第8章-最優(yōu)消費(fèi)投資決策連續(xù)時(shí)間解析

第8章最優(yōu)消費(fèi)/投資決策:連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間模型假定消費(fèi)/投資決策可以連續(xù)調(diào)整，事實(shí)上如果調(diào)整間隔非常短的話，則它是一種良好的近似，因此相對于離散模型來說，它更為靈活。連續(xù)時(shí)間理論以連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程理論為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，鑒于對它的研究已有上百年的歷史，有大量的成果和工具可供使用，因此它也成為了成果最為豐富的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域。它在各個(gè)方面都產(chǎn)生了比它們的離散時(shí)間等價(jià)物更為精準(zhǔn)和明確的結(jié)果，即便是在存在明顯交易費(fèi)用（transactioncost）的情況下（這使得真實(shí)交易必定是離散的），許多結(jié)論同樣也可以成立。從金融分析的歷史沿革來看，解決（連續(xù)時(shí)間）跨期最優(yōu)消費(fèi)/投資問題，歷來有以下兩種思路（或者說方法）。（1）隨機(jī)最優(yōu)控制方法。它被稱為傳統(tǒng)方法，它基于隨機(jī)控制方法的一些標(biāo)準(zhǔn)成果，該方法在離散時(shí)間環(huán)境下的應(yīng)用，我們在上一節(jié)中已經(jīng)詳細(xì)討論過。在連續(xù)時(shí)間環(huán)境下，求解最優(yōu)控制C*和w*的關(guān)鍵，是解一個(gè)被稱為哈密爾頓-雅可比-貝爾曼（Hamilton-Jacobi-Bellman，HJB）的非線性偏微分方程（non-linearpartialdifferentialequation）。整個(gè)方法大致可以分為三個(gè)步驟。第一步是找到最優(yōu)消費(fèi)（C*

）/資產(chǎn)選擇策略（w*），它們是最優(yōu)期望效用的一個(gè)函數(shù)；第二步就是把這個(gè)（函數(shù)形式的）最優(yōu)消費(fèi)/投資策略代入到HJB方程，便得到一個(gè)非線性的偏微分方程，解這個(gè)方程；第三步把方程的解和它的偏導(dǎo)數(shù)代入最優(yōu)消費(fèi)/投資策略函數(shù)，得到它們的顯性解。（2）鞅方法（martingaleapproach）。這種方法出現(xiàn)在二十世紀(jì)80年代早期，并迅速在主流金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中流行開來。它在經(jīng)濟(jì)上基于完備市場（completemarket）假定和無套利（non-arbitrage）原則，在數(shù)學(xué)上借助于鞅和隨機(jī)積分理論。兩種資產(chǎn)：幾何布朗運(yùn)動思路：本節(jié)將頻繁使用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，仍然按照先易后難的原則，先從兩種資產(chǎn)的簡單情況開始，然后推廣到一般情形。在分析過程中，我們會不斷比較連續(xù)時(shí)間模型與它的離散時(shí)間等價(jià)物之間的異同。假定（1）假定消費(fèi)、投資發(fā)生在無限小的時(shí)間間隔內(nèi)，即連續(xù)進(jìn)行。（2）理想化的證券市場上存在兩種金融資產(chǎn)。一種為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在投資者的整個(gè)生存期限內(nèi)有固定的凈收益率r，它的價(jià)格p0(t)

運(yùn)動可以用下面的微分方程來表示：（3）消費(fèi)者可以控制的決策變量有兩個(gè)。一是每一時(shí)刻的消費(fèi)數(shù)量，或者從整個(gè)時(shí)期來看，消費(fèi)率過程（comsumptionrateprocess）C(t)

；另一個(gè)則是在不同資產(chǎn)之間分配投資基金的資產(chǎn)組合比例——或者資產(chǎn)組合過程（portfolioprocess）w(t)

。仍然令投向風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金占總財(cái)富的比例為

w(t

)，則投向無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例就是

1-w(t

)。（4）整個(gè)個(gè)人生命周期內(nèi)，除了開始時(shí)刻具有一定的初始資源稟賦以外，沒有非資本收入，或者說具有0外生稟賦過程。這樣財(cái)富過程（或者預(yù)算約束）可以表示為下面形式的微分方程：這是離散時(shí)間財(cái)富約束差分方程（2-3）式的連續(xù)時(shí)間形式，即兩種資產(chǎn)的增值減去消費(fèi)等于財(cái)富的積累。把兩種資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動過程（2-47）和（2-48）兩式代入上式，得到財(cái)富變化也遵循一個(gè)擴(kuò)散過程（diffusionprocess）：

