彈性力學(xué)第十二章復(fù)變函數(shù)法

第十二章復(fù)變函數(shù)法一些彈性力學(xué)問(wèn)題采用復(fù)變函數(shù)求解比較方便，例如對(duì)于由橢圓、雙曲線以及其它曲線構(gòu)成物體邊界的平面向題，對(duì)于含有裂紋平面問(wèn)題等，利用曲線坐標(biāo)及復(fù)變函數(shù)方法求解十分適宜。應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的理論和方法，例如保角變換等，可使彈性力學(xué)問(wèn)題求解的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，本章只限于介紹復(fù)變函數(shù)方法在彈性力學(xué)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的基本概念第二節(jié)應(yīng)力函數(shù),應(yīng)力的表示

第三節(jié)位移的表示第四節(jié)應(yīng)力邊界條件第五節(jié)園域問(wèn)題的解第六節(jié)多連通域內(nèi)應(yīng)力與位移的單值條件

第七節(jié)保角映射與與曲線坐標(biāo)第八節(jié)含圓孔口的無(wú)限大板問(wèn)題第九節(jié)橢圓孔口問(wèn)題第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的基本概念復(fù)變函數(shù)的表示分別為f(z)的實(shí)部和虛部。復(fù)數(shù)的表示共軛復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)的共軛函數(shù)的表示一般，而應(yīng)將所有i,換為-i.復(fù)變函數(shù)的概念和性質(zhì)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面上的點(diǎn)，用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)來(lái)描述和解平面問(wèn)題是十分自然的。復(fù)變函數(shù)w=f(z)

將平面z上的點(diǎn)變換為平面w上的點(diǎn)，將平面z上的圖形變換為平面w上的圖形，將平面z上的一個(gè)區(qū)域變換為平面w上的的一個(gè)區(qū)域。第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的基本概念復(fù)變函數(shù)w=f(z)

是單值函數(shù)時(shí)，當(dāng)z平面上的一點(diǎn)繞行一周，回到原來(lái)的位置時(shí)，對(duì)應(yīng)于w平面上的點(diǎn)也繞行一周，回到原來(lái)的位置。當(dāng)z平面上一點(diǎn)再繞行一周，回到原來(lái)的位置時(shí)，對(duì)應(yīng)于w平面上的點(diǎn)也再繞行一周，回到原來(lái)的位置。復(fù)變函數(shù)z=f(s)

是多值函數(shù)時(shí)，當(dāng)s平面上的一點(diǎn)繞行一周，回到原來(lái)的位置時(shí)，對(duì)應(yīng)于z平面上的點(diǎn)并不繞行一周，回到原來(lái)的位置，而是到達(dá)新的一點(diǎn)。當(dāng)z平面上的一點(diǎn)再繞行一周，回到原來(lái)的位置時(shí)，對(duì)應(yīng)于z平面上的點(diǎn)從新的一點(diǎn)出發(fā)，畫(huà)出新的曲線，到達(dá)另一個(gè)新的點(diǎn)的位置。我們通常用到的多值函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)lnz.當(dāng)應(yīng)力和位移由復(fù)變函數(shù)組成時(shí),為了保證他們的單值性,應(yīng)考慮這一點(diǎn)。當(dāng)z為單位圓周上的點(diǎn)時(shí)，繞行一周后，z的值重復(fù)，而對(duì)數(shù)函數(shù)lnz值不重復(fù)，也就是多值函數(shù)。解析函數(shù)的概念和性質(zhì)在一個(gè)區(qū)域D的每一個(gè)點(diǎn)處都可微的函數(shù)，叫在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。性質(zhì)1如果函數(shù)在一區(qū)域內(nèi)是解析的，那么對(duì)于所有的在這個(gè)區(qū)域內(nèi)而且具有兩個(gè)公共端點(diǎn)的那些曲線C來(lái)說(shuō)，積分的值相同。性質(zhì)2如果函數(shù)在一個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零。對(duì)于多連通區(qū)域來(lái)說(shuō)如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零，但在通過(guò)這個(gè)區(qū)域的邊界時(shí)，其通過(guò)的方向要使區(qū)域D始終保持在同一個(gè)側(cè)。DC性質(zhì)3如果函數(shù)f(z)在一區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么柯西公式成立其中C是區(qū)域D的邊界，其通過(guò)的方向是使區(qū)域D始終保持在其左面的。并z點(diǎn)應(yīng)包含在區(qū)域D內(nèi),也就是說(shuō)柯西積分被積函數(shù),以z為奇點(diǎn).具體例子請(qǐng)看mathcad中柯西積分的例子.另外有性質(zhì)4函數(shù)為解析函數(shù)的必要條件是柯西－黎曼條件當(dāng)這些偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，也是充分條件。根據(jù)柯西－黎曼條件，可知解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù):解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是共軛的，其等值線相互垂直。性質(zhì)5設(shè)f(z)在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上是解析的，那么對(duì)圓內(nèi)所有的點(diǎn)有泰勒級(jí)數(shù)表示：設(shè)f(z)在a點(diǎn)不是解析的，則稱(chēng)為該點(diǎn)為一個(gè)奇點(diǎn)，如除該點(diǎn)外解析，則稱(chēng)為孤立奇點(diǎn)。如果奇點(diǎn)的形式如下，則成為極點(diǎn)（φ(z)解析

