傅里葉變換基礎(chǔ)知識

傅里葉變換基礎(chǔ)知識1.傅里葉級數(shù)展開最簡單有最常用的信號是諧波信號，一般周期信號利用傅里葉級數(shù)展開成多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號，即一般周期信號是由多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號線性疊加而成。周期信號的傅里葉級數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號x(t)只要滿足狄利克雷(dirichlet)條件，都可以展開成傅里葉級數(shù)。狄利克雷(dirichlet)條件狄利克雷(dirichlet)條件為：信號x(t)在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點(當(dāng)t從左或右趨向于這個間斷點時，函數(shù)有左極限值和右極限值)；信號x(t)在一周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值；信號在一個周期內(nèi)是絕對可積分的，即iWx(t)dt應(yīng)為有限值。-T/2間斷點在非連續(xù)函數(shù)y=f(x)中某點處x0處有中斷現(xiàn)象，那么，x就稱為函數(shù)的不連續(xù)點。00第一類間斷點(有限型間斷點)：可去間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在且相等，但不等于該點函數(shù)值或函數(shù)在該點無定義(x令分母為零時等情況)；跳躍間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在，但不相等(y=Ixl/x在點x=0處等0情況)。第二類間斷點：除第一類間斷點的間斷點。傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式為x(t)=a+藝(acosn?t+bsinn?t)0 n 0n 0式中：a為信號的常值分量；a為信號的勺余弦信號幅值；b為信號的正弦信號幅值。0na、a、b分別表示為：0nna= h2x(t)dt0T—T/2002{a=J?/2x(t)cosn?tdtnT—T/2 000b=JTFx(t)sinn?tdtT—T/2 000式中：T為信號的周期；?為信號的基頻，即角頻率，?=2冗/T，n=1,2,3...。合并同頻項也可表示為x(t)=a+Acos(n?t+0)0 n 0nn=1式中：信號的幅值A(chǔ)和初相位0分別為A=A=n\a2+b2n n0=arctan(—b/a)x(t)=a+0n=1藝x(t)=a+0n=1藝Cejno0tnn=1n=1n=0n=1n=-1x(t)=*Cejno) n=0,±1,±2,…nn=-<x>這就是周期信號的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達式。頻譜的相關(guān)概念（1）信號的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號的各頻率分量的集合，表征信號的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號的結(jié)構(gòu)，是A （或A-f）和9 （或9-f）的統(tǒng)稱；nnnn（2） 信號的幅頻譜：周期信號幅值A(chǔ)隨o（或f）的變化關(guān)系，用A-o（或A-f）n n n表示；（3） 信號的相頻譜：周期信號相位9隨o（或f）的變化關(guān)系，用9-o（或9-f）n n n表示；（4） 信號的頻譜分析：對信號進行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5） 基頻：o或f,各頻率成分都是o或f的整數(shù)倍；0000（6） 基波：o或f對應(yīng)的信號；00（7）n次諧波： no（n=2,3,...）或nf（n=2,3,...）的倍頻成分Acos（not+申）或0 0 n0nAcos（2兀nft+9）；n 0n周期信號的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot(j=*-1),coso根據(jù)歐拉公式e土jo=cosot土jsinot(j=*-1),sinot=Qj(e-jot一ejot)因此，傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達式x(t)=a+為(acosnot+bsinnot)可改寫成0 n0n0因此，n=1a+jb-n ejno0t+n e—jno0t-020C=a00C=—(a-jb)

n2nn1C=—(a+jb)

-n2nn則x(t)=C+為Cejno0t+為Ce-jno0t=工Cejno0t+藝Cejno0t+

n -n n n=—fT0/2x(t)cosnotdtT0/2x(t)e-jno0tdt0-T0/2To嚴(yán) T0/2x(t)e-jno0tdt0-T0/2=—fT0/2x(t)sinnotdt ” 2 ” ” TT-T0/2 0在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C在一般情況下C是復(fù)數(shù)，可以寫成C=C+jC=Clewn式中nnRnI|CI=丫C2+C2n nRnlC

