第11章動(dòng)量矩定理

2023年2月6日理論力學(xué)11動(dòng)量矩定理

第11章

動(dòng)量矩定理11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩11.2動(dòng)量矩定理11.3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程11.4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程11.1.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩——質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩。即質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量矩矢在過點(diǎn)O的z軸上投影，等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩。即在國際單位制中動(dòng)量矩的單位為kg·m2/s11.1

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)于z軸的動(dòng)量矩——質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在Oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy

對(duì)于點(diǎn)O的矩。即11.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該軸的動(dòng)量矩?！髻|(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。即—各質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和。即11.1

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩剛體作平移：可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩。稱為剛體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為11.1

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得11.2

動(dòng)量矩定理

作用力F對(duì)同一點(diǎn)O的矩則上式為因?yàn)?/p>

所以上式為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。11.2

動(dòng)量矩定理

上式在過O點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸上的投影式11.2

動(dòng)量矩定理11.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有：這樣的方程共有n個(gè)，相加后得而所以11.2

動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)。Fi(i)——第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的內(nèi)力，F(xiàn)i(e)——第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力。上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和（外力對(duì)點(diǎn)O的主矩）。注意：式中x、y、z為

定軸。11.2

動(dòng)量矩定理應(yīng)用時(shí)，取投影式11.2.3動(dòng)量矩守恒定律質(zhì)點(diǎn)：如果則常矢量。如果則常量。上述兩種情況就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系：如果則則如果常矢量。常量。上述兩種情況就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定律。11.2

動(dòng)量矩定理

例：高爐運(yùn)送礦石用的卷揚(yáng)機(jī)如圖所示。已知鼓輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，作用在鼓輪上的力偶矩M，小車和礦石總質(zhì)量為m，軌道的傾角為θ。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計(jì)，求小車的加速度a。11.2

動(dòng)量矩定理解：取整體為研究對(duì)象,其受力分析如圖示。由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理，有：因得11.2

動(dòng)量矩定理FNmgFyFxPa以順時(shí)針為正，則m1m2例:

已知:求輪的角加速度。解：取整體為研究對(duì)象，以逆時(shí)針為正。由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理，有：11.2

動(dòng)量矩定理vAvBmgm2gFOxFOym1g而故例：已知：猴A重=猴B重，猴B從靜止開始以相對(duì)繩速度v上爬，猴A不動(dòng)，問猴B向上爬時(shí)，猴A將如何運(yùn)動(dòng)？（輪重不計(jì)）解：取系統(tǒng)系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩守恒猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣11.2

動(dòng)量矩定理

例：水平桿AB長(zhǎng)為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各連結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂時(shí)，系統(tǒng)繞z軸的角速度為ω0。如果此時(shí)細(xì)線拉斷后，桿AC和BD各與垂線成θ角，不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w.11.2

動(dòng)量矩定理解：取整體為研究對(duì)象因?yàn)樗猿?shù)當(dāng)q=0時(shí)，當(dāng)θ≠0時(shí)，

由LZ1=LZ2，得11.2

動(dòng)量矩定理mgmg11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程若軸承摩擦忽略不計(jì)，由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩定理，有或上式也可寫成或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。主動(dòng)力：F1

，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n

軸承約束力：FN1

，F(xiàn)N2以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。

例：飛輪對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo，以角速度ω0

繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。制動(dòng)時(shí)，閘塊給輪以正壓力FN，已知閘塊與輪之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計(jì)。求制動(dòng)所需的時(shí)間t。解以輪為研究對(duì)象，取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為：積分解得其受力分析如圖示11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程FNF

例:

提升裝置中，均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量分別為m1、m2,半徑分別為r1、r2,物體C

的質(zhì)量為m3

，輪A上作用常力矩M1

。求物體C上升的加速度。11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解:

取輪A為研究對(duì)象再取輪B和物體C為研究對(duì)象因?yàn)?/p>

得

11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量，剛體對(duì)任意軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為由上式可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小不僅與質(zhì)量大小有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)。在國際單位制中其單位為kg?m2。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值。11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11.4.1簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算（1）均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)桿長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ,取桿上一微段dx，其質(zhì)量dm=ρdx，則桿的質(zhì)量于是

