天線(xiàn)與電波傳播I-1

標(biāo)量場(chǎng)的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)(Scalarfield)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為矢量場(chǎng)(Vectorfield)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：1標(biāo)量場(chǎng)的等值面

標(biāo)量場(chǎng)的等值線(xiàn)(面)等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀(guān)地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。22.方向?qū)?shù)(directionalderivative)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)在場(chǎng)中某點(diǎn)沿某方向的空間變化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減?。?/p>

——u(M)沿方向無(wú)變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問(wèn)題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。

式中：

3梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系

3、標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）gradient意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向哈密頓算符：

4標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）5矢量場(chǎng)的通量與散度

1、矢量線(xiàn)

意義：形象直觀(guān)地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量線(xiàn)方程：概念：矢量線(xiàn)是這樣的曲線(xiàn)，其上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線(xiàn)oM

62、矢量場(chǎng)的通量(flux)

問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過(guò)面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：面積元矢量7通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線(xiàn)穿出有凈的矢量線(xiàn)進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線(xiàn)相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀(guān)上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義83、矢量場(chǎng)的散度(divergence)為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱(chēng)為矢量場(chǎng)的散度，其描述了通量源的密度。

散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。9柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：104、散度定理(divergenceorGauss’stheorem)體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。11矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源(flowsource)激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線(xiàn)是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。

如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的積分與通過(guò)閉合曲線(xiàn)所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

12如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱(chēng)為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線(xiàn)的環(huán)流不為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱(chēng)為旋渦源(vortexsource)。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流的概念(circulation)矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線(xiàn)C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線(xiàn)C的線(xiàn)積分，即13過(guò)點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線(xiàn)記為C，曲面的法線(xiàn)方向n與曲線(xiàn)的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱(chēng)為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀(guān)聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度（）(curl)

（1）環(huán)流面密度14概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)流面密度最大值時(shí)面積元的法線(xiàn)方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度15旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系16旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零173、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線(xiàn)積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線(xiàn)所圍的曲面的通量，即184、散度和旋度的區(qū)別

191、矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)202、矢量場(chǎng)按源的分類(lèi)（1）無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：，線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)21（2）無(wú)散場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)22（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分23亥姆霍茲定理(Helmholtz’stheorem):

若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為式中：

亥姆霍茲定理說(shuō)明：在無(wú)界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。亥姆霍茲定理24有界區(qū)域

在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量（邊界條件）有關(guān)。25電磁場(chǎng)的基本方程261.電荷體密度

單位：C/m3

(庫(kù)侖/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電量q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來(lái)描述其分布理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線(xiàn)分布電荷27

若電荷分布在薄層上的情況，當(dāng)僅考慮薄層外，距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫(kù)侖/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電量q為28

在電荷分布在細(xì)線(xiàn)上的情況，當(dāng)僅考慮細(xì)線(xiàn)外，距細(xì)線(xiàn)的距離要比細(xì)線(xiàn)的直徑大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算線(xiàn)內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將線(xiàn)的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線(xiàn)分布。

3.電荷線(xiàn)密度如果已知某空間曲線(xiàn)上的電荷線(xiàn)密度，則該曲線(xiàn)上的總電量q為

單位:C/m(庫(kù)侖/米)29

對(duì)于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場(chǎng)，而僅需要分析和計(jì)算電場(chǎng)的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線(xiàn)度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電量為q的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷302.1.2

電流與電流密度說(shuō)明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱(chēng)為恒定電流，用I表示。形成電流的條件：

存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場(chǎng)單位:A（安培）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面S的電荷量，即31電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱(chēng)為體電流，用電流密度矢量來(lái)描述。單位：A/m2。一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線(xiàn)電流來(lái)描述電流的分布狀態(tài)。

1.體電流

流過(guò)任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向322.面電流電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱(chēng)為面電流，用面電流密度矢量來(lái)描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m。通過(guò)薄導(dǎo)體層上任意有向曲線(xiàn)

的電流為正電荷運(yùn)動(dòng)的方向332.1.3.

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。342.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律1.

庫(kù)侖定律(Coulomb’slaw)(1785年)

2.2.1.庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)重要特征：對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用真空中靜止點(diǎn)電荷q1對(duì)q2的作用力:，滿(mǎn)足牛頓第三定律。大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線(xiàn)方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；35電場(chǎng)力服從疊加原理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對(duì)點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7362.電場(chǎng)強(qiáng)度(Electricfieldintensity)

空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱(chēng)試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)為：——描述電場(chǎng)分布的基本物理量

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量——試驗(yàn)正電荷

37體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度線(xiàn)密度為的線(xiàn)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)38例2.2.1計(jì)算距離均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)為ρ的點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：如圖所示，直導(dǎo)線(xiàn)的長(zhǎng)度為(z2-z1)，電荷線(xiàn)密度為。在直導(dǎo)線(xiàn)上距原點(diǎn)O為z’處取線(xiàn)元，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的矢量為，因此有故均勻帶電直線(xiàn)段39均勻帶電直線(xiàn)段例2.2.1計(jì)算距離均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)為ρ的點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度。40均勻帶電直線(xiàn)段例2.2.1計(jì)算距離均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)為ρ的點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度。41均勻帶電直線(xiàn)段對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)，則有例2.2.1計(jì)算距離均勻帶電細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)為ρ的點(diǎn)M處的電場(chǎng)強(qiáng)度。422.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度高斯定理表明：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量穿過(guò)閉合曲面S的通量等于該閉合面所包圍的總電荷與ε0之比。靜電場(chǎng)的散度（微分形式）1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理靜電場(chǎng)的高斯定理（積分形式）環(huán)路定理表明：靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）2.靜電場(chǎng)旋度與環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理（積分形式）432.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律1.