這樣我們就把最優(yōu)消費(fèi)/投資問題，用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃形式表達(dá)出來了，接著就可以根據(jù)前面提到的三個(gè)步驟來一步步地解決它。第二步：把最優(yōu)消費(fèi)/投資組合的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式代入HJB方程，并解這個(gè)偏微分方程。當(dāng)然這并非是一件簡單的事，因?yàn)榍蠼庖粋€(gè)高次的非線性偏微分方程是非常困難的，這種類型的方程是不大可能會有解析解的，即便是使用強(qiáng)大的數(shù)值方法（numericalmethods）對它進(jìn)行求解也不是一件容易的事。第三步：假定在上一步驟中，我們已經(jīng)求出了價(jià)值函數(shù)

J(W,t)

，就可以把它和它的偏導(dǎo)數(shù)代入在第一步中獲得的C*和w*的函數(shù)式中，從而得到它們的顯性解（explicitsolution）。這時(shí)它們僅僅是W

、

r、t、、、的函數(shù)。綜上所述，我們可以把一般最優(yōu)化條件打包起來，寫成一個(gè)由兩個(gè)一階條件和一個(gè)偏微分方程構(gòu)成的方程組通過求解這個(gè)方程組可以同時(shí)獲得最優(yōu)消費(fèi)C*

/投資w*解和價(jià)值函數(shù)

J(W,t)

。特殊形式的效用函數(shù)解得：結(jié)論：最優(yōu)資產(chǎn)選擇比例w*是獨(dú)立于財(cái)富水平、消費(fèi)決策、甚至?xí)r間的一個(gè)常數(shù)。它是由投資機(jī)會（市場參數(shù)、和r）決定的，這與在考察靜態(tài)資產(chǎn)選擇問題時(shí)獲得的相應(yīng)結(jié)論很相似。而消費(fèi)水平則取決于財(cái)富水平，這與前面離散時(shí)間模型的結(jié)論是一致的。假定投資者決定不留任何遺產(chǎn)，而且效用函數(shù)采用HRHA形式解得結(jié)論：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求與財(cái)富之間存在線性關(guān)系，而且HARA族函數(shù)是惟一能夠體現(xiàn)這種線性關(guān)系的凹的效用函數(shù)。多種資產(chǎn)：n維幾何布朗運(yùn)動把上述關(guān)于兩種資產(chǎn)的結(jié)論，推廣到多種資產(chǎn)情形并不很復(fù)雜。只需要假定2修改為：市場上有

n+1種資產(chǎn)，第0種仍然是收益為r的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其他n種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，它們的價(jià)格運(yùn)動遵循n維幾何布朗運(yùn)動：結(jié)論：對于風(fēng)險(xiǎn)證券的最優(yōu)需求w*是線性的，用矩陣求逆來解出它，得到：最優(yōu)資產(chǎn)組合決策仍然是獨(dú)立于消費(fèi)決策的。重寫一階條件，有：為了獲得顯性解，仍然要假定效用函數(shù)采用下面的形式：無限時(shí)間情形一般情形：伊藤過程問題的描述：前面一直假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動。這也就是說，任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的瞬間收益率恒為

且方差為2。但是這往往是不現(xiàn)實(shí)的，在實(shí)際生活中

和2常常是其他外生變量的函數(shù)。一般情形：假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動遵循伊藤擴(kuò)散過程，即這些定義形式上類似于幾何布朗運(yùn)動的情況，但關(guān)鍵的差異在于——這里的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益和方差是外生的新自變量（向量）S的函數(shù)。而S就是在離散時(shí)間情況下，所定義的狀態(tài)變量。如何決定這些狀態(tài)變量是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的問題。狀態(tài)變量是全部外生經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)的體現(xiàn)，它完全決定了投資者面對的投資機(jī)會集合。盡管直接效用函數(shù)Ui[C(t),t]是狀態(tài)獨(dú)立的，間接效用函數(shù)J[W(t),S(t),t]現(xiàn)在是狀態(tài)依存的了。上式仍然要滿足非負(fù)消費(fèi)和非負(fù)財(cái)富的隱性約束。用HJB方程對C和w求導(dǎo)，可以得到n+1個(gè)一階最優(yōu)條件：

