第三章 線性代數建模

第三章線性代數

在數學建模中的應用舉例內容提要線性代數是處理矩陣和向量空間的數學分支，在現代科學的各個領域都有應用。本書是一本優(yōu)秀的現代教材，給出最新的線性代數基本介紹和一些有趣應用，目的是幫助學生掌握線性代數的基本概念及應用技巧，為后續(xù)課程的學習和工作實踐奠定基礎。主要內容包括線性方程組、矩陣代數、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性和最小二乘法、對稱矩陣和二次型等。此外，本書包含大量的練習題、習題、例題等，便于讀者參考。本書內容深入淺出，論述清晰，適合作為高等院校理工科線性代數課程的教材，還可作為相關研究人員的參考書。第一節(jié)基因間“距離”的表示

在ABO血型的人群之中，對各種群體的基因的頻率進行了研究。假設我們用A、B、AB、O來表示這四種基因型，研究得到的數據如下表：基因的相對頻率基因型愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iABABO0.66700.29140.00000.03160.69000.10340.08660.12000.66020.20900.06120.06960.57230.22080.20690.0000合計1.00001.00001.00001.0000問題一個群體與另一個群體的接近程度如何？換句話說，怎樣來表示基因間的‘‘距離’’的合宜的量度。

解有人提出利用向量代數的方法。首先用單位向量來表示每一個群體。我們取每一種頻率的平方根，記為。由于對這四種群體的每一種有。

這意味著下列四個向量的每個都是單位向量。記現在用兩個向量的夾角來表示兩個對應群體間的‘‘距離’’似乎是很合理的。

如果我們記和夾角為。由得故?；蜷g的距離基因型愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iABABO023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60

由上表可知，最小的基因‘‘距離’’是班圖人和英國人，說明這兩種人群最相似；而最大的基因‘‘距離’’是愛斯基摩人和班圖人，說明這兩種人群差異最大。

思考題

有甲、乙、丙三名男生，他們的身高、胸圍和體重的數據如下表。這三人哪兩人的體型最相似？試建立數學模型說明此問題。男生身高（cm）班圖人（cm）英國人（kg）甲乙丙17516618510493125685483第四節(jié)動物數量按年齡段預測問題一、問題

某農場飼養(yǎng)的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分成三個年齡組：第一組，0~5歲；第二組，6~10歲；第三組，11~15歲。動物從第二年齡組開始繁殖后代，經過長期統(tǒng)計，第二年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代，第三年齡組的動物在其年齡段平均繁殖3個后代。第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為1/2和1/4。假設農場現有三個年齡段的動物各1000頭，問15年后農場三個年齡段的動物各有多少頭？二、問題分析與模型建立于是我們得到遞推關系式：即：其中三、模型求解(MATLAB)四、結果分析

15年后，農場飼養(yǎng)的動物總數將達到16625頭，其中0~5歲的有14375頭，占86.47%；6~10歲的有1375頭，占8.27%；11~15歲的有875頭，占5.226%。15年間動物總增長為13625頭，總增長率為454.16%。15第八節(jié)常染色體遺傳模型1、親體基因遺傳方式與問題1）遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因對，基因對也稱基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制的，那么就有三種基因對，記為AA，Aa，aa。例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它的花的顏色，基因型是AA的金魚草開紅花，Aa型開粉紅色花，而aa型的開白花。

16又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛為棕色；基因是aa型的人，眼睛是藍色。這里Aa和AA都表示了同一外部特征，我們認為基因A支配基因a，也可以認為基因a對于A是隱性的，當一個新體的基因型為Aa，而另一個親體的基因為aa，那么后代可以從aa型中得到基因a，從Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。這樣，后代基因型為Aa或aa的可能性相等。

17下面給出雙親體基因型的所有可能的結合，使其后代形成每種基因的概率，如表1-2所示。

基因型的概率分布后代基因型父體–母體（n-1代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001

182）問題農場的植物園中某種植物的基因型AA，Aa和aa。農場計劃采用AA型植物與每種基因型植物相結合的方案培育植物后代。那么經過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？2、模型構造1）假設（1）設an，bn和cn分別表示第n代植物中基因型為AA，Aa和aa的植物總數的百分率，n=0，1，2，…x(n)為第n代植物的基因型分布：

19當n=0時表示植物基因型的初始分布（即培育開始時的分布）。

顯然有

20（2）第n-1代與第n代的基因型分布關系是通過表2-3確定的。

2）建模

根據假設（2），先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa與AA型結合，后代是AA型的可能性為；而第n-1代的aa型與AA型的結合，后代不可能是AA型。

因此當n=1，2，…時

，21類似考慮第n代中的Aa型和aa型，分別可推出將（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得

根據假設（1），有22將（4-27），（4-28）和（4-29）式聯立得

用矩陣形式表示為其中23由(4-30)式進行遞推，便得到第n代基因型分布的數學模型它表明歷代基因型分布可由初始分布和矩陣M確定。3、模型求解為了計算Mn，將M對角化，即求出可逆矩陣P和對角陣D，使因而有

24其中對于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分別為25因此

通過計算，得P--1=P，因此有2627所以有即在極限情況下，培育的植物都是AA型。

28

4、模型討論若在上述問題中，不選用基因型AA的植物與每一其它基因型植物相結合，而是將具有相同基因型植物結合，那么后代具有三種基因型的概率由下表2-4給出：

29表2-4相同基因型結合的后代基因型的概率分布后代基因型父體-母體的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0130于是有其中M的特征值為31通過計算，可以解出與λ1，λ2相對的兩個線性無關的特征向量e1和e2，和與λ3相對應的特征向量e3，即從而得32于是，

即得。33

因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅有基因型AA和aa。34思考題：

一種植物的基因型為AA,Aa和aa。研究人員采用將同種基因型的植物相結合的方法培育后代，開始時這三種基因型的植物所占的比例分別為20%，30%，50%。問經過若干代培育后這三種基因型的植物所占的比例是多少？35思考題：

將某樹群的樹分成三類：幼樹—樹齡為0—10年，成樹—樹齡為10—40年，老樹—樹齡在40年以上。在沒有采伐的條件下，假定在每一個單位時間—2年內：(1)幼樹中的成長為成樹，每一棵幼樹平均繁殖