選用合理參數(shù)解直線與圓錐曲線綜合題

直線與圓錐曲線綜合題一般通過直線方程與圓錐曲線方程的聯(lián)立得到一個(gè)關(guān)于 x或y的方程，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解， 但是利用向量或者三角函數(shù)有時(shí)也很簡(jiǎn)單， 其中利用向量已經(jīng)成為近年的考查熱點(diǎn)， 我們首先通過一個(gè)題目的三種解法了解三種方法一般過程.引例：已知橢圓C:x2y21上一動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，點(diǎn)D的坐標(biāo)為43(4,0)，直線PD交橢圓C于點(diǎn)F，求證：直線QF經(jīng)過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).一、三種解法：解法一（設(shè)k法）：設(shè)P(x1,y1)，則Q(x1,y1)，設(shè)F(x2,y2)，顯然直線PD有斜率，設(shè)直線PD的方程為yk(x4)，代入C:x2y21并整理得：43(34k2)32k2x64k2120.由題意必有0，于是由根與系數(shù)關(guān)系得：x1x232k22,x1x264k21234k34k2，直線QF方程為yy2y2y1(xx2)，當(dāng)y2y10，x2x1x2x1令y0有xxy2(x2x1)，2y2y1把y1k(x14),y2k(x24)代入整理得：2x1x24(x1x2)32k264k212xxx8，再將x1x234k2,x1x234k212代入上式化簡(jiǎn)得x1.所以直線QF過定點(diǎn)(1,0).當(dāng)y2y10時(shí)，y2y10，直線QF即x軸，也過定點(diǎn)(1,0).x2x1綜上直線QF過定點(diǎn)(1,0).解法二（設(shè)法）：設(shè)P(x1,y1)，則Q(x1,y1)，設(shè)F(x2,y2)，直線QF與x軸交點(diǎn)為M(m,0)，則DP(x14,y1),DF(x24,y2)，MQ(x1m,y1),MF(x2m,y2)，1設(shè)DPDF，MQMF（由圖知1），x14(x24)x1x244(1)y1y2y1y2(2)則有x1m(x2m)，即x1x2mm(3)y1y2y1y2(4)又P(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)在C:x2y21上，43(x244)2(y2)2(5)41所以3，x22y221(6)43(5)(6)2得：(x244)2(x2)212，441x244)(44)(1)(1)，注意到1，(24上式化簡(jiǎn)為2x2441，即2x2530，由(2),(4)知，于是(3)即x1x2mm，x244x1(7)這樣我們有x2mmx1(8)，2x2530(9)(7)(8)(9)得(1)m(1)0，即(1)(1m)0，注意到1，所以m1.即直線QF過定點(diǎn)(1,0).解法三（設(shè) 法）：設(shè)P(2cos, 3sin),Q(2cos, 3sin),F(2cos, 3sin ),設(shè)直線QF與x軸交點(diǎn)為M(m,0)，又D(4,0)，顯然 P,F,D所在直線有斜率，于是3sin03sin0，即sinsin，2cos42cos42cos42cos4即sincoscossin2(sinsin)，2即sin()22sincos，22即2sin2cos222cos2sin，2顯然sin20，否則P,F重合，于是cos2cos，223sin03sin0由Q,F,M三點(diǎn)共線得：m2cosm2cossinsin，于是當(dāng)sinsin0時(shí)，2cosm2cosm2(sincoscossin)22sin2cos2cos1，msin22sin2sincoscos222即直線QF過定點(diǎn)(1,0).當(dāng)sinsin0時(shí)，y2y10，直線QF即x軸，也過定點(diǎn)(1,0).綜上直線QF過定點(diǎn)(1,0).二、三種解法的比較：仔細(xì)分析題意，可以發(fā)現(xiàn)，題目的條件有三個(gè)點(diǎn)在曲線上（考慮到P,Q的對(duì)稱，實(shí)際上可以看作只有兩個(gè)點(diǎn)在曲線上），有兩個(gè)三點(diǎn)共線，現(xiàn)在把三種解法中對(duì)于點(diǎn)在曲線上和三點(diǎn)共線的轉(zhuǎn)化作一次比較，我們希望從這個(gè)比較中看到它們的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，并進(jìn)一步研究面對(duì)具體問題應(yīng)該如何選擇簡(jiǎn)單的方法，請(qǐng)看下表：三個(gè)點(diǎn)P,Q,F在C:x2y2143的轉(zhuǎn)化設(shè)yk(x4),kx2y2法1.43