（2-108）式就是代表性理性個(gè)人的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。到此為止，我們就獲得了個(gè)人終身最優(yōu)消費(fèi)/投資決策問題解的最一般形式?；ブ鸲ɡ砣绾卫斫庠撟顑?yōu)資產(chǎn)組合的經(jīng)濟(jì)意義呢？可以把（2-108）式右邊分解為兩個(gè)獨(dú)立的部分：先考慮第二部分即第二項(xiàng)等于0的情形，下列情形可能會導(dǎo)致第二項(xiàng)為0。（1）投資機(jī)會集方面。這又有兩種情況：①狀態(tài)變量Sj,(j=1,2,m)的變化是非隨機(jī)的，這樣就有g(shù)j=0,(j=0,1,2,m）；②在整個(gè)投資期間內(nèi)市場參數(shù)——風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率、方差、協(xié)方差和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率，都獨(dú)立于狀態(tài)變量S(t)，即ij=0。這兩種情況下，都會使得=0

，從而使等（2-108）式的第二項(xiàng)為0，這被統(tǒng)稱為不變投資機(jī)會集（constantinvestmentopportunityset）。（2）效用函數(shù)方面。如果投資者引至效用函數(shù)J中財(cái)富的邊際效用，即WJ不依賴于狀態(tài)變量

S(t

)

，則這時(shí)混合偏導(dǎo)數(shù)JWs=0,(s=1,2,m)。根據(jù)包絡(luò)條件，這只有當(dāng)最優(yōu)消費(fèi)C*不依賴于狀態(tài)變量

S(t

)時(shí)才成立。如果投資者具有對數(shù)形式的效用函數(shù)，則間接效用函數(shù)

J(W

，S)

是W的函數(shù)和S的函數(shù)的簡單加總，從而使得（2-108）式中的第二項(xiàng)為0。在以上三種情況下，最優(yōu)資產(chǎn)組合都可以簡化為這就是上一小節(jié)中，假定資產(chǎn)價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動時(shí)，也就是資產(chǎn)價(jià)格呈對數(shù)正態(tài)分布時(shí)的結(jié)論。進(jìn)一步，令顯然有1TwT=1。wT是最小方差曲線上與無風(fēng)險(xiǎn)借貸線（noriskborrowinglendingline）相切的切點(diǎn)資產(chǎn)組合。通過它可以把（2-109）式變形為即投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合為切點(diǎn)資產(chǎn)組合的一個(gè)固定比例。它說明：如同在單一時(shí)期中按照均方效率原則決策的投資者，連續(xù)時(shí)間的投資者也僅僅會投資在兩種資產(chǎn)（組合）上，一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一種是切點(diǎn)資產(chǎn)組合。互助基金定理：定理2.2.1（兩基金分離或者互助基金）如果連續(xù)決策的投資者面對不變投資機(jī)會集，他們會把財(cái)富在兩種資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合上做出分配，一種是無風(fēng)險(xiǎn)借貸，另一種是切點(diǎn)資產(chǎn)組合。說明：這是馬科維茨-托賓分離定理的連續(xù)時(shí)間版本，但是它不需要倍受爭議的二次效用形式和資產(chǎn)收益呈橢圓分布的假定。因此不變的投資機(jī)會集，是保證連續(xù)時(shí)間投資者像單一時(shí)期按照均方效率原則行動的風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者一樣決策的充要條件。一般情形：假定上述關(guān)于對數(shù)效用函數(shù)和不變投資機(jī)會集的要求均不成立，則最優(yōu)資產(chǎn)組合為因此V-1j

確實(shí)代表了那些可以對投資機(jī)會集變化（Sj變化）進(jìn)行對沖（hedging）的資產(chǎn)組合，它本質(zhì)上是一個(gè)逆對經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)jS的最佳保值方案。投資者持有這些對沖資產(chǎn)組合的數(shù)量由系數(shù)(-JjW/WJWW)決定，因此投資者對那些可以對經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)（狀態(tài)變量）的意外變化進(jìn)行保值的對沖資產(chǎn)組合，具有額外的需求。這是（連續(xù)時(shí)間）跨期動態(tài)決策最富有特色的部分，也是它與靜態(tài)決策最大的區(qū)別所在。wH中包含了m種可以對m個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行保值的對沖基金。這樣就有新的m+2助基金定理定理2.2.2（m+2互助基金）如果投資者面對受狀態(tài)變量影響的投資機(jī)會集，則他們會把財(cái)富在m+2種資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合上做出分配，一種是無風(fēng)險(xiǎn)借貸，另一種是切點(diǎn)資產(chǎn)組合，其他是m種能夠?qū)τ跔顟B(tài)變量變化提供最佳保值的對沖資產(chǎn)組合。說明：這種基金組合確實(shí)復(fù)制了那種由原始的n+1種資產(chǎn)構(gòu)成的最優(yōu)資產(chǎn)組合。它不依賴于投資者偏好、財(cái)富水平，因此每一個(gè)投資者都可以通過投資這m+2種基金來獲得最優(yōu)資產(chǎn)組合。如果m≥n+1，則該定理意義不大；但如果m<<n，則這m+2種基金對可交易證券品種提供了非平凡的擴(kuò)展（spanning）功能。為了比較靜態(tài)決策和動態(tài)問題的差異，可以進(jìn)一步分析那些擴(kuò)展出的證券的特征。我們已經(jīng)知道第1和2號基金是靜態(tài)最優(yōu)化中的普通基金，而跨期行為的標(biāo)志就在其余的第2+m號基金上。如果把最優(yōu)資產(chǎn)需求（2-108）式，用直接效用函數(shù)和最優(yōu)消費(fèi)函數(shù)表示出來的話，上述結(jié)論就會更容易理解。不過需要注意的是，最優(yōu)消費(fèi)*C現(xiàn)在是狀態(tài)依存的了，即