申=arctannr=丄=丄(a+jb)可表示為2nn由C=C+jC=|clej^n，C=丄(a—jb)，CnnRnIn n2nn -n

C=—(.a—jb)=C|-ej^nn2n n nC=—(a+jb)=|C|?e-島—n2n n n則x(t)=為CejnQt n=0,±1,±2,… 變?yōu)閚n=—<x>x(t)=C+為Cej叫+另Ce-j叫=C+為「|C血叫+咒)+C|ej(-n?0rn)0 n —n 0 L0 0 一n=1 n=1 n=1由此可見，周期信號用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量C\eC\ej(叫±Q”)來描述,0Im傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由C=1(a—jb),C=C+jC=\C|e<可知：n2n n n nR nl nC=a/2nRnC=—b/2 nl n綜合A=\；a2+b2,C|=*C2+C2表示為TOC\o"1-5"\h\zn nn n nR nl|C|=*C2+C2=\；(a/2)2+(—b/2)2=A/2n nR nl n n n即雙邊頻譜的幅值C|是單邊頻譜幅值A(chǔ)的一半。n nC由申=arctannr，C=a/2，C=—b/2可知：申=arctan(b/申=arctan(b/a三角函數(shù)展開表達式復(fù)指數(shù)展開表達式常值分量a=C復(fù)指數(shù)常量C=a余弦分量幅值a=2C復(fù)數(shù)C的實部C=a/2正弦分量幅值n nRb=—2Cn復(fù)數(shù)C的虛部nR nC=—b/2振幅n復(fù)數(shù)C的模"=An/2相位0=arctan(-b/a)相位申=arctan(—b/a)nR2傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號稱為一般周期信號，也就是瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過程等信號均屬于瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號是非周期信號，可以看作一個周期的周期信號，即周期TTa。因此，可以把瞬態(tài)信號看作周期趨于無窮大的周期信號。

傅里葉變換設(shè)有一周期信號x(t),則其在［-T/2,T/2］區(qū)間內(nèi)的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達式為x(t)=XCej叫,n式中n=-g式中C= J%2x(t)e-j叫dtnT-TO/2當(dāng)TTg時，積分區(qū)間［-T/2,T/2］-t［—g,g］；譜線間隔Ae=g=2兀/T_tdco，O O O離散頻率not連續(xù)變量o,所以C=丄Jto/2x(t)e-jnOotdt變?yōu)镺 nT-TO/2 OOOlimC-T=Jgx(t)e-jodt70Tgn0-g該式積分后將是o的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用X(jo)或X(o)表示為X(jo)=Jgx(t)e-jotdt式中：X(jo)稱為信號x(t)的傅里葉積分變換或簡稱傅里葉變換(FouierTransform，F(xiàn)T),是把非周期信號看成周期趨于無窮大的周期信號來處理的，顯然X(jo)=limC-T=lim—n-T0-gn0fTOf即X(jo)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(jo)稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。z^?由X(jo)=limC-T=limCn得fTOfTOX(j?X(j?)C=limn TTTg 丄OO=limX(j?)?o-GOTg 2兀代入x(t)=XCejnGOt得nn=-gx(t)=藝limX(jo)―oejnoot2兀 0o—gn=-g 0當(dāng)t—g時，o=2兀/T=do，離散頻率not連續(xù)變量o，求和Xt積分。則0000x(t)= JgX(jo》jotdo2兀-gx(t)稱為X(jo)的傅里葉逆變換或反變換(InverseFourierTransform，IFT)。(t\-jwdt和x X(j?“d?構(gòu)成了傅立葉變換對2兀-gX(j(t\-jwdt和x X(j?“d?構(gòu)成了傅立葉變換對2兀-g-gFTx(t)oX(加)IFT一般地，使用FT一般地，使用o或o表示信號之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于IFTG=2兀f,所以X(jG)=Jgx(tL-jcotdt和x X(jG^jetdG可變?yōu)椤猤2兀-g—gX(jf)= x(t)e-j2兀ftdtx(t)=JsX(jf)?ej2kfdf

這就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2k的常數(shù)因子，使公式形式簡化。由式X(jf)=Jgx(t)e-j2Kftdt可知，非周期信號能夠用傅里葉函數(shù)來表示,。而周期信號-g可由傅里葉級數(shù)x(t)=￡CejnO0來表示。X(jf)=Jgx(t)e-j2Kftdt是一般復(fù)數(shù)形式，可表示n -gn=-g為X(jf)=ReX(jf)+jImX(jf)=|x(jf)|式中：ReX(jf)為X(jf)的實部；ImX(jf)為X(jf)的虛部；|x(jf)|為信號x(t)的連續(xù)幅頻譜；申(jf)為信號x(t)的連續(xù)相頻譜。儀(jf)|= ReX(jf)]2+[ImX(jf)]2申(f)=arctan[ImX(jf)/ReX(jf)]比較周期信號和非周期信號的頻譜可知：首先，非周期信號幅值|x(jf)|隨f變化時連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號的幅值C丨隨f變化時離散的，即為離散頻譜。其次，CIn n的量綱和信號幅值的量綱一致，而|x(jf)|的量綱相當(dāng)于C|/f，為單位頻寬上的幅值，即n為“頻譜密度函數(shù)”。傅里葉變換的主要性質(zhì)一個信號可以進行時域描述和頻域描述。兩種描述通過傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性質(zhì)十分必要。性質(zhì)時域頻域函數(shù)的奇偶虛實性實偶函數(shù)實偶函數(shù)實奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛偶函數(shù)實偶函數(shù)虛奇函數(shù)實奇函數(shù)線性疊加ax(t)+by(t)aX(jf)+bY(jf)對稱X(jt)X(-f)續(xù)尺度改變x(kt)1 (_f\rrx產(chǎn)Ik『k丿時移x(t-1)0X(