關(guān)于“08高考江蘇物理第14題”的解法研究

關(guān)于“08高考江蘇物理第14題”的解法研究朱建廉南京市金陵中學(xué)在每一年的高考試卷中，都會有一些試題能夠分別從諸如“試題的背景過程”、“試題的模型特征”、“試題的考查功能”、“試題的表述特色”、“試題的解答方法”等方面引發(fā)一線教師們的興趣?！?8年高考江蘇物理試卷第14題”就是一道從“試題的解答方法”這一側(cè)面引起了一線教師們的極大關(guān)注的試題。本文試圖針對這一道極富特色的試題，將其中第（3）小題的相應(yīng)解答方法作出全方位的研究，期望能夠從這樣的研究工作中獲得一些啟示。

試題：在磁感應(yīng)強度大小為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動軌跡如圖1中曲線所示。已知此曲線的最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：（1）小球運動到任意位置P（x，y）處的速率v；（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；（3）當(dāng)在上述磁場中加一方向豎直向上、場強大小為E（）的勻強電場時，小球從O點靜止釋放后獲得的最大速率vm。

說明：盡管本文只著重研究第（3）小題的解法，但為維持試題表述的連續(xù)性，仍將試題完整給出。另外，為維護試題表述的嚴(yán)肅性，將試題的“場強B”、“場強E”等較為隨意的表述分別更改為“磁感應(yīng)強度大小B”、“場強大小E”。下面針對試題第（3）小題的各種解答方法實施研究。1、以“題設(shè)條件遷移法”解答

這一方法實際上就是命題組所提供的參考解答。解答中的一個關(guān)鍵步驟是將“加勻強電場前”的一個重要的題設(shè)條件直接遷移至“加勻強電場后”而協(xié)助試題的解答。故稱作“題設(shè)條件遷移法”。

解法1（題設(shè)條件遷移法）：小球由靜止釋放后其運動軌跡如圖2中曲線所示，考慮到洛侖茲力不做功，故當(dāng)小球的豎直高度改變量達(dá)到最大值|ym|而運動到圖2所示的小球運動軌跡最高點處時將獲得最大速率vm，由動能定理可得（1-1）設(shè)圖2所示的小球運動軌跡最高點處的曲率半徑為R，則在該處針對小球又可得到相應(yīng)的動力學(xué)方程為（1-2）將加勻強電場前小球運動軌跡最低點處的曲率半徑所具備的特征“曲線的最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍”直接遷移，認(rèn)為加勻強電場后小球運動軌跡最高點處的曲率半徑具備著相同的特征，即（1-3）由此即可解得小球獲得的最大速率為（1-4）

分析1：這一解答方法所存在著的問題是：形如（1-3）式所給出的題設(shè)條件的直接遷移，對于中學(xué)生來說顯得過于突然。因為若從中學(xué)生的知識局限和思維能力出發(fā)，做出如下判斷是在情理之中的：高中生知識背景下合乎情理的判斷取電場力和重力的合力為等效重力若等效重力與重力的大小不等則應(yīng)有：（1）等效重力與重力的大小不等——

——豎直高度改變量相同時小球獲得的速率不等（2）小球獲得的速率不等——

——小球受到的洛侖茲力大小不等（3）小球受到的洛侖茲力大小不等——

——小球的速度方向變化的快慢不一定相同（4）小球速度方向變化快慢不一定相同——

——小球運動軌跡的彎曲程度不一定相同（5）小球運動軌跡的彎曲程度不一定相同——

——其最低點處的曲率半徑與豎直高度變化量間的倍數(shù)關(guān)系就可能發(fā)生變化而不再是2倍了。當(dāng)然，如果將試題中的另一個題設(shè)條件（1-5）改為（1-5/）則將由于加上勻強電場后小球所受到的等效重力與加上勻強電場前小球所受到的重力大小相等（1-6）這才能夠保證：按照中學(xué)生的知識局限和思維能力可以給出形如（1-3）式所示的題設(shè)條件的直接遷移表達(dá)式。2、以“二次方程判別法”解答之所以將這一方法稱作“二次方程判別法”，是因為在這一方法的解答過程中根據(jù)相應(yīng)物理規(guī)律列出了關(guān)于某一物理量的二次方程后，又充分利用了相應(yīng)的“二次方程判別式”而協(xié)助求解。

