廣東省東莞市可園中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省東莞市可園中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若存在直線l與曲線C1和曲線C2都相切,則稱曲線C1和曲線C2為“相關(guān)曲線”，有下列四個命題：①有且只有兩條直線l使得曲線和曲線為“相關(guān)曲線”；②曲線和曲線是“相關(guān)曲線”；③當(dāng)時，曲線和曲線一定不是“相關(guān)曲線”；④必存在正數(shù)a使得曲線和曲線為“相關(guān)曲線”.其中正確命題的個數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】①判斷兩圓相交即可；②判斷兩雙曲線是共軛雙曲線即可；③判斷兩曲線可能相切即可；；④假設(shè)直線與曲線和曲線都相切，切點分別為，根據(jù)公切線重合，判斷方程有實數(shù)解即可.【詳解】①圓心，半徑，圓心，半徑，，因為，所以曲線與曲線有兩條公切線，所以①正確；②曲線和曲線是“相關(guān)曲線”是共軛雙曲線（一部分），沒有公切線，②錯誤；③由，消去，得：，即，令得：，當(dāng)時，曲線與曲線相切，所以存在直線與曲線與曲線都相切，所以③錯誤；④假設(shè)直線與曲線和曲線都相切，切點分別為和，，，所以分別以和為切點的切線方程為，，由得：，令，則，令，得：（舍去）或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以方程有實數(shù)解，所以存在直線與曲線和曲線都相切，所以④正確．所以正確命題的個數(shù)是，故選B．【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.2.過兩點和的直線在軸上的截距為

A.

B.

3

C.

D.參考答案：D3.已知集合，，則中元素的個數(shù)是(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：C略4.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.參考答案：C由函數(shù)的解析式，當(dāng)時,是函數(shù)的一個零點,屬于排除A,B,當(dāng)x∈(0,1)時，cosx>0，,函數(shù)f(x)<0，函數(shù)的圖象在x軸下方，排除D.本題選擇C選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．5.從某高中隨機(jī)選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：身高x（cm）160165170175180體重y（kg）6366707274根據(jù)上表可得回歸直線方程=0.56x+，據(jù)此模型預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重為（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg參考答案：B【考點】回歸分析的初步應(yīng)用．【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得==170，==69∵（，）一定在回歸直線方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2當(dāng)x=172時，=0.56×172﹣26.2=70.12故選B．6.如果復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第二象限，則

參考答案：D略7.已知中，，，，那么角等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的應(yīng)用；數(shù)列的應(yīng)用．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先設(shè)長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，由題意可知：a+c=2b，由此可以導(dǎo)出該橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2a+2c=2×2b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故選B．【點評】本題考查等差數(shù)列和橢圓的離心率，難度不大，只需細(xì)心運算就行．9.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（

）A.60對

B.48對

C.30對

D.24對

參考答案：B10.已知：a>b>c,且a+b+c=0,則（

）A．a(chǎn)b>bc

B．a(chǎn)c>bc

C．a(chǎn)b>ac

D．a(chǎn)│b│>c│b│參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有

盞燈．參考答案：195【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項和等于381列式計算即可．【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，設(shè)塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈．故答案為：195．12.=

；參考答案：13.如圖所示，輸出的值為

．參考答案：14.現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于18的概率是___________參考答案：略15.下列說法：①函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6的零點只有1個且屬于區(qū)間（1，2）；②若關(guān)于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個不同的交點；④已知函數(shù)f（x）=log2為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為1．正確的有

．（請將你認(rèn)為正確的說法的序號都寫上）．參考答案：①④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡易邏輯．【分析】對于①：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷；對于②：分a=0和a≠0進(jìn)行討論，a≠0時結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解；對于③：結(jié)合圖象及導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷；對于④：利用奇函數(shù)定義式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定義域．【解答】解：對于①：函數(shù)f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正確；對于②：當(dāng)a=0時原不等式變形為1＞0，恒成立；當(dāng)a≠0時，要使關(guān)于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，則a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，綜上可得a的范圍是[0，1），故②不正確；對于③：令函數(shù)y=x﹣sinx，則y′=1﹣cosx，所以該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，且x=0時最小，且該函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=x﹣sinx只有x=0一個零點，即函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象只有一個交點，故③不正確；④由奇函數(shù)得：，，a2=1，因為a≠﹣1，所以a=1．故④正確．故答案為：①④．【點評】該題目考查了函數(shù)的奇偶性的定義、零點定理、等基礎(chǔ)知識，在應(yīng)用過程中要注意準(zhǔn)確把握定理應(yīng)用的要素與條件，切不可想當(dāng)然．16.一段細(xì)繩長10cm，把它拉直后隨機(jī)剪成兩段，則兩段長度都超過4的概率為

．參考答案：

17.已知是雙曲線（）的左焦點,以坐標(biāo)原點為圓心,為半徑的圓與曲線在第一、三象限的交點分別為,,且的斜率為,則的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，兩個坐標(biāo)系取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，時，求的值．參考答案：（1）y2＝4x；（2）45°或135°.【分析】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，兩邊同乘ρ結(jié)合，即可；（2）由直線的參數(shù)方程觀察得直線過定點(1,0)，用點斜式設(shè)直線方程聯(lián)立曲線C方程，用弦長公式求出弦長，列方程求出直線斜率，然后解出.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρsinθ＝y(tǒng)，ρcosθ＝x，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x．（2）∵直線l的參數(shù)方程為參數(shù)，0＜a＜π），∴tanα＝，直線過（1，0），設(shè)l的方程為y＝k（x﹣1），代入曲線C：y2＝4x，消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，x1x2＝1，∵|AB|＝8．∴＝8，解得k＝±1，當(dāng)k＝1時，α＝45°；當(dāng)k＝﹣1時，α＝135°．∴α的值為45°或135°．【點睛】本題考查了拋物線的極坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，對于極坐標(biāo)系和參數(shù)方程不是很熟悉的同學(xué)建議都將其轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的普通方程進(jìn)行解決.19.（本小題滿分12分）已知實數(shù)滿足,求證：參考答案：證法一：消b,化為a的二次函數(shù),由，得代入左邊得：

……2分左邊

……5分

……8分

……12分其它證法酌情給分，證法參考兩例：證法二：（放縮法）∵,∴左邊＝＝右邊證法三：（均值換元法）∵，所以可設(shè)，，∴左邊＝＝右邊，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立.略20.在程序語言中，下列符號分別表示什么運算

*；＼；∧；SQR（）；ABS（）？參考答案：乘、除、乘方、求平方根、絕對值21.（本小題滿分13分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PA的中點，AC與BD的交點為M.（1）求證：PC//平面EBD；（2）求證：平面BED平面AED；參考答案：（1）證明：連結(jié)，-----------------------2分∵四邊形ABCD是矩形，∴為的中點．----------------------------3分∵E是的中點，∴是三角形的中位線，-----------------4分∴∥．------------------------------------------------------------------5分22.已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．（1）設(shè)cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；（2）設(shè)a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求證：＜．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合；等差關(guān)系的確定．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表達(dá)式，