11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)圓環(huán)質(zhì)量為m，質(zhì)量mi到中心軸的距離都等于半徑R，所以圓環(huán)對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為即11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

，是均質(zhì)圓板單位面積的質(zhì)量。因此圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)圓板的半徑為R，質(zhì)量為m

。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)半徑為ri，寬度為dri，則薄圓環(huán)的質(zhì)量為式中

或

11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11.4.2慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）定義為如已知ρz

，則即物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于該物體的質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑平方的乘積。11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11.4.3平行軸定理

設(shè)點(diǎn)C為剛體的質(zhì)心，剛體對(duì)于通過質(zhì)心的z1

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jzc，剛體對(duì)于平行于該軸的另一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz，兩軸間距離為d。分別以C、O兩點(diǎn)為原點(diǎn)，作直角坐標(biāo)系Cx1y1z1和Oxyz，不失一般性，可令軸y與軸y1重合。因?yàn)閤i=x1i，yi=y1i+d

，于是11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由質(zhì)心坐標(biāo)公式當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)心C時(shí)，yC=0，又有

于是得

結(jié)論：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積?！叫休S定理而11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例：質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)直桿如圖，求此桿對(duì)于垂直于桿軸且通過質(zhì)心C的軸zc的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：因?yàn)?/p>

應(yīng)用平行軸定理，得

11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法

當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。例:鐘擺：均質(zhì)直桿m1,

l

；均質(zhì)圓盤：m2,R

。求JO

。解：11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例：均質(zhì)細(xì)桿AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，一端鉸接于Ａ，一端系于細(xì)繩BC，而處于水平位置。設(shè)細(xì)繩突然被剪斷。試求此瞬時(shí)細(xì)桿的角加速度１，及細(xì)桿運(yùn)動(dòng)到鉛直位置時(shí)的角加速度２。11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程ＡＢＣ

例：均質(zhì)細(xì)桿AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，一端鉸接于Ａ，一端系于細(xì)繩BC，而處于水平位置。設(shè)細(xì)繩突然被剪斷。試求此瞬時(shí)細(xì)桿的角加速度１，及細(xì)桿運(yùn)動(dòng)到鉛直位置時(shí)的角加速度２。11.3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程ＡＢ確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)法

例如，欲求物體對(duì)于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可將該物體在軸O懸掛起來，并使其作微幅擺動(dòng)。

設(shè)j角以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。物體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為物體作微幅擺動(dòng)，有

，得

或

此方程的通解為j

0稱為角振幅，θ是初相位，它們都由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量擺動(dòng)周期為測(cè)定mg，a和擺動(dòng)周期T，則物體對(duì)于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按照下式計(jì)算：11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量擺動(dòng)周期為測(cè)定mg，a和擺動(dòng)周期T，則物體對(duì)于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按照下式計(jì)算：又如，欲求圓輪對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可用單軸扭振、三線懸掛扭振等方法測(cè)定扭振周期，根據(jù)周期與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。11.4

剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量計(jì)算公式于是得

11.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理因

于是即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。11.5

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理引入固連于質(zhì)心的平移參考系則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩為由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有

顯然

即

于是得

11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可見，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩時(shí)，用質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性參考系的絕對(duì)速度vi，或用質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于固連在質(zhì)心上的平移參考系的相對(duì)速度vir，其結(jié)果一樣的。

平面運(yùn)動(dòng)剛體的位置，可由基點(diǎn)的位置與剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。

取質(zhì)心C為基點(diǎn)，它的坐標(biāo)為xc，yc。設(shè)D為剛體上的任一點(diǎn)，CD與x軸的夾角為j，則剛體的位置可由xc，yc和j確定。

剛體的運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。

Cx′y′為固連于質(zhì)心C的平移參考系，平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)于此動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)就是繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩為11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)在剛體上作用的外力可向質(zhì)心所在的運(yùn)動(dòng)平面簡(jiǎn)化為一平面力系F1、F2、…、Fn，則應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得上式也可寫成