解法2（二次方程判別法）：取電場力與重力的合力為所謂的等效重力，即（2-1）在小球由靜止釋放而運動到圖2所示的最高點的過程中運用動能定理可得（2-2）而當(dāng)小球運動到圖2所示的最高點處時又可根據(jù)牛頓定律得（2-3）根據(jù)（2-3）式整理可得到關(guān)于“vm”的二次方程為（2-3/）為保證（2-3/）式所給出的關(guān)于“vm”的方程有實根（2-4）由此可解得：小球運動軌跡最高點處的曲率半徑為（2-5）在（2-5）式中取小球運動軌跡最高點處的曲率半徑的最小值為（2-5/）將（2-5/）式所給出的小球運動軌跡最高點處的曲率半徑的取值代入（2-3/）式或（2-3）式即可求得：小球獲得的最大速率為（2-6）分析2：這一解法看上去似乎較為簡單而未超出中學(xué)生的知識背景，但若仔細(xì)斟酌便不難發(fā)現(xiàn)：形如（2-5/）式所給出的小球運動軌跡最高點處的曲率半徑的取值其理由并不充分。若要將小球運動軌跡最高點處的曲率半徑為何必須在形如（2-5）式中取其最小值的理由闡述清楚，則必須：先將形如（2-5/）式所給出的小球運動軌跡最高點處的曲率半徑的取值代入（2-3/）式或（2-3）式，求得小球獲的最大速率如（2-6）式所給出；然后再將形如（2-6）式所給出的小球的最大速率代入（2-2）式，求得小球運動軌跡最高點距x軸的距離為（2-7）最后對照（2-5/）式和（2-7）式，并將“加勻強電場前”的小球運動軌跡最低點處“曲率半徑為該點到x軸距離的2倍”的題設(shè)條件直接遷移到“加勻強電場后”，這才將小球運動軌跡最高點處的曲率半徑為何應(yīng)在（2-5）式中取其最小值如（2-5/）式所給出的道理說清楚。3、以“微分方程積分法”解答這一解答方法在解答過程中的操作步驟依次為：先列出微分方程；再作變量分離并確定各個變量的積分區(qū)域；最后作定積分求解。故稱作“微分方程積分法”。

解法3（微分方程積分法）：由于小球在運動過程中受到的重力和電場力均為豎直方向上的恒力，所以其動力學(xué)方程在水平方向上的微分表達(dá)式應(yīng)為（3-1）考慮到小球所受到的洛侖茲力的水平分力應(yīng)為（3-2）聯(lián)立（3-1）、（3-2）兩式并作變量分離，可將小球運動過程中的動力學(xué)方程的微分表達(dá)形式最終表為（3-3）隨著小球從靜止釋放直至運動到圖2所示的軌跡最高點的過程，對應(yīng)著變量和的積分域分別為（3-4）對形如（3-3）式所給出的微分方程在（3-4）式所給出的積分域內(nèi)求定積分（3-5）得（3-6）同樣考慮到洛侖茲力不做功，故將形如（1-1）式所給出的動能定理與（3-6）式聯(lián)立，即可解得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給出。

分析3：這一解答方法回避了形如（1-3）式所給出的題設(shè)條件的直接遷移，但所涉及到的數(shù)學(xué)操作顯然又超出了對中學(xué)生的相關(guān)要求。4、以“動量定理累積法”解法在這一方法的解答過程中，取各個變量對時間的平均值而代入動量定理，把動量定理作為牛頓運動定律對時間的累積規(guī)律應(yīng)用于解答過程。故稱作“動量定理累積法”。解法4（動量定理累積法）：設(shè)小球由靜止釋放后經(jīng)時間t運動到圖2所示的軌跡最高點而獲得最大速率vm，并設(shè)在這一過程中小球所受到的洛侖茲力的水平分力、小球沿豎直方向的分速度等物理量對時間的平均值分別為和，則由動量定理可得（4-1）其中，洛侖茲力的水平分力的對時間平均值為（4-2）而小球在這段時間內(nèi)豎直高度的改變量為（4-3）仍然考慮到洛侖茲力不做功，故將形如（1-1）式所給出的動能定理與（4-1）、（4-2）、（4-3）等式聯(lián)立，即可解得小球獲得的最大速率仍如（1-4）式所給出。分析4：借助于動量定理而作累積的解答方法，一方面其實質(zhì)是上述積分方法的“初等表述”，另一方面也是對未選“3-5”模塊的考生的一種極大的不公平。5、以“運動等效分解法”解答這一種解答方法的關(guān)鍵在于：假設(shè)小球在靜止釋放時同時具備著兩個大小相等、方向相反的速度，從而在這一假設(shè)的基礎(chǔ)上將小球?qū)嶋H所作的復(fù)雜運動等效分解為兩個較為簡單的運動以便于解答。故稱作“運動等效分解法”。

