同濟大學高等數(shù)學教案多元函數(shù)微分學

高等數(shù)學教學教案第六章多元函數(shù)微分學授課序號0教學基本指標教學課題第六章第一節(jié) 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點極限與連續(xù)的概念和性質教學難點極限不存在的情況參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質教學基本內容一、基本概念:1、多元函數(shù)的概念{(%,y)|%,ywR}表示xOy坐標平面，設M1(x1,y1)與M2(x2,y2)為xOy平面上的兩點則d=J(x2—xj+(y2—yj表示M1(x1,y1)與M2(x2,y2)的距離.坐標平面上具有某種性質的點的集合，稱為平面點集，記作E={(x,y)(x,y)具有某種性質}，設D是平面上的點集，如果D中的點滿足下面兩個條件，則稱D為開區(qū)域.(1)對于D中的任意一點P，如果都能找到它的一個鄰域(見圖6-2)，使得鄰域能夠包含在點集D中(這樣的點P稱為點集的內點).(2)對于D中的任意兩點，都能用包含在D中的折線連接起來，即折線上的點都在D中，見圖6-3.開區(qū)域簡稱區(qū)域.2、二元函數(shù)的概念設D是平面上的一個非空點集，如果對于D內的任一點(x,y)，按照某種法則了，都有唯一確定的實數(shù)z與之對應，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(%,y)處的函數(shù)值記為f(%,y)，即z=f(x,y)，其中x,y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集｛zIz=f(x,y),(%,y)eD｝稱為該函數(shù)的值域.3、二元函數(shù)的極限定義2設函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，P(x,y)是xOy平面內的定點(見圖6-7),若存在常數(shù)A，0 0 0Vs>0，35>0，當點P(x,y)eDcU(P0,5)時，恒有f(P)-A=f(x,y)-A<s，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(x，yLt，y0)時的極限，記作A，(x,y).(x0,y0).lim f(xA，(x,y).(x0,y0).(x,y)—(x0,y0)也可記作limf(P)=A或f(P)fA，P.P0.4、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設二元函數(shù)z二八x,y)在點(x0，y0)的某一鄰域內有定義，(x，y)是鄰域內任意一點，如果limf(x，y)=f(x0，y0)，則稱z=f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)處不連續(xù),則稱函數(shù)z=八x,y)在(x0，y0)處間斷.由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟而得到的可用一個式子表示的函數(shù)稱為多元初等函數(shù).二、定理與性質：性質1(有界性與最大值最小值定理)若函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)在D上必有界，且能取得最大值和最小值.性質2(介值定理)若函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.三、主要例題:例1求二元函數(shù)f(x，y)=J3—x2-y2的定義域.例2求函數(shù)z=lnQ2+y2-2x)+In(4-x2-y2)的定義域… 、了2—V2例3已知函數(shù)f(x+V,x—V)二——乙，求f(x,V)的表達式，并求f(2,1)的值.X2+V2X2V 八例4證明lim——二二0(x,V)-(。,0)X2+V2XV例5證明lim--一不存在.x-0x2+V2V-0例6求極限lim(x2+V2)sinx—0例7求極限lim(x,V)—(0,0)1―：osQ+例7求極限lim(x,V)—(0,0)ex+v例8求lim .x—0x+VV—1例9求limln(V—x)+ry:Ix―0_ 71—x2_|V—1一3一、:x2+V2+9例10 求極限lim——X .x—0 x2+v2V—0

授課序號02教學基本指標教學課題第六章第二節(jié) 多兀函數(shù)的偏導數(shù)與全微分課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點偏導數(shù)和全微分的概念教學難點全微分存在的必要和充分條件參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解偏導數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性，會解全微分方程教學 基本內容一、基本概念：1、偏導數(shù)設函數(shù)z=f(%,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，當y固定在y0,而％在5處有增量故時，相應的函數(shù)有增量f(%jAx,yo)-f(%o,yo).如果lim“0——'g%f(o，y0)存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(%,y)在點(%0,y0)處對%的偏導數(shù)，記為8f瓦'瓦'入%0或f%(%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0例如，f(%,y)=limf(%0+A%'y0)-f(%0,y0),%00以-0 A%類似地，函數(shù)z=f(%,y)在點(%0,y0)處對y的偏導數(shù)為limf(%0,y0+Ay)-f(%0,y0),Ay—0 Ay記為df正'五'zy%二%0或嚇%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0二元函數(shù)偏導數(shù)的定義可以類推到三元及三元以上的函數(shù).