）：設(shè)f(z)在z=a處有一m階極點(diǎn)，但在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上其他點(diǎn)上是解析的，那么對(duì)圓內(nèi)所有的點(diǎn)有羅朗級(jí)數(shù)表示：設(shè)f(z)在z=a處有一階極點(diǎn)，但在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上其他點(diǎn)上是解析的，那么對(duì)圓內(nèi)所有的點(diǎn)有羅朗級(jí)數(shù)表示：于是有另由包含a在內(nèi)的柯西積分可得殘數(shù)定理如果柯西積分包含a,b兩個(gè)單極點(diǎn)在內(nèi)，則有復(fù)變函數(shù)w=f(z)

為解析函數(shù)時(shí)，在它所實(shí)現(xiàn)的條件下，若在兩曲線交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不為零，則變換前后曲線在該交點(diǎn)處的夾角的大小和旋轉(zhuǎn)方向保持不變，這種變換稱(chēng)為保角映射。應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示在第二章中已經(jīng)證明，在平面問(wèn)題里，如果體力是常量，就一定存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)φf(shuō)，它是位置坐標(biāo)的重調(diào)和函數(shù)，即第二節(jié)應(yīng)力函數(shù),應(yīng)力的表示

現(xiàn)在，引用復(fù)變數(shù)z=x＋iy和z＝x－iy以代替實(shí)變數(shù)x

和y。注意可以得到變換式又可以進(jìn)而得到變換式于是可將方程式變換成為令由可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實(shí)部得到，設(shè)f(z)為解析函數(shù)，可令由令將上式對(duì)z積分，得到令即將上式對(duì)z積分，得到注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φf(shuō)是實(shí)函數(shù)，可見(jiàn)該式右邊的四項(xiàng)一定是兩兩共軛，前兩項(xiàng)已經(jīng)是共軛的，后兩項(xiàng)也應(yīng)是共軛的：令即得有名的古薩公式它也可以再改寫(xiě)為于是可見(jiàn)，在常量體力的平面問(wèn)題中，應(yīng)力函數(shù)φf(shuō)總可以用復(fù)變數(shù)z的兩個(gè)解析函φ1(z)和χ(z)來(lái)表示，稱(chēng)為K-M函數(shù)。在這里我們研究了重調(diào)和函數(shù)的結(jié)構(gòu)，具體的函數(shù)應(yīng)由問(wèn)題的邊界條件得到。根據(jù)應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可得到應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示由可得另又有可得和顯然,φ1(z)及ψ1(z)具有同樣的因次［力][長(zhǎng)度]-1。只要已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實(shí)部分開(kāi)，由虛部得出τxy，由實(shí)部得出σy-σx。

就是應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示。當(dāng)然也可以建立公式，把σx、σy

、τxy三者分開(kāi)用φ1(z)和ψ1(z)來(lái)表示，但那些公式將比較冗長(zhǎng)，用起來(lái)很不方便。現(xiàn)在把位移分量用復(fù)變函數(shù)φ1(z)和ψ1(z)來(lái)表示。假定這里講的是平面應(yīng)力問(wèn)題。由幾何方程及物理方程有第三節(jié)位移的表示可得其中根據(jù)注意到同理將上兩式分別對(duì)x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上式代入式其中根據(jù)將得到于是可以得到剛體位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx不計(jì)剛體位移，即得到得到由式(*)將結(jié)果代入式(*),兩邊除以1+ν而得這就是位移分量的復(fù)變函數(shù)表示。如果已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以將該式右邊的實(shí)部和虛部分開(kāi)，從而得出u和v。上述公式是針對(duì)平面應(yīng)力情況導(dǎo)出的。對(duì)于平面應(yīng)變情況，須將式中的E改換為E/(1－ν2)，ν改換為ν/(1－ν)。應(yīng)力和位移公式是柯洛索夫首先導(dǎo)出的。

