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文檔簡介

第二章隨機變量及其分布

一、隨機變量

二、離散型隨機變量及其分布

三、隨機變量的分布函數(shù)

四、連續(xù)型隨機變量及其分布

五、隨機變量的函數(shù)的分布第一節(jié)為了全面研究隨機試驗的結果,數(shù)學處理上的方便,

第二章要將隨機試驗的結果數(shù)量化。隨機變量

對于隨機試驗而言,它的結果未必是數(shù)量化的。例1、擲一枚硬幣,X=X(e)=1,e=H0,e=T例3.測量某燈泡的壽命,令例2、在n張已編號的考簽中任抽一張,觀察號碼,X=“抽到考簽的號碼”定義:設E是隨機試驗,它的樣本空間為則稱實值單值函數(shù)

X=X(e)為隨機變量。由于X的取值根據試驗結果而定,而試驗各結果出現(xiàn)有一定的概率,所以X取各值也有一定的概率。隨機變量定義在樣本空間上,定義域可以是數(shù)也可以不是數(shù);而普通函數(shù)是定義在實數(shù)域上的。2.

隨機變量函數(shù)的取值在試驗之前無法確定,有一定的概率;而普通函數(shù)卻沒有。

隨機變量的分類:隨機變量非離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量其它

隨機變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別:1.定義域不同離散型隨機變量及其分布

第二章一、離散型隨機變量的定義二、常用的離散型隨機變量第二、三節(jié)定義1.若隨機變量X的全部可能取值是有限個或可列無限多個,則稱X是離散型隨機變量。定義2.設離散型隨機變量的所有可能取值為,其中事件的概率:一、離散型隨機變量的定義eg:拋骰子,X={1,2,3,4,5,6};火車站候車人數(shù),X={0,1,2,…}稱為X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示:性質:例1、袋中有2個白球和3個黑球,每次從中任取1個,直到取到白球為止,X—取球次數(shù),求(1)無放回,(2)有放回情況下X的分布律。解:(1)1234解:(2)123n……注:對于有放回選取是一個獨立性的現(xiàn)象。例2.設一汽車在開往目的地的道路上需經過三盞信號燈,每盞信號燈以概率允許汽車通過,變量表示汽車停車次數(shù)(設各信號燈的工作是相互獨立的),求的分布律。解由題意可知的分布律為,則Ⅰ.(0—1)分布定義1.如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的(0—1)分布。二、常用的離散型隨機變量及其分布(重點)(0—1)分布的分布律也可寫成注:如果隨機試驗只有兩個結果,總能定義一個服從(0—1)分布的隨機變量。

1.伯努利概型①n重獨立試驗在相同的條件下對試驗E重復做n次,若n次試驗中各結果是相互獨立的,則稱這n次試驗是相互獨立的。②伯努利概型設隨機試驗E只有兩種可能結果,設,將試驗E獨立地重復進行n次,則稱這n次試驗為n重伯努利試驗,或稱n重伯努利概型。Ⅱ.二項分布n重伯努利試驗中,X—事件A發(fā)生的次數(shù)則注:定義2.如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為其中記為2、二項分布的二項分布,特別,當時,二項分布為這就是(0—1)分布,常記為某班有30名同學參加外語考試,每人及格的概率解:X012……30例1、例2、設100件產品中有95件合格品,5件次品,先從中隨機抽取10件,每次取一件,X—10件產品中的次品數(shù),(1)有放回的抽取,求X的分布律;(2)無放回的抽取,求X的分布律;(3)有放回的情況,求10件產品中至少有2件次品的概率。解:(1)A—一次中取得次品,P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5“無放回”,各次試驗條件不同,不是伯努利概型。(3)注:明確告知有放回抽樣時,是n重貝努利試驗;若沒有告知,當總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于總數(shù)很小,可以當作放回抽樣。3.二項分布的分布形態(tài)若,則由此可知,二項分布的分布律(右圖)先是隨著到其最大值后再隨著的增大而減小.這個使得達到其最大值的稱為該二項分布的最可能次數(shù)。的增大而增大,達可以證明:例3.某人購買彩票,設每次買一張,

中獎的概率為0.01,共買800次,求他至少中獎兩次的概率。解:

把每次購買彩票看成一次隨機試驗設中獎的次數(shù)為

,則即定理1(泊松Poisson定理)

設是一常數(shù),n是正整數(shù),若,則對任一固定的非負整數(shù)注

(1)不可忽略小概率事件。很小,若中獎不到2次故懷疑“中獎率0.01”是否為真,即中獎率不到0.01。(2)此例中例4、設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理??紤]兩種配備維修工人的辦法:1、有四人維護,每人負責20臺;2、三人共同維護80臺。比較這兩種方法哪種較好。解:1、