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內每一點處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)是x,y的二元函數(shù)，那么稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導函數(shù)，簡稱為偏導數(shù)，記作azafa’不’zx或f.(x,y)?同樣，函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導數(shù)記作2、偏導數(shù)的幾何意義設曲面的方程為z二f(x,y)，M0(x0，y0，f(x0，y0))是該曲面上一點,過點M0作平面y二y0,截此曲面得一條曲線，其方程為z=f(x,y)0y=y0則偏導數(shù)fx(x0,y°)表示上述曲線在點M0處的切線M05對x軸正向的斜率.同理,偏導數(shù)fy(x0，y0)就是曲面被平面x二xo所截得的曲線在點叱處的切線Mo「對y軸正向的斜率.3、高階偏導數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內具有偏導數(shù)S二a,y)，三=f(x,y)，則在D內f(x,y)和f(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同，共有下列四個二階偏導數(shù):=f(x,y),xxdy=f(x,y),xxdy(ax)=f(x,y),xya(a.zax(ay)aya.x=f(x,y)，丁?cyx ay(ay)ay=f(x,y),yy其中第二、第三兩個偏導稱為混合偏導數(shù)4、微分的定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)可以表示為Az-AAx+BAy+o(p),其中A,B不依賴于Ax,Ay而僅與x,y有關,p-1(Ax)2+(Ay)2,則稱函數(shù)z-f(x,y)在點(x,y)可微分，AAx+BAy稱為函數(shù)z-f(x,y)在點(x,y)的全微分，記為dz，即dz-AAx+BAy.若函數(shù)在區(qū)域D內各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內可微分.*5、全微分在近似計算中的應用設二元函數(shù)z-f(x,y)在點P(x,y)的兩個偏導數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù)，且IAx1,1AyI都較小時，則根據(jù)全微分定義，有Az氏dz,Azxf(x,y)Ax+f(x,y)Ay.x yf(x+Ax,y+Ay卜f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.

x y二、定理與性質：d2z a2z定理1如果函數(shù)z-f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)一及kk在區(qū)域D內連續(xù)，則在該區(qū)域內有cyaxaxaya2z_a2zayaxaxay"定理2(必要條件)如果函數(shù)z-f(x,y)在點(x,y)處可微分，則(1)該函數(shù)在點(x,y)連續(xù);azaz 八/ 、 ,、(2)該函數(shù)的兩個的偏導數(shù)k,—都存在，且z-f(x,y)在點(x,y)處的全微分axaydz-生Ax+史Ay.

ax ay、一,一. 八/ 、 azaz ,、定理3(充分條件)如果函數(shù)z-f(x,y)的偏導數(shù)k,—在點(x,y)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點處可微分.axay三、主要例題：… - dz Sz例1設函數(shù)z=X3+2X2戶+Jex，求丁及丁.Sx Sj例2求z=f(x,j)=x2+3xj+j2在點(1,2)處的偏導數(shù).例3求z=xj的偏導數(shù).例4設f(x,J)=(x-1)g(j)+(j-1)h(x)，求((1,1).例5求三元函數(shù)u=sin(x+J2―ez)的偏導數(shù).例6已知一定量的理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT(R為常數(shù))，證明SPSVST1 -1SVSTSP例7設z=4x3+3x2例7設z=4x3+3x2J-3xj2-x+J,求S.x2'SySx'SxSy，Sj2'sx3例8求z=xln(x+J)的二階偏導數(shù).例9求函數(shù)z=xj的二階偏導數(shù).S2u S2u c例10驗證函數(shù)u(x,J)=ln、,：x2+J2滿足方程+--=0.Sx2 Sy2例11求函數(shù)z=4xy3+5x2j6的全微分.例12計算函數(shù)z=xj在點(2,1)處的全微分.例13求函數(shù)u=x+sinj+eJz的全微分.例14求函數(shù)u=xyz的偏導數(shù)和全微分.例15計算(1.04)2.02的近似值.例16當x、y的絕對值很小時，推出函數(shù)(1+x)-(1+y＞的近似公式試用全微分估計例17測得矩形盒的邊長為75cm、60cm以及40cm，且可能的最大測量誤差為0.2cm.利用這些測量值計算盒子體積時可能帶來的最大誤差.