四、應(yīng)力邊界條件為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的φ值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=dy/ds,l2=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫(xiě)為：由圖可見(jiàn)，由此得：

設(shè)A是邊界上的固定點(diǎn)，B為任意一點(diǎn)，則從到邊界上的合力，可用上式從A點(diǎn)到B點(diǎn)對(duì)s積分得到：將式把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)復(fù)常數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可把應(yīng)力函數(shù)A處的值設(shè)為零，于是對(duì)于邊界上的σ有代入，整理得：這就是應(yīng)力邊界條件?；蛑灰覀円蟪鰸M足邊界條件的兩個(gè)解析函數(shù)，問(wèn)題就得以解決，但要求出滿足邊界條件的兩個(gè)解析函數(shù)，這仍舊是困難的，克羅索夫和穆斯赫利什維利(Kolosoff-Mushelishvili)根據(jù)邊界條件和柯西積分解決了不少?gòu)?fù)雜的問(wèn)題，在這下面我們將作一簡(jiǎn)要的介紹，通過(guò)一些例子，說(shuō)明方法的應(yīng)用。五、園域問(wèn)題的解設(shè)圓的半徑為R，在圓周L上給定外力，于是為已知函數(shù)，其中現(xiàn)在的問(wèn)題是求兩個(gè)解析函數(shù)，使在L上滿足以2πi(σ-z)來(lái)除上式，這里z在圓內(nèi)，并在L上積分得R現(xiàn)在逐個(gè)計(jì)算上式各積分，根據(jù)柯西積分公式有由于，在圓內(nèi)解析，故可令由于代入上式得這里使用了現(xiàn)在來(lái)求常數(shù)a1，由a1＝φ’(0)，在對(duì)上式求導(dǎo)后，令z=0代入后得取a1的虛部為零，并不會(huì)影響應(yīng)力值，可得最后得到以2πi(σ-z)來(lái)除上式，這里z在圓內(nèi)，并在L上積分得現(xiàn)在逐個(gè)計(jì)算上式各積分，利用現(xiàn)在來(lái)求，將下式取共軛得求得的解析函數(shù)中，去掉與應(yīng)力無(wú)關(guān)的常數(shù)得其中例邊界上兩點(diǎn)受水平拉力F的作用，于是FFxyδσ1σ2R可得根據(jù)計(jì)算可得Fxδσ1σ2r1φ1φ2r2z代入應(yīng)力計(jì)算公式，并令最后可得六、多連通域內(nèi)應(yīng)力與位移的單值條件應(yīng)力確定后，應(yīng)力函數(shù)仍可差一個(gè)任意的線性函數(shù)，這時(shí)K-M函數(shù)并未完全確定，對(duì)于單連通區(qū)域，可以通過(guò)選取適當(dāng)坐標(biāo)系等辦法，使得K-M函數(shù)完全確定。但對(duì)于多連通區(qū)域仍不能完成確定，本節(jié)討論K-M函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)滿足單值的條件。設(shè)有多連通區(qū)域，有一內(nèi)邊界C，設(shè)在邊界上C的外力矢量已給定。通常的多值函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，我們?cè)O(shè)DC前面的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，當(dāng)z繞周邊一周時(shí)，函數(shù)值ln(zk)產(chǎn)生一個(gè)增量2πi,于是φ1(z)和ψ1(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時(shí)應(yīng)力主矢量按照公式左邊將得到應(yīng)力主矢量(沿整個(gè)邊界），右邊得到一增量：這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點(diǎn)，φf(shuō)1和ψf1為單值的解析函數(shù)（全純函數(shù)），而Ak，Bk為常數(shù)：結(jié)合可得到也將得到增量，根據(jù)單值性這個(gè)增量應(yīng)為零：這時(shí)位移按照公式當(dāng)有m個(gè)內(nèi)邊界時(shí)，取于是無(wú)限大多連體當(dāng)多連體的外邊界趨于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，該多連體成為無(wú)限大的多連體，除上述條件外，還需考慮無(wú)限遠(yuǎn)的極限情況。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對(duì)于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點(diǎn)，可得到在sR之外的解析函數(shù)于是可寫(xiě)為其中Px,Py為m個(gè)邊界上沿x,y方向的面力之和。將多連通區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)φ*f1和ψ*f1展開(kāi)為羅郎級(jí)數(shù)：于是由于在無(wú)窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力分量應(yīng)該是有限的，級(jí)數(shù)中n≥2的系數(shù)應(yīng)為零。同樣從中，由于在無(wú)窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力分量應(yīng)該是有限的，應(yīng)有其中略去了和應(yīng)力無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)。其中β與應(yīng)力計(jì)算無(wú)關(guān)，可取為零，而于是這時(shí)當(dāng)z→∞時(shí)，可得同樣當(dāng)z→∞時(shí)，從中，可得可以從中求得相應(yīng)的系數(shù)，并可以看到在無(wú)限遠(yuǎn)處，應(yīng)力的分布是均勻的。系數(shù)為設(shè)有平面ζ，復(fù)變函數(shù)z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個(gè)區(qū)域，通常我們選擇ζ平面為一個(gè)單位圓，下面我們首先推導(dǎo)在ζ平面上的應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量的表達(dá)式。七、保角映射與與曲線坐標(biāo)為方便起見(jiàn)，我們?nèi)匀挥忙?(ζ),ψ1(ζ)