解法5（運動等效分解法）：設(shè)在小球靜止釋放時同時具備著兩個大小均為v0、方向分別沿x軸正方向和x軸負(fù)方向的速度如圖3所示，并使與沿x軸負(fù)方向的速度所對應(yīng)的洛侖茲力與重力和電場力的合力平衡，即（5-1）這樣就可將小球的實際運動等效分解為兩個較為簡單的分運動，即：以所假設(shè)的速度v0沿x軸負(fù)方向作勻速直線運動；以所假設(shè)的速度v0沿逆時針方向作勻速圓周運動。當(dāng)其中作勻速圓周運動的分運動恰好經(jīng)歷半個周期時，對應(yīng)著小球恰好運動到如圖4所示的運動軌跡的最高點處，圖中相切于小球運動軌跡最高點處的兩個圓分別是：小球的一個分運動的瞬時軌跡圓（小圓）和小球運動軌跡最高點處的曲率圓（大圓）。此時兩個分運動的速度v0也恰好調(diào)整為同方向，所以小球運動過程中所獲得的最大速率應(yīng)為（5-2）聯(lián)立（5-1）、（5-2）兩式，即可解得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給出。

分析5：針對小球的復(fù)雜運動而作等效分解的解答方法妙則妙矣，但所存在著的問題有如下兩點：第一，這種方法對考生的思維能力的如此高的要求是否就是命題組在主觀上設(shè)定的相應(yīng)考查功能呢？第二，針對如此復(fù)雜的運動實施這種分解方法的理論依據(jù)是在中學(xué)物理教學(xué)要求的范疇之內(nèi)的嗎？6、以“軌跡參數(shù)方程法”解答針對問題的最為徹底的解答方法就是將小球運動的軌跡定量給出，而將小球運動的軌跡定量給出的較為便利的形式是“以運動時間t為參量”而給出小球運動坐標(biāo)x、y的“參數(shù)方程”。故稱作“軌跡參數(shù)方程法”。

解法6（軌跡參數(shù)方程法）：為了表述方便，將圖4中的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)1800而如圖5所示，在此坐標(biāo)系內(nèi)，小球運動過程中沿水平方向和豎直方向上的動力學(xué)方程的微分表達(dá)式分別為（6-2）（6-1）注意到（6-4）（6-3）由此可解得：小球運動軌跡的參數(shù)方程為（6-6）（6-5）同時亦可得到小球運動過程中水平分速度和豎直分速度隨時間變化的函數(shù)分別為（6-8）（6-7）注：形如（6-5）~（6-8）四式的獲得較繁瑣，參見附錄。而所求的小球的最大速率vm應(yīng)該為小球運動到圖5所示的軌跡最高點處時的最大水平分速度，即（6-9）由（6-7）、（6-9）兩式即可求得小球獲得的最大速率如（1-4）式所給出。分析6：最終給出小球運動軌跡的參數(shù)方程如（6-5）、（6-6）式所示，這一解答應(yīng)該算得上對小球的運動情況了解得足夠充分了。但從相應(yīng)的數(shù)學(xué)操作上看，仍不適合用于考察中學(xué)生。

結(jié)論：上述各種解答方法的研究及相關(guān)分析表明：“08高考江蘇物理試卷第14題”的第（3）小題實際上不適合用于考察中學(xué)生。如欲堅持作為考題，相應(yīng)的試題表述應(yīng)作適當(dāng)?shù)男薷?，而修改方案可以有如下三種：

方案2：在第（3）小題的表述中明確表達(dá)：形如（1-3）式的題設(shè)條件仍成立。

方案1：即如前文所提及的將形如（1-5）式的題設(shè)條件改為（1-5/）式，以保證考生能夠在（1-6）式成立的條件下順利實現(xiàn)形如（1-3）式的題設(shè)條件的遷移。

方案3：將相應(yīng)的題設(shè)條件表述充分而將試題題干及第（3）小題的表述修改為

試題表述變例1：在磁感應(yīng)強度大小為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動軌跡如圖（與原題圖同，這里不重復(fù)給出）中曲線所示。小球由靜止釋放后其受力具備著如下特征：受到的兩個力一個是大小、方向均恒定的重力，另一個則是大小總與速率成正比、方向總與速度方向垂直的洛侖茲力。正因為小球運動初狀態(tài)和運動過程中受力具備了上述特征，所以其運動軌跡的最低點處曲率半徑恰為該點到x軸距離的2倍。若重力加速度大小為g，求：（前兩小題的表述略去）（3）當(dāng)在上述磁場中加上一個方向豎直向上、場強大小為E，（）的勻強電場時，小球從O點靜止釋放后獲得的最大速率vm。

試題表述變例2：在場強為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖1所示。重力加速度為g。求：（1）小球運動到任意位置P（x，y）處的速率v；（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；