設表示“第一個人維護的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”所以,4個人維護80臺,發(fā)生故障而不能及時維修的概率:=0.0169.表示“第i個人維護的20臺中發(fā)生故障而不能及時維修”,2、設Y—80臺同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),則Y~b(80,0.01)=0.0087所以,1、2兩種方案,選取第二種。Ⅲ.泊松分布定義:若隨機變量X的分布律稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為其中是常數(shù),注:①②泊松分布的圖形特點:當n

很大,p很小時,泊松定理表明:泊松分布是二項分布的極限分布,參數(shù)=np

的泊松分布二項分布就可近似看成是例1

一交通路口一段時間內汽車發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,求至少發(fā)生兩次事故的概率。解

隨機變量則解由已知得:所以分布律為例2

隨機變量,已知求λ的值,并寫出的分布律。

近數(shù)十年來,泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布的應用①排隊問題:在一段時間內窗口等待服務的顧客數(shù)②生物存活的個數(shù)③放射的粒子數(shù)隨機變量的分布函數(shù)教師:金花分布律常用表格形式表示:性質:回顧:離散型隨機變量思考:若X不是離散的,怎么討論分布?目的:找一個適用于離散又不限于離散的描述分布的工具隨機變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質三、離散型分布函數(shù)的求法為X的分布函數(shù)。設X是一個隨機變量,定義1的函數(shù)值的含義:內的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念是任意實數(shù),則稱函數(shù)表示X落在∴可以使用分布函數(shù)值描述隨機變量落在區(qū)間里的概率。(1)(2)同理,還可以寫出二、分布函數(shù)的性質(2)

單調不減:(3)右連續(xù)性:(1),且,則上述三條性質,也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。注:解:例1.

已知隨機變量X的分布律為求分布函數(shù)當時,

時,

當時,

所以,一般地,設離散型隨機變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為12離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù);xk為間斷點;例2

已知離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3,4,5。所以X的分布律為解例3

已知分布函數(shù),求

A、B。所以例4、

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質點,以X表示質點坐標.又解:長度成正比,求

X的分布函數(shù).假定質點落在[0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間當時,當

時,當時,例:人們對產品的了解是,壽命不超過500小時的概率為0.71,壽命在500到800小時之間的概率是0.22,在800到1000小時之間的概率為0.07.可畫圖示意,用矩形的面積表示相應的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確,無限細分下去,…,得到一條曲線f(x)x圖中“曲邊梯形”(陰影區(qū)域)的面積即為X

落在區(qū)間[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的規(guī)律.可求X

落于任何區(qū)間的概率.如謝謝大家!分布律常用表格形式表示:性質:回顧:離散型隨機變量思考:若X不是離散的,怎么討論分布?目的:找一個適用于離散又不限于離散的描述分布的工具隨機變量的分布函數(shù)

第二章一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質第四節(jié)三、離散型分布函數(shù)的求法為X的分布函數(shù)。設X是一個隨機變量,定義1的函數(shù)值的含義:上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念是任意實數(shù),則稱函數(shù)表示X落在∴可以使用分布函數(shù)值描述隨機變量落在區(qū)間里的概率。(1)(2)同理,還可以寫出二、分布函數(shù)的性質⑴

單調不減性:⑶右連續(xù)性:⑵,且,則上述三條性質,也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。解:例1.

已知隨機變量X的分布律為求分布函數(shù)當時,

時,

當時,

所以,12離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù);xk為間斷點;一般地,設離散型隨機變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為例2

已知離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3,4,5。所以X的分布律為解例3

已知,求A、B。所以例4、

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質點,以X表示質點坐標.特別,當解:長度成正比,求

X的分布函數(shù).假定質點落在[0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間當時,當

時,當時,例5:人們對產品的了解是,壽命不超過500小時的概率為0.71,壽命在500到800小時之間的概率是0.22,在800到1000小時之間的概率為0.07.可畫圖示意,用矩形的面積表示相應的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確,無限細分下去,…,得到一條曲線f(x)x圖中“曲邊梯形”(陰影區(qū)域)的面積即為X

落在區(qū)間[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的規(guī)律.可求X

落于任何區(qū)間的概率.如連續(xù)型隨機變量及其分布

第二章一、連續(xù)型隨機變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機變量第五、六節(jié)一、連續(xù)型隨機變量的定義定義1.