C*

(W,S,t)

。根據(jù)包絡(luò)條件和隱函數(shù)定理，對于

C*>0，有由于假定效用函數(shù)是凹的，所以（-JW/JWW）始終大于0。因?yàn)镃*/W>0,所以第二項(xiàng)系數(shù)(-JjW/JWW）的符號取決于(-C*/Sj)的符號。如果某一狀態(tài)變量的變化會導(dǎo)致當(dāng)期最優(yōu)消費(fèi)的減少，我們就稱這種變化是不利的變化。換句話說，如果(-C*/Sj<0)

，則該狀態(tài)變量的增加對投資者來說是不利的。在這種情況下，就有(-JjW/JWW)>0.觀察對最優(yōu)資產(chǎn)的額外需求（2-117）式容易知道，投資者對于其收益同該狀態(tài)變量Sj的變化完全正相關(guān)的那種資產(chǎn)的額外需求是正的。通過持有更多的該種保值資產(chǎn)，投資者平滑了整個(gè)消費(fèi)過程。應(yīng)當(dāng)注意的是，這并不是一般意義的平均化消費(fèi)，它代表投資者對于可能出現(xiàn)的消費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)/保值行為。靜態(tài)分析中之所以缺乏這種保值行為，是因?yàn)樵陟o態(tài)分析中，效用函數(shù)被假定為僅僅取決于期末財(cái)富水平，這就隱含著(-C*/Sj=0)

?？缙趧討B(tài)模型中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，除了能夠體現(xiàn)一般的期末財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)/收益權(quán)衡關(guān)系以外，它還為其他經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)提供防御的手段。綜上所述，從各個(gè)方面來看，跨期模型都要比它的靜態(tài)等價(jià)物強(qiáng)得很多。例如它放棄了笨拙的二次效用形式和正態(tài)分布假定；有趣的是：它所獲得最優(yōu)資產(chǎn)需求結(jié)構(gòu)，也表現(xiàn)出它的比較靜態(tài)等價(jià)物的資產(chǎn)分離（互助基金定理）特性；通過假定資產(chǎn)運(yùn)動采用更為一般的伊藤形式，它避免了離散模型的無限負(fù)債可能，因此它更加符合實(shí)際，在數(shù)學(xué)上也更“容易”處理。動態(tài)資本資產(chǎn)定價(jià)模型思路：上一節(jié)的分析獲得了個(gè)人最優(yōu)投資決策w*。如同單期中獲得CAPM的方式，也可以通過加總個(gè)人需求，獲得風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場需求，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)它們的均衡價(jià)格（收益）?？缙谫Y本資產(chǎn)定價(jià)模型結(jié)論：投資者最優(yōu)投資組合可以表示為三種基金的線性組合，這樣就有所謂三基金分離（three-fundportfolioseparation），即個(gè)人可以在無風(fēng)險(xiǎn)借貸、切點(diǎn)資產(chǎn)組合wT和對沖資產(chǎn)組合

wH之間分配投資基金，投資于后兩種資產(chǎn)組合的比例由投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度決定，也就是說對于不同投資者來說一般是不同的。這一分離定理是m+2基金分離定理的簡化形式。總體上看，投資者傾向于使用對沖基金為特定的投資機(jī)會集進(jìn)行保值的話，則會抬高這種資產(chǎn)組合的均衡價(jià)格，從而降低它的均衡收益率（如果反向?qū)_則效果正好相反）。這就使得它的收益率與CAPM所預(yù)言的收益率有所出入。在跨期條件下，僅僅與市場資產(chǎn)組合相聯(lián)系的系數(shù)，還不足以描繪一種資產(chǎn)的相對風(fēng)險(xiǎn)，它與投資機(jī)會集的協(xié)方差也會影響它的價(jià)格和最優(yōu)需求數(shù)量。要注意的是：這兩者都是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，因而它是一種兩的均衡。