2017-2018版高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)學案版2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。2。2函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)學習目標1。理解導數(shù)四則運算法則.2。能利用導數(shù)四則運算法則求導．知識點導數(shù)的四則運算思考1已知函數(shù)f（x)＝x2,g（x）＝x，試求f′（x）和g′（x）．思考2分別求函數(shù)f(x）＋g（x),f（x）－g(x）,f（x)·g（x),eq\f（fx,gx）的導數(shù)．思考3你能發(fā)現(xiàn)f（x）±g(x)，f（x）·g（x），eq\f(fx,gx)的導數(shù)與f′（x)，g′(x)的關系嗎？設兩個函數(shù)分別為f(x)和g(x）,則有：兩個函數(shù)的和的導數(shù)［f(x)＋g（x)]′＝________兩個函數(shù)的差的導數(shù)[f（x)－g（x）]′＝________兩個函數(shù)的積的導數(shù)［f(x）·g(x)］′＝______________兩個函數(shù)的商的導數(shù)［eq\f(fx,gx)］′＝______________（g（x）≠0）類型一應用導數(shù)的運算法則求導例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(\r(x5）＋\r（x7)＋\r(x9),\r(x））;（2)y＝eq\f（x2＋1，x2＋3）；（3）y＝（x＋1）（x＋3)(x＋5)；(4)y＝xtanx。反思與感悟(1）解答此類問題時常因導數(shù)的四則運算法則不熟而失分．(2）對一個函數(shù)求導時，要緊扣導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，當不易直接應用導數(shù)公式時，應先對函數(shù)進行化簡（恒等變形)，然后求導．這樣可以減少運算量，優(yōu)化解題過程．（3）利用導數(shù)法則求導的原則是盡可能化為和、差,利用和、差的求導法則求導，盡量少用積、商的求導法則求導．跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)：（1)y＝（2x2＋3)(3x－2)；（2)y＝2xcosx－3xlnx；(3)y＝eq\f(x－1,x＋1).類型二導數(shù)運算法則的應用例2求曲線y＝eq\f（2x，x2＋1）在點(1,1)處的切線方程．反思與感悟求函數(shù)f(x）圖象上的點P（x0，f（x0）)處的切線方程的步驟為：先求出函數(shù)在x0處的導數(shù)f′（x0)（即在點P處切線的斜率），再用點斜式寫出切線方程，若切點未給出，可先設出,然后由題目所給條件列方程求出即可．跟蹤訓練2求過點P（1,3）且與曲線y＝x3－x＋3相切的切線方程．類型三知切線方程求參數(shù)例3已知函數(shù)f（x)＝eq\f(ax－6，x2＋b）的圖象在點M(－1，f(－1）)處的切線方程為x＋2y＋5＝0,求函數(shù)y＝f(x)的解析式．反思與感悟（1）解答本題的關鍵是能正確根據(jù)條件進行求導運算、列出方程組．（2)解決與切線有關的問題時，要充分運用切點的坐標．特別是切點的橫坐標,因為切點的橫坐標與導數(shù)有著直接的聯(lián)系．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x）＝eq\f(alnx，x＋1）＋eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0.求a，b的值．1．設y＝－exsinx，則y′＝______________________.2．函數(shù)f（x）＝eq\f（cosx,1－x）的導數(shù)為__________________．3．設f（x)＝xlnx,若f′(x0）＝2，則x0＝________。4．設函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b（a≠0）．若曲線y＝f（x)在點(2，f(2））處與直線y＝8相切,則ab＝________.5．已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點（x0，y0)（x0≠0），求直線l的方程及切點坐標．1．導數(shù)的求法對于函數(shù)求導,一般要遵循先化簡，再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．首先，在化簡時,要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤；其次，利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)時，一定要將函數(shù)化為八個基本初等函數(shù)中的某一個，再套用公式求導數(shù)．2．和與差的運算法則可以推廣［f(x1）±f(x2)±…±f(xn)］′＝f′（x1)±f′(x2）±…±f′(xn)．3．積商的求導法則(1）若c為常數(shù)，則［c·f（x）］′＝c·f′（x）；(2)類比[f（x)·g（x）]′＝f′（x）·g（x)＋f(x）·g′（x)記憶,［eq\f(fx,gx）］′＝eq\f(f′x·gx－fx·g′x，g2x）；(3）當f(x)＝1時有[eq\f(1,gx）]′＝－eq\f(g′x，g2x）.提醒：完成作業(yè)1。2.2