設F(x)是隨機變量

X的分布函數(shù),若存在非負,使對任意實數(shù)則稱

X為連續(xù)型隨機變量,稱為

X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù)。函數(shù)1.概率密度f(x)的意義:隨機變量X在點x處分布的密集程度。注:連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)連續(xù)。概率密度的性質⑴

非負性⑵

由于(3)

f(x)在點x處連續(xù),則3、連續(xù)性隨機變量的特點(1)(2)f(x)x設r.v

X

的密度函數(shù)為f(x)求F(x).解:例1.合并即可例2、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求A的值,解:例3、求常數(shù)a,b,及概率密度函數(shù)f(x)。例4、,求A,B及f(x)。解:例3、,求A,B及f(x)。解:

二、常用的連續(xù)型隨機變量定義、若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為:則稱X服從[a,b]上的均勻分布,X

~U[a,b]1、均勻分布記作:分布函數(shù)為:因為由此可得,如果隨機變量X服從區(qū)間上的均勻分布,則隨機變量X在區(qū)間上的任一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比,而與該子區(qū)間的位置無關。均勻分布的概率背景

某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即

7:00,7:15,7:30,7:45

等時刻,如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解:依題意,例1.X

~U(0,30)即為使候車時間少于5分鐘,乘客必須在7:10到7:15之間,或在7:25到7:30之間到達車站例2、

設隨機變量X服從[1,6]上的均勻分布,求一元二次方程有實根的概率。解因為當時,方程有實根,故所求概率為從而2、指數(shù)分布定義:若隨機變量X的概率密度為:指數(shù)分布。為常數(shù),則稱隨機變量X服從參數(shù)為其中的指數(shù)分布的分布函數(shù)為例3

假設顧客在某銀行窗口等待服務的時間(單位:分鐘)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘,則他離開。假設他一個月內要來銀行5次,以Y表示一個月內他沒有等到服務而離開窗口的次數(shù),求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務的概率解Y是離散型,,其中現(xiàn)在X的概率密度為解(2)已知該電子元件已使用了1.5年,求它還能使用2.電子元件的壽命X(年)服從λ=3的指數(shù)分布例4(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少?由已知得X的概率密度為指數(shù)分布具有無記憶性,即3、正態(tài)分布定義1:若隨機變量X的概率密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布,f(x)的圖形:高斯應用最廣的分布十八世紀由高斯推廣高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線.特點:(48頁)(1)

f(x)關于(2)

f(x)在(3)定義2、稱X服從標準正態(tài)分布,性質:思考:怎樣證明定理:

若,則證明:求的分布函數(shù)例1、解:=0.8413.=0.0668.若結論:例2.某電子元件的壽命服從求:1)電子元件壽命在250個小時以上的概率2)求k,使元件壽命在之間的概率為0.9解:設X=“電子元件的壽命”2)由題意,查表,例3.解:求:及查表得

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X~N(170,62),問車門高度應如何確定?

設車門高度為hcm,按設計要求即0.99故查表得例4、因為分布函數(shù)非減例5.在電壓不超過200伏,在200-240伏和超過240伏三種情況下,某種元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設電壓求:1)該元件損壞的概率2)該元件損壞時,電壓在200-240伏的概率解:設分別表示電壓不超過200伏,在200-240伏,超過240伏=“元件損壞”由題意由全概公式由題意由全概公式2)由貝葉斯公式例5.0此時由圖可知所以查表可得故則稱點為標準正態(tài)分布的上α分位點。定義

設,若滿足條件4、上α分位點隨機變量的函數(shù)的分布

第二章第七節(jié)回顧:隨機變量的分布(1)離散型的分布律(2)由分布函數(shù)進而給出了連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)隨機變量的函數(shù)設X是一個隨機變量,Y是X的函數(shù),Y=g(X),則Y也是一個隨機變量,本節(jié)的任務:已知X的分布,求隨機變量Y的分布(分布律或分布密度)一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布如例1.

已知X的分布律為求Y=2X-1,Z=X2+1的分布律。解⑴Y的分布律為一、離散型隨機變量函數(shù)的分布…⑵故Z的分布律為Z=X2+1總結⒈設互不相等時,則由可得⒉當,則把那些相等的值合并,并根據概率的可加性把對應的概率相加得到Y的分布律。Ⅰ.分布函數(shù)法(一般的函數(shù)都適用)⑴先求的分布函數(shù)⑵

再利用分布函數(shù)與概率密度之間的關系求的概率密度為二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布區(qū)域找對至關重要解⑴先求Y=2X+8

的分布函數(shù)設隨機變量X

具有概率密度:例2試求Y=2X+8

的概率密度

得Y=2X+8

的概率密度為分布函數(shù)法求解中結合作圖法會更簡單清晰如何討論y的取值。

例3:解:

由題意可知的取值范圍為設隨機變量X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解:(1)分布函數(shù)例4(2)關于y復合求導,Ⅱ.公式法(只適用于單調函數(shù))定理設⑴隨機變量X具有概率密度處處可導,且是嚴格單調函數(shù)則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為其中h(y)是g(x)的反函數(shù),α與β具體題中再定。注:

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