試用全微分估計授課序號03教學基本指標教學課題第六章第三節(jié)復合求導、隱函數(shù)求導及方向導數(shù)課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點復合函數(shù)求導，隱函數(shù)求導教學難點復合函數(shù)二階導數(shù)，隱函數(shù)二階導數(shù)參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法，會求復合函數(shù)的二階偏導數(shù)，會求隱函數(shù)(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導數(shù)，了解方向導數(shù)與梯度的概念及其計算方法教 學 基本內容一、基本概念：設函數(shù)工=于Q,P在點M0(x0,七)的某個鄰域U(M0)內有定義，/是指向點M0(x0,y0)的一射線，它與x軸正向的夾角為a,p—q(Ax}+(Ay},Mq+Pcosa,y°+psina)eU(MJ為l上的任點(見圖6-11)，若limAz_[imf(%0+Pcosa,y。+psina)-f(x。,y。)pf0+p P-0+ p存在，則稱此極限為函數(shù)z—f(X,y)在點M(x,y)沿方向l的方向導數(shù)，記作工 .000 alM0即az _limf(x0+Pcosa,y0+psina)-f ,y°)_a1M0 P—0+ P二、定理與性質：1.復合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設u—u(t),V—V(t)土均在t處可導，函數(shù)z—f(u,v)在對應點(u,V)處有連續(xù)的偏導數(shù)，則它們構成的復合函數(shù)z—f[u(t),V(t)]在t處可導，且有導數(shù)公式dzazduazdv— + .dtaudtavdt公式中的導數(shù)df稱為全導數(shù)..復合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形duCu CvCv設u=u(%,y),v=v(%,y)在點(%,y)處都具有偏導數(shù)丁,丁及，丁，C%cy C%cy一。，、,一，/、一，一，、,,dz dz函數(shù)z=f(u,V)在對應點(u,V)具有連續(xù)的偏導數(shù)丁和二，Cu OV則復合函數(shù)z=f[u(%,y),V(%,y)]在(%,y)處的兩個偏導數(shù)存在，并有求導公式CzCzCuCzCv

= + Cy CuCyCvCy.復合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形這種情形比較復雜，我們僅以一種情況為例，其他的類似可得.定理3如果函數(shù)u=u(%,y)在點(%,y)具有對%及對y的偏導數(shù)，函數(shù)v=v(y)在點y可導，函數(shù)z=f(u,V)在對應點(u,V)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f[u(%,y),V(y)]在對應點(%,y)的兩個偏導數(shù)存在，且有(4)Cz_CzCu(4)C%CuC%CzCzCuCzdv = + .CyCuCyCvdy4、全微分形式的不變性無論z是自變量u、V的函數(shù)，還是中間變量u、V的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個性質就叫做全微分形式的不變性.5、隱函數(shù)的求導公式(隱函數(shù)存在定理1)設函數(shù)F(%,y)在點P(%0,y0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且Fy(%0,y0)中0,F(%0,y0)=0,則方程F(%,y)=0在點P(%0,y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(%),它滿足y0=f(%0),并有dy_F =——%-.d% Fy6、(隱函數(shù)存在定理2)設函數(shù)F(x,y,z)在點P(X0,y0,z。)的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(F(X0,y0,z0)=0,”X0,y0,z0)*0,