2018學數(shù)學二輪復習練酷專題課時跟蹤檢測（二十五）創(chuàng)應用問題理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE課時跟蹤檢測(二十五)創(chuàng)新應用問題1．(2017·大連二模)定義運算：xy＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，xy≥0，，y,xy＜0，））例如：34＝3,（－2)4＝4，則函數(shù)f（x）＝x2（2x－x2）的最大值為(）A．0 B．1C．2 D．4解析：選D由題意可得f（x）＝x2（2x－x2）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2，0≤x≤2,,2x－x2,x＞2或x＜0,）)當0≤x≤2時,f（x）∈[0，4]；當x＞2或x＜0時，f(x)∈（－∞，0）．綜上可得函數(shù)f(x)的最大值為4.2．朱載堉(1536—1611),是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制成了最早的“十二平均律"．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2。則eq\f（f2，f1)＝()A。eq\r(3,2） B.eq\r（11,16）C．4eq\r（12,2) D.eq\r(8，2）解析:選A設(shè)13個音的頻率所成的等比數(shù)列｛an｝的公比為q，則依題意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2eq\f(1,12），所以eq\f(f2，f1）＝eq\f（a7,a3)＝q4＝2eq\f(1，3)＝eq\r（3,2）.3．（2017·宜昌三模)已知甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份相同，甲車間以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值,乙車間以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同．到2017年7月份發(fā)現(xiàn)兩車間的月產(chǎn)值又相同，比較甲、乙兩個車間2017年4月份月產(chǎn)值的大小，則(）A．甲車間大于乙車間B．甲車間等于乙車間C．甲車間小于乙車間D．不確定解析：選A設(shè)甲車間以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值a，乙車間每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比為x，甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份均為m，則由題意得m＋6a＝m×(1＋x）6。①4月份甲車間的月產(chǎn)值為m＋3a,4月份乙車間的月產(chǎn)值為m×（1＋x）3,由①知，（1＋x)6＝1＋eq\f(6a,m),即4月份乙車間的月產(chǎn)值為meq\r（1＋\f（6a,m））＝eq\r（m2＋6ma),∵（m＋3a）2－(m2＋6ma）＝9a2＞0，∴m＋3a＞eq\r(m2＋6ma）,即4月份甲車間的月產(chǎn)值大于乙車間的月產(chǎn)值．4.如圖,某廣場要規(guī)劃一矩形區(qū)域ABCD，并在該區(qū)域內(nèi)設(shè)計出三塊形狀、大小完全相同的小矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周均設(shè)置有1m寬的走道，已知三塊綠化區(qū)的總面積為200m2，則該矩形區(qū)域ABCD占地面積的最小值為(）A．248m2 B．288m2C．328m2 D．368m2解析:選B設(shè)綠化區(qū)域小矩形的寬為x，長為y，則3xy＝200,∴y＝eq\f(200，3x），故矩形區(qū)域ABCD的面積S＝(3x＋4）(y＋2）＝(3x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200,3x）＋2))＝208＋6x＋eq\f（800，3x）≥208＋2eq\r（1600）＝288,當且僅當6x＝eq\f(800,3x），即x＝eq\f(20，3)時取“＝”，∴矩形區(qū)域ABCD的面積的最小值為288m2。5．已知函數(shù)y＝f（x)(x∈R）,對函數(shù)y＝g（x)(x∈R）,定義g(x)關(guān)于f（x)的“對稱函數(shù)"為函數(shù)y＝h（x)（x∈R)，y＝h（x）滿足:對任意的x∈R，兩個點(x,h(x）），(x,g(x))關(guān)于點（x，f(x））對稱．若h（x)是g（x)＝eq\r（4－x2）關(guān)于f（x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)"，且h（x)＞g（x)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是________．解析：根據(jù)“對稱函數(shù)"的定義可知,eq\f(hx＋\r（4－x2），2）＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－eq\r（4－x2)，h（x）＞g（x）恒成立，等價于6x＋2b－eq\r（4－x2)＞eq\r（4－x2)，即3x＋b＞eq\r（4－x2)恒成立,設(shè)F（x）＝3x＋b,m（x）＝eq\r(4－x2），作出兩個函數(shù)對應的圖象如圖所示，當直線和上半圓相切時,圓心到直線的距離d＝eq\f(|b｜，\r(－12＋32）)＝eq\f(|b|，\r(10）)＝2，即|b｜＝2eq\r(10）,∴b＝2eq\r(10)或b＝－2eq\r（10)（舍去），即要使h(x）＞g（x)恒成立，則b＞2eq\r（10)，即實數(shù)b的取值范圍是(2eq\r（10)，＋∞）．答案：（2eq\r(10)，＋∞）6．三國魏人劉徽，自撰《海島算經(jīng)》,專論測高望遠．其中有一題：今有望海島,立兩表齊，高三丈,前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高均為3丈的標桿BC和DE，前后標桿相距1000步,使后標桿桿腳D與前標桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上,從前標桿桿腳B退行123步到F，人眼著地觀測到島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后標桿桿腳D退行127步到G，人眼著地觀測到島峰，A，E，G三點也共線，問島峰的高度AH＝________步．（古制:1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)解析：如圖所示，由題意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步,設(shè)AH＝h步,因為BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以eq\f(BC,AH)＝eq\f(BF,HF）,所以eq\f（5,h)＝eq\f（123，HF),即HF＝eq\f(123h,5）。因為DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以eq\f（DE,AH)＝eq\f（DG,HG），所以eq\f（5,h）＝eq\f（127,HG），即HG＝eq\f(127h，5），由題意(HG－127)－(HF－123)＝1000,即eq\f（127h,5）－eq\f(123h，5）－4＝1000，h＝1255，即AH＝1255步．答案:12557．對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x），若存在閉區(qū)間［a，b]?D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1)＝c，且對任意x2∈D，當x2?[a，b］時，f（x2)＜c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列結(jié)論：①“平頂型"函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；②函數(shù)f(x）＝x－｜x－2|為R上的“平頂型”函數(shù);③函數(shù)f（x）＝sinx－|sinx|為R上的“平頂型"函數(shù)；④當t≤eq\f(3,4)時，函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2，x≤1，,log\f(1，2)x－t，x＞1)）是區(qū)間[0，＋∞)上的“平頂型"函數(shù)．其中正確的結(jié)論是________．（填序號)解析:由于“平頂型”函數(shù)在區(qū)間D上對任意x1∈[a，b]，都有f（x1)＝c，且對任意x2∈D，當x2?