2022年高考數學一輪復習 平面向量的線性運算及基本定理（精講）（解析版）

10.1平面向量的線性運算及基本定理（精講）思維導圖思維導圖常見考法常見考法考法一基本概念的辨析【例1】（2021·全國高三專題練習）設為單位向量，下列命題中：①若為平面內的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則，假命題的個數是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3．故選：D【一隅三反】1（2021·全國高三專題練習（理））判斷下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因向量共線，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，則是假命題，①不正確；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，則是假命題，②不正確；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，則是假命題，③不正確；由相等向量的定義可知：若，則是真命題，④正確，所以，正確命題的個數是1.故選：A2．（2021·全國）下列命題中，正確的個數是（）①若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；②若||＝||，則＝或＝－；③若(λ為實數)，則λ必為零；④已知λ，μ為實數，若，則與共線．A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】①錯誤，如在?ABCD中，，但是這兩個向量的起點和終點分別不重合；②錯誤，模相等的兩個向量，方向關系不確定；③錯誤，若(λ為實數)，則λ＝0或；④錯誤，當λ＝μ＝0時，＝0，但與不一定共線．故選：A3．（2021·全國高三月考（文））對實數、和向量，，，正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對于A：由數乘向量的性質可知：，故A正確；對于B：表示與平行的某個向量，表示與平行的某個向量，顯然不一定相等，故B錯誤；對于C：當或時，，顯然成立，但不成立，故C錯誤；對于D：當時，成立，但不一定成立，故D錯誤；故選：．考法二線性運算【例2】（1）（2021·江西上高二中（文））如圖，向量（）A． B．C． D．（2）（2021·三亞華僑學校高三月考）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由圖可得，所以故選：D（2）連結，則為的中位線，，故選：A【一隅三反】1．（2021·新疆高三（文））如圖，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：，，則.故選：A2．（2021·陜西寶雞·（文））如圖，向量（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，.故選：D.3．（2021·全國高三月考（理））已知平面上四點，，，，則以下說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故選項A錯誤；，故選項B錯誤；，故選項C錯誤；因為，故，故選項D正確.故選：D.4．（2021·全國高一課時練習）化簡（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.5．（2021·全國）在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出圖形，如圖所示：.故選：A.考法三共線問題【例3】（1）（2021·全國高三專題練習）已知向量且，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D（2）（2021·上海外國語大學附屬大境中學高三月考）向量不共線，點P、Q、S共線，已知，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】（1）A【解析】（1）由，可得，所以共線，所以A正確；因為和，顯然三點不共線，所以B錯誤；由，，顯然三點不共線，所以C錯誤；又由，，顯然三點不共線，所以D錯誤.故選：A.（2）因為，又因為點P、Q、S共線，所以，所有，因此，故，解得，故選：D.【一隅三反】1．（2021·全國（文））在中，，P為BD上一點，若，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知B，P，D三點共線，所以，所以，，故選D．2．（2021·全國高三（理））在中，，D是上的點，若，則實數x的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三點共線，∴，∴．故選：D．3．（2021·天水市第一中學高三月考（理））已知兩個非零向量，互相垂直，若向量，共線，則實數λ的值為（）A．5 B．3C． D．2【答案】C【解析】因為，是非零向量，且互相垂直，所以，因為共線，所以當且僅當有唯一一個實數，使，即，所以，又因為，不共線，所以.故選：C.考法四基本定理【例4】（1）（2021·全國高三專題練習）如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C．1 D．（2）（2021·全國高三專題練習（理））已知等邊三角形ABC的邊長為4，O為三角形內一點，且，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）D【解析】（1）由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選：A．（2）根據題意，設AB的中點為D，是等邊三角形，則，AB的中點為D，則，又由，則，則O是CD的中點，又由的邊長為4，則，，則，則，故選：D．【一隅三反】1．（2021·江西?。┤鐖D，在中，，，分別是，，的中點，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】.故選：D.2．（2021·天水市第一中學高三月考（理））如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B3．（2021·湖北）在中，，點D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.【答案】C【解析】在中，因為，所以，所以.故選：C．4．（2021·上海黃浦·盧灣高級中學高三月考）已知是三角形內部的一點，，則的面積與的面積之比是（）A． B．C．2 D．1【答案】B【解析】如下圖所示，、分別是、中點，由得即，所以，由，，設，，則，，由三角形相似比可得，解得，因為，所以，即，所以，所以，即的面積與的面積之比是故選：B.5．（2021