以上兩式稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

應(yīng)用時(shí)用在直角坐標(biāo)系或自然軸系上的投影式：

以上兩式也稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程。它有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求3個(gè)未知量。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程適用于單個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體。由于平面平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況，故同樣適用。平移時(shí)≡0。42[例]

質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪放于傾角為的斜面上，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f、f′，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：取輪為研究對(duì)象。受力分析如圖示。取直角坐標(biāo)系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，輪作平面運(yùn)動(dòng)，根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有①②③三個(gè)方程中含有四個(gè)未知數(shù)，需補(bǔ)充附加條件。431．設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平移下滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，ac=eR，所以可解得動(dòng)力學(xué)3．設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑，F(xiàn)=f′N，可解得輪作純滾動(dòng)的條件：表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；當(dāng)時(shí)，解答2適用；f=0時(shí)解答1適用。

例：半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線純滾動(dòng)。設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為rC，作用于圓輪的力偶矩為M。求輪心的加速度。如果圓輪對(duì)地面的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f，問力偶矩M必須符合什么條件方不致使圓輪滑動(dòng)？11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解：取圓輪為研究對(duì)象因圓輪只滾不滑，有于是

欲使輪只滾不滑，必須有

或

于是得圓輪只滾不滑的條件為11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程FmgFN注意：圖中F為靜滑動(dòng)摩擦力，方向不確定時(shí)，可假設(shè)。46動(dòng)量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對(duì)單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）動(dòng)力學(xué)1．已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。例：均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為m

，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示.設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng).

求:質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解:研究圓輪11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程初始條件運(yùn)動(dòng)方程為11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

例:

均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計(jì)且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸O處摩擦。求(1)

圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。(2)若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解：(1)取圓柱A為研究對(duì)象(a)再取圓柱B為研究對(duì)象(b)(c)由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)：由（a）、（c）知

得

11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程(2)取圓柱A為研究對(duì)象再取圓柱B為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)：

聯(lián)立上面四式，得當(dāng)M>2mgr時(shí)，

即圓柱B的質(zhì)心將上升。若設(shè)初始時(shí)vC0=0，則9.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

例：均質(zhì)實(shí)心圓柱體A和均質(zhì)薄鐵環(huán)B的質(zhì)量均為m，半徑都等于r，兩者用桿AB鉸接，無滑動(dòng)地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為θ，如圖所示。如桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，求桿AB的加速度和桿的內(nèi)力。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解：先取薄鐵環(huán)B為研究對(duì)象所以再取圓柱體A為研究對(duì)象所以解得由運(yùn)動(dòng)學(xué)知由運(yùn)動(dòng)學(xué)知11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程例：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m，其上焊接剛桿OA，桿長(zhǎng)為r，質(zhì)量也為m。用手扶住圓環(huán)使其在OA水平位置靜止。設(shè)圓環(huán)與地面間為純滾動(dòng)。求：放手瞬時(shí)，圓環(huán)的角加速度，地面的摩擦力及法向約束力。OA11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解:先求整體質(zhì)心位置OA建立平面運(yùn)動(dòng)微分方程其中：11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程xy整體質(zhì)心為C，其受力如圖所示r4C2mgFNFS將（1）式投影到水平和鉛直兩個(gè)方向，得順時(shí)針11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程因?yàn)槌跛矔r(shí)=0，故（1）由求加速度基點(diǎn)法有

例：圖示均質(zhì)圓盤和滑塊的質(zhì)量均為m，圓盤的半徑為r。桿AB平行于斜面，質(zhì)量忽略不計(jì)。圓盤、滑塊與斜面間的摩擦因數(shù)均為f，圓盤在斜面上作純滾動(dòng)。求滑塊B的加速度和桿的內(nèi)力。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程AθB解：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程由于AB桿質(zhì)量忽略不計(jì)，故AB為二力桿，受平衡力系作用。先取圓盤A為研究對(duì)象AθBAmgFN1FS1FA′aABFAFB又AB桿作平移，故再取滑塊B為研究對(duì)象由摩擦學(xué)知11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程BmgFN2FdFB′a而聯(lián)立以上各式，解得AθB例

兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型