[a,b］時，f（x2)＜c恒成立，所以“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值c,①正確；對于函數(shù)f（x）＝x－|x－2|，當x≥2時，f（x）＝2，當x＜2時，f(x)＝2x－2＜2，所以②正確；函數(shù)f（x）＝sinx－｜sinx｜是周期為2π的函數(shù)，所以③不正確；對于函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2，x≤1,，log\f（1,2)x－t,x＞1））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤\f(3，4)）），當x≤1時，f(x）＝2，當x＞1時，f（x）＜2,所以④正確．答案:①②④8．（2018屆高三·蘭州八校聯(lián)考）某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源，新研發(fā)了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(單位：元)與月處理量x(單位：噸)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3－80x2＋5040x，x∈［120,144，，\f（1，2）x2－200x＋80000，x∈[144，500］，）)且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的價值為200元，若該項目不獲利,政府將給予補貼．（1)當x∈［200，300］時,判斷該項目能否獲利．如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利,則政府每個月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損．（2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低？解：(1)當x∈［200,300]時，設(shè)該項目所獲利潤為S，則S＝200x－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x2－200x＋80000))＝－eq\f（1，2）（x－400）2，所以當x∈［200，300］時，S＜0,因此該項目不能獲利．當x＝300時，S取得最大值－5000，所以政府每個月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損．(2)由題意可知，每噸生活垃圾的平均處理成本為f(x)＝eq\f（y，x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）x2－80x＋5040,x∈[120，144,，\f(1,2）x＋\f(80000，x）－200，x∈[144，500］，)）當x∈[120,144）時，f(x)＝eq\f（1，3)x2－80x＋5040＝eq\f（1,3)（x－120）2＋240，所以當x＝120時，f(x)取得最小值240；當x∈［144,500]時，f(x）＝eq\f（1，2）x＋eq\f（80000，x）－200≥2eq\r（\f(1，2）x×\f(80000,x)）－200＝200，當且僅當eq\f（1,2）x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時,f(x)取得最小值200，因為200＜240,所以當每月處理量為400噸時，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低．9．為了維持市場持續(xù)發(fā)展,壯大集團力量,某集團在充分調(diào)查市場后決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進行投資生產(chǎn)，打入國際市場．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：萬美元）：年固定成本每件產(chǎn)品的成本每件產(chǎn)品的銷售價每年可最多生產(chǎn)的件數(shù)甲產(chǎn)品20a10200乙產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),a為常數(shù),且6≤a≤8.另外，當年銷售x件乙產(chǎn)品時需上交0。05x2萬美元的特別關(guān)稅，假設(shè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品均可售出．(1）寫出該集團分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)x（x∈N＊）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤；(3)如何決定投資可使年利潤最大．解：（1)y1＝（10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N＊）．（2)∵10－a＞0，故y1為增函數(shù)，∴當x＝200時，y1取得最大值1980－200a，即投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤為(1980－200a）萬美元．y2＝－0。05（x－100)2＋460（1≤x≤120，x∈N*),∴當x＝100時,y2取得最大值460，即投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為460萬美元．(3)為研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，我們采用作差法比較：由(2）知生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤為(1980－200a）萬美元,生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為460萬美元，（1980－200a)－460＝1520－200a，且6≤a≤8，當1520－200a＞0，即6≤a＜7.6時，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；當1520－200a＝0，即a＝7.6時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品與生產(chǎn)乙產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；當1520－200a＜0，即7.6＜a≤8時,投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤．10．某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績（單位：分）評定“合格"“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化：“合格"記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果如下表，對應的頻率分布直方圖如圖所示。等級不合格合格成績[20，40）[40,60)[60，80)［80，100]頻數(shù)6a24b（1）求a,b，c的值;（2)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格"和“不合格”的學生中選取10人進行座談，現(xiàn)從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ)；(3)某評估機構(gòu)以指標MM＝eq\f（Eξ,Dξ),其中D（ξ）表示ξ的方差來評估該校安全教育活動的成效．若M≥0。7，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應調(diào)整安全教育方案．在(2)的條件下，判斷該校是否應調(diào)整安全教育方案？解:（1)由頻率分布直方圖，可知成績在［20，40)內(nèi)的頻率為0.005×20＝0.1，故抽取的學生答卷數(shù)為eq\f（6，0。1)＝60，由頻率分布直方圖可知，得分在［80,100]內(nèi)的頻率為0。01×20＝0.2,所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋12＝60，所以a＝18，所以c＝eq\f（18，60×20）＝0。015.(2）“不合格”與“合格"的人數(shù)之比為24∶36＝2∶3，因此抽取的10人中“不合格"的學生有4人,“合格"的學生有6人，所以ξ的所有可能取值為20，15，10，5,0。所以P(ξ＝20）＝eq\f（C\o\al(4,6)，C\o\al（4,10））＝eq\f(1,14），P(ξ＝15)＝eq\f（C\o\al