答案精析問題導學知識點思考1f′（x）＝2x，g′(x)＝1。思考2［f（x)＋g（x)］′＝2x＋1，[f(x）－g（x)］′＝2x－1，[f（x)·g（x）］′＝3x2，［eq\f（fx,gx）]′＝1.思考3［f（x）±g（x）］′＝f′(x）±g′（x），[f(x)·g（x)]′＝f′（x）g（x)＋f（x）g′（x），[eq\f（fx,gx）]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)。f′(x)＋g′(x)f′（x）－g′(x）f′(x）g（x）＋f(x)g′(x)eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)題型探究例1（1)∵y＝eq\f（\r(x5)＋\r（x7)＋\r（x9)，\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2）′＋(x3)′＋（x4）′＝2x＋3x2＋4x3。（2）方法一y′＝eq\f(x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′,x2＋32）＝eq\f（2xx2＋3－2xx2＋1，x2＋32）＝eq\f（4x,x2＋32）。方法二y＝eq\f(x2＋1，x2＋3)＝eq\f（x2＋3－2，x2＋3）＝1－eq\f（2，x2＋3),y′＝（1－eq\f（2,x2＋3)）′＝（eq\f（－2，x2＋3））′＝eq\f(－2′x2＋3－－2x2＋3′，x2＋32)＝eq\f(4x，x2＋32).（3）方法一y′＝［(x＋1）(x＋3)］′（x＋5）＋(x＋1）(x＋3）(x＋5）′＝［(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3）′］(x＋5)＋（x＋1)（x＋3）＝(2x＋4)（x＋5）＋(x＋1）(x＋3）＝3x2＋18x＋23.方法二y＝(x＋1)（x＋3）(x＋5）＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，y′＝（x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23。(4)f′（x）＝（xtanx)′＝(eq\f(xsinx,cosx))′＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x）＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f（sinxcosx＋x，cos2x).跟蹤訓練1解(1)方法一y′＝(2x2＋3）′（3x－2）＋（2x2＋3）(3x－2）′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.方法二∵y＝（2x2＋3）(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9。(2）y′＝（2xcosx－3xlnx）′＝（2x）′cosx＋2x（cosx）′－3·［x′lnx＋x(lnx)′]＝2xln2cosx－2xsinx－3（lnx＋x·eq\f（1,x))＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3。（3）y′＝(eq\f(x－1，x＋1))′＝eq\f（x－1′x＋1－x－1x＋1′，x＋12）＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12）＝eq\f(2，x＋12）。例2解y′＝eq\f(2x2＋1－2x·2x，x2＋12)＝eq\f（2－2x2,x2＋12)，∴當x＝1時，y′＝eq\f(2－2，4)＝0,即曲線在點(1,1)處的切線斜率k＝0。因此曲線y＝eq\f(2x,x2＋1)在點(1，1）處的切線方程為y＝1。跟蹤訓練2解設切點P0(x0，xeq\o\al（3，0）－x0＋3)．∵y′＝3x2－1,∴k＝3xeq\o\al（2，0)－1。故曲線在點P0處的切線方程為y－（xeq\o\al（3，0)－x0＋3)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0），將P（1，3)代入,得2x30－3xeq\o\al(2,0）＋1＝0，即2(xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al（2，0）)－(xeq\o\al（2，0）－1）＝0.分解因式得(x0－1)2（2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f（1，2），故切點為(1,3)或（－eq\f(1，2），eq\f(27，8))．故切線方程為2x－y＋1＝0或x＋4y－13＝0.例3解由函數(shù)f(x)的圖象在點M（－1,f(－1））處的切線方程為x＋2y＋5＝0,知－1＋2f（－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，由切點為M得f′(－1)＝－eq\f（1，2）。∵f′(x）＝eq\f(ax2＋b－2xax－6,x2＋b2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－a－6，1＋b)＝－2,，\f（a1＋b－2a＋6，1＋b2)＝－\f（1,2）,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2b－4，，\f(a1＋b－2a＋6,1＋b2)＝－\f(1，2）,))解得a＝2，b＝3或a＝－6,b＝－1(由b＋1≠0,故b＝－1舍去）．∴所求函數(shù)解析式為f(x）＝eq\f(2x－6,x2＋3)。跟蹤訓練3解f′（x）＝eq\f(a\f(x＋1，x)－lnx，x＋12)－eq\f(b，x2)。由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－eq\f（1,2）,且過點(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(f1＝1，，f′1＝－\f(1,2），))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝1，，\f（a，2）－b＝－\f（1，2）。))解得a＝1，b＝1.達標檢測1．－ex(sinx＋cosx)2.eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2)3．e4．965．解∵直線l過原點，∴直線l的斜率k＝eq\f（y0，x0）(x0≠0),∵點(x0,y0)在曲線C上，∴y0＝xeq\o\al（3,0）－3xeq\o\al（2,0)＋2x0,∴eq\f（y0,x0）＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3xeq\o\al(2，0）－6x0＋2，又k＝eq\f(y0,x0)，∴3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝eq\f（