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1第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用1、留數(shù)2、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分3、輻角原理及其應(yīng)用21、留數(shù)的定義§1留數(shù)1.1引入30(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)41.2定義1Residue5注：62、留數(shù)定理定理1證明由復(fù)合閉路定理得7Dcznz1z3z2于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！83、留數(shù)的計(jì)算9證明:由條件,得10特別注可直接展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)求來(lái)計(jì)算留數(shù).2.在應(yīng)用公式時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.

為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如為m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),11證畢.證明:12例1解:13例2解:14例3解:例4解:15例5解:另解:16例如取m=6,提示：還有其他奇點(diǎn)？

17(這個(gè)方向很自然地可以看作是繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向).4、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義2注18注意到：再由無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到定理2若在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在所有奇點(diǎn)（包括無(wú)窮點(diǎn)）處的留數(shù)之和為零.19命題證明：20說(shuō)明:定理二提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.解：函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒(méi)有其他奇點(diǎn).21與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部,所以可見(jiàn),利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.22例6

計(jì)算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為則由于與1在C的內(nèi)部,所以23練習(xí)解:所以故243、留數(shù)的計(jì)算規(guī)則本

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