向量值函數的導數與積分

第九章向量值函數的導數與積分●

§9.1向量值函數及其極限與連續(xù)★

§9.2向量值函數的導數與微分●

§9.3向量值函數的不定積分與定積分§9.2向量值函數的導數與微分9.2.1向量值函數的導數與微分內容小結與作業(yè)9.2.2空間曲線的切線及法平面方程1．向量值函數導數與微分的概念義，如果極限定義9.2.1

設向量值函數在t的某鄰域內有定存在，則稱向量值函數r(t)在t處可導，并稱極限值為向量值函數r(t)在t處的導數，記為或者明顯地，

也是一個向量值函數．如果向量值函數r(t)在t處可導，則r(t)在t處連續(xù).9.2.1向量值函數的導數與微分與一元數量函數類似，可以進一步定義向量值函數的高階導數，如r(t)的二階導數定義為的導數,即:向量值函數的導數的幾何解釋（a）二維向量值函數的情形（b）三維向量值函數的情形如果點P和Q的位置向量為r(t)與r(t+t),那么這個向量可以看作是割線向量．當時,割線向量如果存在，且趨于曲線在點P處的切線向量．線．這樣,曲線r(t)在點P處的切向量為則稱為曲線r(t)在點P處的切向量,過P點且以為方向向量的直線為曲線r(t)在點P處的切向量值函數的導數的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運動的質點在t時刻的位置,對應的幾何曲線為質點的運動軌跡,是質點在時間段[t,t+t]上的位移,是質點在這段時間內的平均速度，是質點在時刻t的瞬時速度v(t)，即速度的方向或質點運動的方向是運動軌跡的切線方向,是質點在時刻t的瞬時加速度a

(t).向量值函數的導數可通過計算其分量函數的導數得到.其中各分量函數在點t處可導,則r(t)在點t處可導,且定理9.2.2

設三維向量值函數同樣，對于可導的二維向量值函數有類似的結論.的二階導數為三維向量值函數例1

計算下列向量值函數的一階及二階導數：．解這里,(1)中的二維向量值函數對應的圖形是二維平面上的橢圓曲線;(2)中的三維向量值函數對應的圖形是三維空間上的螺旋曲線．且在區(qū)間I內光滑的．如果一個向量值函數在區(qū)間上滿足連續(xù)，例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的．我們就稱在區(qū)間上是一條曲線如果由多個光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線．解因為光滑的．曲線在點(1,0)(對應t=0)突然改變了方向，在曲線上出現(xiàn)了尖點的特征．所以，該曲線不是是否為光滑曲線？

例2

判斷曲線

尖點解質點的速度為質點的速率為質點的加速度為例3

一個質點的位置向量為求質點的速度、加速度與速率．可導的向量值函數r

=r

(t)的微分定義為對于可導的二維向量值函數對于可導的三維向量值函數對于二維向量值函數與三維向量值函數，dr

是一個與與切向量同向；平行的向量，曲線的切向量當dt

>0時,dr與反向.當dt

<0時,dr與切向量數值函數，設u(t),v(t)為可導的向量值函數，常數，則有定理9.2.1

C為常向量(即C的各分量都為常數),k為f(t)為可導2．向量值函數的求導法則

(7)鏈式法則：設u(s)為可導的向量值函數，s=f(t)為可導的數值函數，則例4

設r(t)是可導的向量值函數，且如果(C為常數)，證明：與垂直．證因為則由求導法則(5)知因此，幾何意義:

如果一條曲線位于一個以原點為球心的也就是說與垂直．垂直于位置向量球面上,那么它的切向量

例5

如果質量為m的質點的位置向量為r(t),角動量轉動力矩為證明：證由求導法則（6），知注意到則特別，當M(t)=0時,從而L(t)為常向量.這就是物理學中的角動量守恒定律．空間曲線在點t0處的切線向量為空間曲線在點的切線方程為稱過點P且與向量T(t)垂直的平面為空間曲線的法平面，其方程為9.2.2空間曲線的切線與法平面切線方程與法平面方程．且點(1,1,1)與

t=1對應,所以，在點(1,1,1)處曲線的切線向量為因此，所求切線方程為例6

求空間曲線在點(1,1,1)處的解因為所求法平面方程即