廣東省東莞市第五高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省東莞市第五高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A考點(diǎn)：幾何概型及其概率的計(jì)算．2.如圖甲是某條公共汽車線路收支差額與乘客量的圖象（收支差額=車票收入—支出費(fèi)用），由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）是不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）是不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格.下面給出四個(gè)圖象：在這些圖象中A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）B．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）C．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）參考答案：B3.已知兩直線x﹣ky﹣k=0與y=k（x﹣1）平行，則k的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】直線x﹣ky﹣k=0即y=x﹣1，k≠0，再根據(jù)兩直線的斜率相等，但在y軸上的截距不相等，求出k的值．【解答】解：由于直線x﹣ky﹣k=0與直線y=k（x﹣1）的斜率都存在，直線x﹣ky﹣k=0即y=x﹣1，k≠0，由兩直線平行的性質(zhì)可得，∴k2=1，且k≠1．解得k=﹣1，故選B．4.與拋物線x2＝4y關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(1,0)

B．(，0)

C．(－1,0)

D．(0，－)參考答案：C略5.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程是，則雙曲線的方程是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D6.雙曲線-=1的兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為(

)A．

B．

C．2

D．參考答案：A略7.如圖，下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形序號(hào)是（） A．①② B．③④ C．②③ D．①④參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定方法，得出圖①④中AB∥平面MNP． 【解答】解：對(duì)于①，該正方體的對(duì)角面ADBC∥平面MNP，得出直線AB∥平面MNP； 對(duì)于②，直線AB和平面MNP不平行，因此直線AB與平面MNP相交； 對(duì)于③，易知平面PMN與正方體的側(cè)面AB相交，得出AB與平面MNP相交； 對(duì)于④，直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線NP平行，且直線AB?平面MNP，∴直線AB∥平面MNP； 綜上，能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是①④． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的直線與平面平行的判斷問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析，是基礎(chǔ)題目． 8.已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)．點(diǎn)到平面的距離（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略9.在正四棱柱中，，E為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得準(zhǔn)線的方程，進(jìn)而利用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義求得答案．【解答】解：依題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=﹣1，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為4+1=5，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離就是點(diǎn)A與拋物線準(zhǔn)線的距離，∴點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=9，則x+9y取得最小值時(shí)x=，y=

．參考答案：9,1.【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由條件，運(yùn)用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等號(hào)），即可得到所求最小值時(shí)x，y的值．【解答】解：由正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=9，可得x+9y≥2=6=6×3=18，當(dāng)且僅當(dāng)x=9y，即x=9，y=1時(shí)，取得最小值18．故答案為：9，1．12.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則

.參考答案：2113.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為__________．參考答案：略14.在中，,則_____________.參考答案：15.命題“”的否定是

．參考答案：16.展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）參考答案：90【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為2，可求得項(xiàng)是第幾項(xiàng)，從而求得系數(shù)．【詳解】展開式通項(xiàng)為，令，則，∴的系數(shù)為．故答案為90．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式．解題時(shí)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為所求項(xiàng)的指數(shù)，從而可求得，得出結(jié)論．17.若滿足，則的最大值

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（a為常數(shù)，a＞0） （Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值； （Ⅱ）求證：當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在上是增函數(shù)； （Ⅲ）若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)：，利用是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的結(jié)論f'（）=0即可求a的值； （Ⅱ）利用：，在0＜a≤2時(shí)，分析出因式中的每一項(xiàng)都大于等于0即可證明結(jié)論； （Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解答】解：由題得：． （Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分） （Ⅱ）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，∵，∴， ∴當(dāng)時(shí)，．又， ∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數(shù)．（5分） （Ⅲ）a∈（1，2）時(shí)，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為， 于是問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式恒成立． 記，（1＜a＜2） 則， 當(dāng)m=0時(shí)，，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時(shí)，g（a）＜g（1）=0， 由于a2﹣1＞0，∴m≤0時(shí)不可能使g（a）＞0恒成立， 故必有m＞0，∴． 若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故， 這時(shí)，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設(shè)要求， ∴，即， 所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（14分） 【點(diǎn)評(píng)】本題第一問主要考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)． 19.假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5，記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為X．

(1)求X的分布列；

(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為y，求y的數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）∵的所有可能取值為0，1，2，3，4，，

∴，，，，，

的分布列為01234

（2）的所有可能取值為3，4，則，，的期望值.略20.已知圓的方程為,點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).直線與圓交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)是線段上的點(diǎn),且.請(qǐng)將表示為的函數(shù).參考答案：(Ⅰ)將代入得則,(*)由得.所以的取值范圍是...........................4分(Ⅱ)因?yàn)镸、N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為,,則,,又,由得,,所以由(*)知,,所以,因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上,所以,代入可得,由及得,即.依題意,點(diǎn)Q在圓C內(nèi),則,所以,于是,n與m的函數(shù)關(guān)系為()...........................8分21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin（θ+）．（Ⅰ）求曲線C的平面直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），求點(diǎn)P與MN中點(diǎn)的距離．參考答案：考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin（θ+），展開得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出；（II）把直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得﹣1=0，由t的幾何意義，可得點(diǎn)P與MN中點(diǎn)的距離為．解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin（θ+），展開得（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2y+2x，配方為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）把直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得=2，即﹣1=0，由于△=6＞0，可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，則．∵直線l過點(diǎn)P（1，0），∴由t的幾何意義，可得點(diǎn)P與MN中點(diǎn)的距離為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線y2=2px（p＞0）上相異兩點(diǎn)，Q、P到y(tǒng)軸的距離的積為4且．（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R，與x軸交點(diǎn)為T，且Q為線段RT的中點(diǎn)，試求弦PR長(zhǎng)度的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系；K7：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由?=0，結(jié)合點(diǎn)P，Q在拋物線上，代入坐標(biāo)后得到y(tǒng)1y2=﹣4p2，把縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)后利用|x1x2|=4可求得p的值，則拋物線方程可求；（2）連接PQ，PR分別叫x軸與點(diǎn)E，M，設(shè)出E和M的坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)出PQ，PR所在的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q，R三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)Q是T和R的中點(diǎn)找到E和M的坐標(biāo)的關(guān)系，最終求出P和R縱坐標(biāo)的乘積，用含有縱坐標(biāo)的弦長(zhǎng)公式寫出弦PR長(zhǎng)度，代入縱坐標(biāo)的乘積后利用單調(diào)性求最小值．【解答】解：（1）∵?=0，則x1x2+y1y2=0，又P、Q在拋物線上，故y12=2px1，y22=2px2，故得+y1y2=0，∴y1y2=﹣4p2，∴，又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．所以拋物線的方程為y2=2x；（2）如圖，設(shè)直線PQ過點(diǎn)E（a，0）且方程為x=my+a聯(lián)立方程組，消去x得y2﹣2my﹣2a=0∴①設(shè)直線PR與x軸交于點(diǎn)M（b，0），則可設(shè)直線PR方程為x=ny+b，并設(shè)R（x3，y3），聯(lián)立方程組，