第三章 線性代數(shù)建模

第三章線性代數(shù)

在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例內(nèi)容提要線性代數(shù)是處理矩陣和向量空間的數(shù)學(xué)分支，在現(xiàn)代科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有應(yīng)用。本書是一本優(yōu)秀的現(xiàn)代教材，給出最新的線性代數(shù)基本介紹和一些有趣應(yīng)用，目的是幫助學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本概念及應(yīng)用技巧，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和工作實(shí)踐奠定基礎(chǔ)。主要內(nèi)容包括線性方程組、矩陣代數(shù)、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性和最小二乘法、對(duì)稱矩陣和二次型等。此外，本書包含大量的練習(xí)題、習(xí)題、例題等，便于讀者參考。本書內(nèi)容深入淺出，論述清晰，適合作為高等院校理工科線性代數(shù)課程的教材，還可作為相關(guān)研究人員的參考書。第一節(jié)基因間“距離”的表示

在ABO血型的人群之中，對(duì)各種群體的基因的頻率進(jìn)行了研究。假設(shè)我們用A、B、AB、O來表示這四種基因型，研究得到的數(shù)據(jù)如下表：基因的相對(duì)頻率基因型愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國(guó)人f3i朝鮮人f4iABABO0.66700.29140.00000.03160.69000.10340.08660.12000.66020.20900.06120.06960.57230.22080.20690.0000合計(jì)1.00001.00001.00001.0000問題一個(gè)群體與另一個(gè)群體的接近程度如何？換句話說，怎樣來表示基因間的‘‘距離’’的合宜的量度。

解有人提出利用向量代數(shù)的方法。首先用單位向量來表示每一個(gè)群體。我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記為。由于對(duì)這四種群體的每一種有。

這意味著下列四個(gè)向量的每個(gè)都是單位向量。記現(xiàn)在用兩個(gè)向量的夾角來表示兩個(gè)對(duì)應(yīng)群體間的‘‘距離’’似乎是很合理的。

如果我們記和夾角為。由得故。基因間的距離基因型愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國(guó)人f3i朝鮮人f4iABABO023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60

由上表可知，最小的基因‘‘距離’’是班圖人和英國(guó)人，說明這兩種人群最相似；而最大的基因‘‘距離’’是愛斯基摩人和班圖人，說明這兩種人群差異最大。

思考題

有甲、乙、丙三名男生，他們的身高、胸圍和體重的數(shù)據(jù)如下表。這三人哪兩人的體型最相似？試建立數(shù)學(xué)模型說明此問題。男生身高（cm）班圖人（cm）英國(guó)人（kg）甲乙丙17516618510493125685483第四節(jié)動(dòng)物數(shù)量按年齡段預(yù)測(cè)問題一、問題

某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分成三個(gè)年齡組：第一組，0~5歲；第二組，6~10歲；第三組，11~15歲。動(dòng)物從第二年齡組開始繁殖后代，經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二年齡組的動(dòng)物在其年齡段平均繁殖4個(gè)后代，第三年齡組的動(dòng)物在其年齡段平均繁殖3個(gè)后代。第一年齡組和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為1/2和1/4。假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各1000頭，問15年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？二、問題分析與模型建立于是我們得到遞推關(guān)系式：即：其中三、模型求解(MATLAB)四、結(jié)果分析

15年后，農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的動(dòng)物總數(shù)將達(dá)到16625頭，其中0~5歲的有14375頭，占86.47%；6~10歲的有1375頭，占8.27%；11~15歲的有875頭，占5.226%。15年間動(dòng)物總增長(zhǎng)為13625頭，總增長(zhǎng)率為454.16%。15第八節(jié)常染色體遺傳模型1、親體基因遺傳方式與問題1）遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)σ卜Q基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制的，那么就有三種基因?qū)Γ洖锳A，Aa，aa。例如，金魚草是由兩個(gè)遺傳基因決定它的花的顏色，基因型是AA的金魚草開紅花，Aa型開粉紅色花，而aa型的開白花。

16又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛為棕色；基因是aa型的人，眼睛是藍(lán)色。這里Aa和AA都表示了同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，也可以認(rèn)為基因a對(duì)于A是隱性的，當(dāng)一個(gè)新體的基因型為Aa，而另一個(gè)親體的基因?yàn)閍a，那么后代可以從aa型中得到基因a，從Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。這樣，后代基因型為Aa或aa的可能性相等。

17下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，使其后代形成每種基因的概率，如表1-2所示。

基因型的概率分布后代基因型父體–母體（n-1代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001

182）問題農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型AA，Aa和aa。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？2、模型構(gòu)造1）假設(shè)（1）設(shè)an，bn和cn分別表示第n代植物中基因型為AA，Aa和aa的植物總數(shù)的百分率，n=0，1，2，…x(n)為第n代植物的基因型分布：

19當(dāng)n=0時(shí)表示植物基因型的初始分布（即培育開始時(shí)的分布）。

顯然有

20（2）第n-1代與第n代的基因型分布關(guān)系是通過表2-3確定的。

2）建模

根據(jù)假設(shè)（2），先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結(jié)合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為；而第n-1代的aa型與AA型的結(jié)合，后代不可能是AA型。

因此當(dāng)n=1，2，…時(shí)

，21類似考慮第n代中的Aa型和aa型，分別可推出將（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得

根據(jù)假設(shè)（1），有22將（4-27），（4-28）和（4-29）式聯(lián)立得

用矩陣形式表示為其中23由(4-30)式進(jìn)行遞推，便得到第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型它表明歷代基因型分布可由初始分布和矩陣M確定。3、模型求解為了計(jì)算Mn，將M對(duì)角化，即求出可逆矩陣P和對(duì)角陣D，使因而有

24其中對(duì)于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分別為25因此

通過計(jì)算，得P--1=P，因此有2627所以有即在極限情況下，培育的植物都是AA型。

28

4、模型討論若在上述問題中，不選用基因型AA的植物與每一其它基因型植物相結(jié)合，而是將具有相同基因型植物結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率由下表2-4給出：

29表2-4相同基因型結(jié)合的后代基因型的概率分布后代基因型父體-母體的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0130于是有其中M的特征值為31通過計(jì)算，可以解出與λ1，λ2相對(duì)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量e1和e2，和與λ3相對(duì)應(yīng)的特征向量e3，即從而得32于是，

即得。33

因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅有基因型AA和aa。34思考題：

一種植物的基因型為AA,Aa和aa。研究人員采用將同種基因型的植物相結(jié)合的方法培育后代，開始時(shí)這三種基因型的植物所占的比例分別為20%，30%，50%。問經(jīng)過若干代培育后這三種基因型的植物所占的比例是多少？35思考題：

將某樹群的樹分成三類：幼樹—樹齡為0—10年，成樹—樹齡為10—40年，老樹—樹齡在40年以上。在沒有采伐的條件下，假定在每一個(gè)單位時(shí)間—2年內(nèi)：(1)幼樹中的成長(zhǎng)為成樹，每一棵幼樹平均繁殖