安培力定律(Ampere’slawofforce)

安培對(duì)電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821～1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱(chēng)為安培力定律。實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力滿(mǎn)足牛頓第三定律載流回路C2對(duì)載流回路C1的作用力2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

442.磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周?chē)臻g中產(chǎn)生磁場(chǎng)，描述磁場(chǎng)分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T(mén)（特斯拉）。磁場(chǎng)的重要特征是對(duì)場(chǎng)中的電流產(chǎn)生力作用，載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)回路C2中的電流I2的作用力。根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度(magneticfluxdensity)45任意電流回路C產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度(Biot-Savartlaw)電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度46而場(chǎng)點(diǎn)P的位置矢量為，故得解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過(guò)的電流為I。為計(jì)算方便取線(xiàn)電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場(chǎng)點(diǎn)為P(0,0,z)，如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為，其位置矢量為例2.3.1計(jì)算線(xiàn)電流圓環(huán)軸線(xiàn)上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線(xiàn)上任一點(diǎn)P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為47可見(jiàn)，線(xiàn)電流圓環(huán)軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處的電流元在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因，故由于，所以在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即482.3.2恒定磁場(chǎng)的散度和旋度

1.

恒定磁場(chǎng)的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁場(chǎng)線(xiàn)是無(wú)起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線(xiàn)。恒定場(chǎng)的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)、電流是磁場(chǎng)的旋渦源。恒定磁場(chǎng)的旋度（微分形式）2.恒定磁場(chǎng)的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）49微分形式積分形式靜電場(chǎng)恒定磁場(chǎng)亥姆霍茲定理：電位函數(shù)矢量磁位50電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系(constitutiverelation)磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性51電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開(kāi)始研究相反的問(wèn)題，即磁場(chǎng)能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著明的法拉第電磁感應(yīng)定律。

電磁感應(yīng)定律

——揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)

位移電流

——揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。52負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過(guò)回路的磁通為當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ξin的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即53導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)；感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)；

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間；對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：54相應(yīng)的微分形式為(1)回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通變化的幾種情況：磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起，因此有55稱(chēng)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)56在時(shí)變情況下，安培環(huán)路環(huán)路是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問(wèn)題：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？2.5.2位移電流靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。（恒定磁場(chǎng)）（時(shí)變場(chǎng)）57全電流定律：——微分形式——積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。58麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組——宏觀(guān)電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場(chǎng)的基本方程2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式592.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁力線(xiàn)總是閉合曲線(xiàn)麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)602.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有：限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線(xiàn)性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為61時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開(kāi)輻射源（如天線(xiàn)）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。62在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的漩渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過(guò)來(lái)又使電場(chǎng)減小。63麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀(guān)電磁現(xiàn)象靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)64電磁場(chǎng)的邊界條件

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?實(shí)際電磁場(chǎng)問(wèn)題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿(mǎn)足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。652.7.1

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度66邊界條件的推證

（1）電磁場(chǎng)量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即同理，由在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個(gè)包圍點(diǎn)P的扁平圓柱曲面S，如圖表示?；蚧?7（2）電磁場(chǎng)量的切向邊界條件在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2故得或同理得或68兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件2.7.2兩種常見(jiàn)的情況

在兩種理想介質(zhì)分界面上，通常沒(méi)有電荷和電流分布，即JS＝0、ρS＝0，故的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2、的法向分量連續(xù)媒質(zhì)1媒質(zhì)2、的切向分量連續(xù)692.理想導(dǎo)體表面上的邊界條件理想導(dǎo)體表面上的邊界條件設(shè)媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體，則E2、D2、H2、B2均為零，故

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于的法向分量理想導(dǎo)體表面上的法向分量為0理想導(dǎo)體表面上的切向分量為0理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于的切向分量70電磁波基本理論71波動(dòng)方程在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線(xiàn)性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程波動(dòng)方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性

麥克斯韋方程——一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互作用關(guān)系

麥克斯韋方程組波動(dòng)方程問(wèn)題的提出電磁波動(dòng)方程72同理可得

推證73電磁場(chǎng)的位函數(shù)

討論內(nèi)容

位函數(shù)的性質(zhì)

位函數(shù)的定義

位函數(shù)的規(guī)范條件

位函數(shù)的微分方程74引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。引入位函數(shù)的意義位函數(shù)的定義75位函數(shù)的不確定性滿(mǎn)足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱(chēng)為規(guī)范變換

