2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何法解空間角（精講）（解析版）

7.4幾何法解空間角（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一線線角【例1】（2021·全國(guó)高三）在四面體中，，，是棱的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)為，連接，又是的中點(diǎn)，則，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角.在中，，，，所以為等邊三角形，故，即異面直線與所成的角為.故選：A.【一隅三反】1．（2021·山東泰安市）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.例如，塹堵指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，若，當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí)，塹堵中異面直線所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在塹堵中,平面,平面所以，又，且，所以平面所以陽(yáng)馬的體積為在直角三角形中，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，陽(yáng)馬的體積取得最大值又,所以（或其補(bǔ)角）為異面直線所成角,即,所以故選：C2．（2021·河北饒陽(yáng)中學(xué)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)F是棱的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在棱BC上，且，動(dòng)點(diǎn)T（不同于點(diǎn)M）在四邊形ABCD內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則直線與TM所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：易知.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，所以平面AFO，又平面AFO，所以，在棱DC上取一點(diǎn)N，且，連接NM，則，所以，所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡為線段MN（不包括M）.取棱的中點(diǎn)H，連接DH，易知，則即異面直線與TM所成的角.連接BH，因?yàn)?，，，所以法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，則，，.由題意知，得，所以，則，又T不與點(diǎn)M重合，所以，所以，所以直線與TM所成角的余弦值為，故選：B.3．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值是___________.【答案】【解析】故答案為：4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））如圖，已知圓柱的上底面圓心為O，高和底面圓的半徑相等，AB是底面圓的一條直徑，點(diǎn)C為底面圓周上一點(diǎn)，且，則異面直線AC與OB所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，設(shè)底面圓心為，則底面，，過(guò)點(diǎn)B作，交圓于D，連接OD，AD，則即為直線AC與OB所成角，設(shè)底面圓半徑為1，由圓柱高和底面圓的半徑相等，得圓柱高為1，在中，，，，由圓的對(duì)稱性可知，所以為等比三角形，則，故直線AC與OB所成角的余弦值為.故答案為：.考點(diǎn)二線面角【例2】（2021·全國(guó)高三二模（文））已知正方體的體積為，點(diǎn)在面上，且，到的距離分別為2，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示:設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，故，即，∴，連接，，∴，則點(diǎn)在上且為中點(diǎn)，連接與交于，連接，可知平面，則為直線與平面所成角，在直角三角形中，∴.故選：B.【一隅三反】1．（2021·山東煙臺(tái)市·高三二模）許多球狀病毒的空間結(jié)構(gòu)可抽象為正二十面體．正二十面體的每一個(gè)面均為等邊三角形，共有12個(gè)頂點(diǎn)、30條棱．如圖所示，由正二十面體的一個(gè)頂點(diǎn)和與相鄰的五個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成正五棱錐，則與面所成角的余弦值約為（）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，在面上的射影，如下圖示，∴五個(gè)三角形都是等腰三角形且，易知，而，令，∴，又正二十面體的每一個(gè)面均為等邊三角形即，且面，∴與面所成角的余弦值為.故選：A2．（2021·濟(jì)南市·山東師范大學(xué)附中高三其他模擬）（多選）如圖，平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，，，，將沿對(duì)角線BD折起至，使平面平面，則四面體中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．異面直線CD與所成的角為90°C．異面直線EF與所成的角為60°D．直線與平面BCD所成角為30°【答案】ABD【解析】因E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則平面，平面，則平面，A正確；因平面平面，平面平面，而，則平面，于是，異面直線CD與所成的角為90°，B正確；，則，而，，從而得平面，，，異面直線EF與所成的角為90°，C不正確；連，由，F(xiàn)為的中點(diǎn)得，于是有平面，則CF是在平面內(nèi)射影，是直線與平面BCD所成角，如圖：而，則，則，D正確.故選：ABD.3．（2021·正陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)高三其他模擬（理））如圖，在正三棱柱中，，，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線與平面所成的角即是直線與平面所成的角.因?yàn)槠矫妫约词侵本€與平面所成的角，設(shè)其為，則，所以.故答案為：4．（2021·河南高三其他模擬（理））在三棱錐中，已知，，則直線與平面所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，因?yàn)?，所以，又，所以，可證，所以，從而平面，所以PB與平面所成角為，.故答案為：.考點(diǎn)三二面角【例3】（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.現(xiàn)將菱形沿對(duì)角線AC折成空間幾何體ABCD'.設(shè)空間幾何體ABCD'的外接球?yàn)榍騉，若球O的表面積為8π，則二面角B﹣AC﹣D'的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè),為三角形ABC外接圓的圓心，半徑為r，外接球的球心為O，半徑為R,則.因?yàn)榍騉的表面積為8π，所以,解得：.因?yàn)槊鍭BC,所以.因?yàn)?所以在BM延長(zhǎng)線上的投影長(zhǎng)為.所以為BD的中點(diǎn)，所以.在菱形ABCD中，,所以面,所以即為面角B﹣AC﹣D'的平面角.由余弦定理得：.故答案為：【一隅三反】1．（2021·浙江高三其他模擬）如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，為的中點(diǎn)，，則二面角的正切值為_(kāi)_____.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，，，所以為二面角的平面角.在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以.故答案為：2．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足.（1）證明：AM⊥平面；（2）若M是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）聯(lián)結(jié)AC，由知，，即，由在直四棱柱中，平面ABCD，則又，則平面ACM，又平面ACM，則，又，則，由條件知，且，故平面；（2）由（1）知為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)為E，聯(lián)結(jié)，則，又在直四棱柱中，平面，則，從而有平面，過(guò)E點(diǎn)作的垂線，垂直為F，聯(lián)結(jié)，此時(shí)由知，平面，則，為二面角的平面角，又M是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為G，易知，由題知，設(shè)，則，，則則在中，，即，解得則在中，，，則，故二面角的正弦值為.3．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）如圖，在三棱柱中，平面平面（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；【解析】（1）由題知，四邊形