,來(lái)表示φ1*(ζ),ψ1*(ζ)。于是有由此得到位移的表示式應(yīng)力邊界條件成為記在映射下邊界條件成為其中除直角坐標(biāo)系外，我們也可以使用其它曲線坐標(biāo)，特別是正交曲線坐標(biāo)，在正交曲線坐標(biāo)ξ、η中，位移分量可以表示為uξ、uη，uξ為ξ增加方向上的位移，uη為η增加方向上的位移，設(shè)在某一點(diǎn)，正交曲線坐標(biāo)ξ、η的方向由x,y的方向轉(zhuǎn)動(dòng)λ，位移分量可以根據(jù)直角坐標(biāo)系下的位移分量根據(jù)坐標(biāo)變換公式得到，有下列的結(jié)果坐標(biāo)變換ξηλxyo上式可以寫(xiě)為復(fù)數(shù)的形式設(shè)有平面ζ，復(fù)變函數(shù)z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個(gè)區(qū)域，同時(shí)將z平面上的一對(duì)垂直的方向，變換為ζ平面上的一對(duì)垂直的方向，但是轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度λ，如果在ζ平面選用極坐標(biāo)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度λ為由下式給出證明如下。設(shè)沿ρ軸方向給z點(diǎn)以位移dz，而對(duì)應(yīng)點(diǎn)ζ沿徑線方向得到位移dζ，于是有可得兩邊取共軛，得到zρθλxyo于是可以得到保角變換后極坐標(biāo)下的位移分量在正交曲線坐標(biāo)ξ、η中，應(yīng)力分量可以表示為σξ、ση和τξη，σξ為ξ＝常數(shù)的曲線上的正應(yīng)力，ση為η＝常數(shù)的曲線上的正應(yīng)力，τξη為這兩曲線上的切應(yīng)力，這些分量可以根據(jù)直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量根據(jù)坐標(biāo)變換公式得到，有下列的結(jié)果：可以寫(xiě)成特別在極坐標(biāo)時(shí)于是可以得到保角變換后曲線坐標(biāo)下的應(yīng)力分量注意到注意上面式子中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行。如果不作保角變換，僅僅改用極坐標(biāo)，這時(shí)極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為在極坐標(biāo)中，如物體的周界為圓，圓心與極坐標(biāo)的原點(diǎn)重合，這時(shí)邊界上的外力與應(yīng)力有關(guān)系由前面兩式相減可得在圓孔問(wèn)題中將采用該邊界條件。八、含圓孔口的無(wú)限大板問(wèn)題以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對(duì)于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點(diǎn)，可得到改寫(xiě)為其中對(duì)于孔邊上的點(diǎn)將上列各式代入就得到極坐標(biāo)下圓周邊界上的級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力邊界條件。設(shè)周邊上的外力為已知，并將其展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)比較兩邊eikφ和e-ikφ的系數(shù)，可得由無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力條件，可得由位移的單值條件有及可求得再由可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例設(shè)孔周邊為均勻壓力p，無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力為零，于是有于是可求得最后得到根據(jù)上述方法，圓孔口無(wú)限大板的一般問(wèn)題都可以得到解決?，F(xiàn)考察一無(wú)限大板，板中有一橢圓孔，其長(zhǎng)半軸和短半軸分別為a和b。九橢圓孔在均勻受拉板中的問(wèn)題這里Oab作變換該映射將橢圓外區(qū)域映射到單位圓外，這時(shí)有在映射下邊界條件成為以2πi(σ-ζ)來(lái)除上式，這里ζ在圓外，并在圓周L上積分得在這里先設(shè)孔邊無(wú)外力作用，即作用于圓周線上外力的合力為零。設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力也為零。這時(shí)成為將其代入邊界條件中去，并逐項(xiàng)積分。現(xiàn)在逐個(gè)計(jì)算上式各積分，根據(jù)柯西積分公式有由于在單位圓上有在圓內(nèi)解析，根據(jù)柯西積分公式有相似可得到于是得到以2πi(σ-ζ)來(lái)除上式，這里ζ在圓外，并在單位圓周L上積分得現(xiàn)在來(lái)求，將下式取共軛得由于有可得到于是在孔邊無(wú)外力作用，無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力為零時(shí)我們?nèi)〉玫疆?dāng)孔邊有外力作用，無(wú)限遠(yuǎn)處的應(yīng)力不為零時(shí)，在變換下將其代入邊界條件得到其中這時(shí)的邊界條件與先前的邊界條件形式上類(lèi)似，通過(guò)相同的步驟，可得到得到例設(shè)孔的周邊不受力作用，在無(wú)限遠(yuǎn)處受大小為P的拉應(yīng)力，其方向與x軸成θ角，這時(shí)有把上述結(jié)果帶回上面K-M函數(shù)的表達(dá)式，我們就得到了帶橢圓孔無(wú)限大板最一般條件下的K-M函數(shù)的表達(dá)式。yOabxθP在極坐標(biāo)時(shí)在φ=θ無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)于是yOabxθP于是這時(shí)有其中各部分的柯西積分,根據(jù)殘數(shù)定理和和柯西積分公式其中前兩式計(jì)算如下代入得到最后得到利用他們來(lái)計(jì)算應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)應(yīng)力分量在邊界上在時(shí)這時(shí)，最大值在處達(dá)到其中稱(chēng)為應(yīng)力集中因數(shù)，可以看到b越小，即孔越窄，應(yīng)力集中因數(shù)越大，當(dāng)b趨于零時(shí)，橢圓孔蛻化為一個(gè)長(zhǎng)為2a的裂縫，應(yīng)力集中因數(shù)將成為無(wú)限大，對(duì)此的詳細(xì)分析將在斷裂力學(xué)中討論。采用橢圓曲線坐標(biāo)