原因：未規(guī)定的散度為任意可微函數(shù)76除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定的散度使位函數(shù)滿(mǎn)足的方程得以簡(jiǎn)化。77位函數(shù)的微分方程78同樣79說(shuō)明應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：①位函數(shù)滿(mǎn)足的方程在形式上是對(duì)稱(chēng)的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；②矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需解出就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。80進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)

電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量及守恒關(guān)系81其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理(Poynting’stheorem)微分形式：82

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮　ㄟ^(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量，Poynting’sVector）83進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)

電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量及守恒關(guān)系84其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所作的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理(Poynting’stheorem)微分形式：85時(shí)諧電磁場(chǎng)

復(fù)矢量的麥克斯韋方程

時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示

復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量86時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱(chēng)為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。

研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。

任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅立葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。874.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅88復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量89例4.5.1

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以90（2）因?yàn)楣仕?1

例4.5.2

已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。92以電場(chǎng)旋度方程為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對(duì)任意t均成立。令t＝0，得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即93從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程～略去“.”和下標(biāo)m944.5.4亥姆霍茲方程

導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)

在時(shí)諧時(shí)情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱(chēng)為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量復(fù)矢量954.5.5時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿(mǎn)足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量復(fù)矢量96均勻平面波在無(wú)界空間中的傳播97EHz波傳播方向

均勻平面波波陣面xyo

均勻平面波的概念

波陣面：空間相位相同的點(diǎn)構(gòu)成的曲面，即等相位面

平面波：等相位面為無(wú)限大平面的電磁波

均勻平面波：等相位面上電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向、振幅都保持不變的平面波

均勻平面波是電磁波的一種理想情況，其分析方法簡(jiǎn)單，但又表征了電磁波的重要特性。98理想介質(zhì)中的均勻平面波5.1.1一維波動(dòng)方程的均勻平面波解5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)5.1.3沿任意方向傳播的均勻平面波99由于5.1.1一維波動(dòng)方程的均勻平面波解設(shè)在無(wú)限大的無(wú)源空間中，充滿(mǎn)線(xiàn)性、各向同性的均勻理想介質(zhì)。均勻平面波沿z軸傳播，則電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度均不是x和y的函數(shù)，即同理

結(jié)論：均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都垂直于波的傳播方向——橫電磁波（TEM波）100設(shè)電場(chǎng)只有x分量，即其解為：可見(jiàn)，表示沿+z方向傳播的波。的波形解的物理意義第一項(xiàng)第二項(xiàng)沿-z方向傳播的波101由，可得

其中稱(chēng)為媒質(zhì)的本征阻抗。在真空中相伴的磁場(chǎng)同理，對(duì)于磁場(chǎng)與電場(chǎng)相互垂直，且同相位

結(jié)論：在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度相互垂直，且同相位。1021、均勻平面波的傳播參數(shù)周期T：時(shí)間相位變化2π的時(shí)間間隔，即（1）角頻率、頻率和周期角頻率ω：表示單位時(shí)間內(nèi)的相位變化，單位為rad/s

頻率f

：

t

T

o

xE

的曲線(xiàn)5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)103（2）波長(zhǎng)和相位常數(shù)k的大小等于空間距離2π內(nèi)所包含的波長(zhǎng)數(shù)目，因此也稱(chēng)為波數(shù)。波長(zhǎng)λ：空間相位差為2π的兩個(gè)波陣面的間距，即相位常數(shù)

k

：表示波傳播單位距離的相位變化

o

xE

lz的曲線(xiàn)104105（3）相速（波速）真空中：由相速v：電磁波的等相位面在空間中的移動(dòng)速度相速只與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與電磁波的頻率無(wú)關(guān)故得到均勻平面波的相速為1063、理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)xyzEHo理想介質(zhì)中均勻平面波的和EH電場(chǎng)、磁場(chǎng)與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波（TEM

波）無(wú)衰減，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅不變波阻抗為實(shí)數(shù)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位電磁波的相速與頻率無(wú)關(guān)，無(wú)色散電場(chǎng)能量密度等于磁場(chǎng)能量密度，

能量的傳輸速度等于相速根據(jù)前面的分析，可總結(jié)出理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)為：107沿+z方向傳播的均勻平面波5、沿任意方向傳播的均勻平面波沿傳播方向的均勻平面波沿任意方向傳播的均勻平面波

波傳播方向

z

y

x

o

rne等相位面

P(x,y,z)yzxo沿＋z方向傳播的均勻平面波P(x,y,z)波傳播方向r等相位面

108電磁波的極化5.2.1極化的概念

5.2.2線(xiàn)極化波5.2.3圓極化波5.2.4橢圓極化波5.2.5極化波的合成與分解5.2.6極化的工程應(yīng)用1095.2.1極化的概念

波的極化表征在空間給定點(diǎn)上電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的取向隨時(shí)間變化的特性,是電磁理論中的一個(gè)重要概念。在電磁波傳播空間給定點(diǎn)處，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的端點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡。

波的極化110一般情況下，沿+z方向傳播的均勻平面波，其中電磁波的極化狀態(tài)取決于Ex和Ey的振幅之間和相位之間的關(guān)系，分為：線(xiàn)極化、圓極化、橢圓極化。

極化的三種形式

線(xiàn)極化：