P,F,D三點(diǎn)共線與Q,F,M三點(diǎn)共線的轉(zhuǎn)化y1k(x14),y2k(x24),yy2y2y1(xx2).x2x1

方法比較點(diǎn)的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程的根，利用根與系數(shù)關(guān)系可得x1,x2與k的關(guān)系，化簡(jiǎn)目標(biāo)十分明確，但是注意沒有斜率和斜率為零的情況，這是解決直線與圓錐曲線的一般方法.3設(shè) x12 y12

1,

x1 4 (x2 4),

利用y1 y2可以消去 y1,y24 3法x22 y22 1.4 3設(shè)P(2cos,3sin),Q(2cos, 3sin),法F(2cos, 3sin).

y1 y2,x1 m (x2 m),y1 y2.3sin03sin02cos42cos,4sinsin.2cosm2cosm

得x1,x2與 的關(guān)系，化簡(jiǎn)的目標(biāo)需要仔細(xì)分析，明確消去哪個(gè)未知數(shù)，但是由于化簡(jiǎn)使用了平方差公式，使得計(jì)算比較簡(jiǎn)單，而且避開了有關(guān)斜率的討論，這是向量法的優(yōu)越性.x1,x2,y1,y2的關(guān)系直接化為的關(guān)系，利用三角恒等變換尋求,的更加簡(jiǎn)明的關(guān)系，直接求得 m的值，但容易忽視討論，三角恒等變形也是一個(gè)難點(diǎn).三、在一個(gè)具體的問題中，如何選用這三種方法呢？下面結(jié)合具體的例子談?wù)勔话阋?guī)律：1、當(dāng)題目條件與結(jié)論涉及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，長(zhǎng)度，傾斜角與斜率等問題時(shí)，一般選用設(shè)k法這個(gè)一般方法：例題1：過拋物線y24x的焦點(diǎn)F作弦，且|AB|8，直線AB與橢圓22AB3x2y1交與兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線AB傾斜角的取值范圍.解：由已知得F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為y k(x 1).yk(x1)2(k22)xk20.由4x得：k2x2y2顯然k0，[2(k22)]24k2k216(k21)0，4k218，解得k2所以|AB|2|21.|kkyk(x1)22222由2y2得：(2k3)x4kx2k20，顯然2k3)0，3x2116k44(2k23)(2k22)8(3k2)0，解得k23.所以1|k|3，即1|tan|3，又[0,)，所以[,)(2,3].433442、當(dāng)題目條件與結(jié)論涉諸點(diǎn)共線或者線段之比時(shí)，一般選用設(shè) 法：x221，過右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交y軸例題2：已知橢圓C:y5于M點(diǎn)，B,F在A,M之間，求|MB||MA|的值.|BF||AF|解：設(shè)MA1AF,MB2BF，則OAOM1OF，OBOM2OF，其中O1112為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)M(0,y0)，由于F(2,0)，所以A(21,y0)，B(22,y0)，1111121221y0)代入橢圓C:x221得：121)2(y0)21，去分母整理把A(,5y(111151111220，同理可得210220，所以1,2是方程得：110155y0255y021055y020的兩個(gè)根，所以1210.|MA|,2|MB||MB||MA|10.結(jié)合圖形可知，1，所以|AF|12|AF||BF||BF|3、遇到求曲線上的點(diǎn)與直線的距離的最值問題、范圍問題時(shí)，選用設(shè)法比較簡(jiǎn)單：例題3：求橢圓C:x2y21上的點(diǎn)與直線l:xy10距離的最大值.916解：設(shè)P(3cos,4sin