∵x>0，∴x2>0，∴－＜0.即f’(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù).練習(xí)1.函數(shù)的圖象如圖所示,試畫出導(dǎo)函數(shù)圖象的大致形狀2．函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0，1)上是(

)(A)單調(diào)增函數(shù)

(B)單調(diào)減函數(shù)

(C)在(0,)上是減函數(shù)，在(,1)上是增函數(shù)

(D)在(,1)上是減函數(shù)，在(0,)上是增函數(shù)C3.求證:函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).解:由,解得,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是,即函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).4．當(dāng)x>1時(shí)，證明不等式：證明：設(shè)f(x)=顯然，f(x)在[1，∞)上連續(xù)，且f(1)=0．f’(x)=∵x>1,∴>0，于是f’(x)>0.故f(x)是[1，+∞)上的增函數(shù)，應(yīng)有：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(1)=0，即當(dāng)x>1時(shí)，5.討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應(yīng)地,函數(shù)的遞減區(qū)間是由,得,即函數(shù)的遞增區(qū)間是;相應(yīng)地,函數(shù)的遞減區(qū)間是小結(jié)

函數(shù)的單調(diào)性:對于任意的兩個(gè)數(shù)x1，x2∈I，且當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù).

對于任意的兩個(gè)數(shù)x1，x2∈I，且當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的減函數(shù).此時(shí)x1-x2與f(x1)-f(x2)異號,即如果函數(shù)y=f(x)在x的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)，總有f’(x)>0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；如果函數(shù)y=f(x)在x的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)，總有f’(x)<0，則f(x)在