z=c

coshζζ＝ξ＋iη坐標(biāo)變換將平面上的ξ＝ξ0變換為橢圓，橢圓的半徑設(shè)為a,b，則有

a=ccosh

ξ0

b=c

sinh

ξ0c和ξ0可從中求得。附橢圓孔在均勻受拉板中的問(wèn)題（曲線坐標(biāo)解法）xy=常數(shù)=常數(shù)當(dāng)當(dāng)ξ＝常數(shù)，η從零到2π時(shí)，橢圓上的一點(diǎn)繞橢圓一周，位移和應(yīng)力分量的單值性要求，這些分量在η方向上是以2π為周期的?，F(xiàn)考察一無(wú)限大板，均勻受拉力S,板中有一橢圓孔，其半徑為a和b，孔邊無(wú)外力作用。其邊界條件為:在無(wú)限遠(yuǎn)處，σx=σy=σξ=S，τξη=0在孔邊ξ＝ξ0σξ=τξη=0O由z=ccosh

ζ可得取φ(z)=Ac

sinh

ζ，θ(z)=Bc2ζ

而ξ→∞時(shí)，ctanhζ=1,于是可得可得A

=S/2而ξ→∞時(shí)，sinhζ=→∞,于是可得并由于是在無(wú)限遠(yuǎn)處，ση－σξ=

0，τξη=0ση=σξ=S，τξη=0于是在無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件得到滿足。xy=常數(shù)=常數(shù)由可得在孔邊ξ＝ξ0令就可得到滿足了