山西省運城市鹽化中學東校2022年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

山西省運城市鹽化中學東校2022年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足任意都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是（

）A．

B．C.

D．參考答案：A函數(shù)f（x）滿足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期為4的函數(shù)．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，則g′（x）=，∵x∈（0，4]時，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]遞增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．故答案為：A

2.在1,2,3,6這組數(shù)據(jù)中隨機取出三個數(shù)，則數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是()A.

B.

C.

D.參考答案：A在1,2,3,6這組數(shù)據(jù)中隨機取出三個數(shù)，基本事件總數(shù)(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)共4個，則數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)所包含的基本事件只有(1,2,3)1個.因此，數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是.故選A.3.若復(fù)數(shù)z=，其中i為虛數(shù)單位，則=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i參考答案：B【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算先求出z，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義進行求解即可．【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故選：B4.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小正值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為，所以將向右平移個單位得到，其圖像關(guān)于y軸對稱，所以的最小正值是．考點：三角函數(shù)圖像的特點．5.方程的根的個數(shù)為（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個參考答案：C略6.某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．60參考答案：B【考點】頻率分布直方圖．【分析】由已知中的頻率分布直方圖，我們可以求出成績低于60分的頻率，結(jié)合已知中的低于60分的人數(shù)是15人，結(jié)合頻數(shù)=頻率×總體容量，即可得到總體容量．【解答】解：∵成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績低于60分的頻率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是=50．故選：B．7.下列結(jié)論錯誤的是（

）A．命題：“若，則”的逆命題是假命題；B．若函數(shù)可導(dǎo)，則是為函數(shù)極值點的必要不充分條件；C．向量的夾角為鈍角的充要條件是；D．命題：“，”的否定是“，”．參考答案：C8.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含的零點的區(qū)間是()A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，4)

D．(4，＋∞)參考答案：C略9.等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，則a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10參考答案：C【考點】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)得到：a1+a7=a3+a5，代入數(shù)據(jù)求出a7的值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故選：C．10.已知實數(shù)a，b滿足2a=3，3b=2，則函數(shù)f（x）=ax+x﹣b的零點所在的區(qū)間是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）參考答案：B【考點】函數(shù)的零點；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對數(shù)，指數(shù)的轉(zhuǎn)化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的零點判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵實數(shù)a，b滿足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函數(shù)f（x）=ax+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32單調(diào)遞增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根據(jù)函數(shù)的零點判定定理得出函數(shù)f（x）=ax+x﹣b的零點所在的區(qū)間（﹣1，0），故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y＝asinx－bcosx的一個對稱軸方程為x＝，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為________．參考答案：13512.設(shè)△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，則∠B=_________．參考答案：13.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程是

．參考答案：14.已知，則=

▲．參考答案：215.如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB=90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為．參考答案：【考點】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【分析】延長BO交⊙O與點C，我們根據(jù)已知中⊙O的半徑為2，∠AOB=90°，D為OB的中點，我們易得，代入相交弦定理，我們即可求出線段DE的長．【解答】解：延長BO交⊙O與點C，由題設(shè)知：，又由相交弦定理知AD?DE=BD?DC，得故答案為：16.設(shè)為單位向量，的夾角為60°，則的最大值為．參考答案：1+【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)題意，=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），利用三角恒等變換和平面向量的數(shù)量積，即可求出最大值．【解答】解：由題意||=||=||=1，、的夾角θ=60°，設(shè)=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），∴（++）?=?+?+c2=cosα+cosα+sinα+1=cosα+sinα+1=sin（α+）+1≤+1；∴當α=2kπ+，k∈Z，時取得最大值1+．故答案為：．17.依此類推，第個等式為.參考答案：2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.春季氣溫逐漸攀升，病菌滋生傳播快，為了確保安全開學，學校按30名學生一批，組織學生進行某種傳染病毒的篩查，學生先到醫(yī)務(wù)室進行血檢，檢呈陽性者需到防疫部門]做進一步檢測．學校綜合考慮了組織管理、醫(yī)學檢驗?zāi)芰Φ榷嗳f面的因素，根據(jù)經(jīng)驗，采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將待檢學生隨機等分成若干組，先將每組的血樣混在一起化驗，若結(jié)果呈陰性，則可斷定本組血樣合格，不必再做進一步的檢測；若結(jié)果呈陽性，則本組中的每名學生再逐個進行檢測．現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將30人分成5組，每組6人；方案二：將30人分成6組，每組5人．已知隨機抽一人血檢呈陽性的概率為0．5%，且每個人血檢是否呈陽性相互獨立．（Ⅰ）請幫學校計算一下哪一個分組方案的工作量較少？（Ⅱ）已知該傳染疾病的患病率為0．45%，且患該傳染疾病者血檢呈陽性的概率為99．9%，若檢測中有一人血檢呈陽性，求其確實患該傳染疾病的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）參考答案：（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991【分析】（Ⅰ）設(shè)方案一中每組的化驗次數(shù)為X，則X的取值為1、7，分別求出相應(yīng)的概率，求出，從而方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗次數(shù)為Y，則Y的取值為1、6，分別求出相應(yīng)的概率，求出．從而方案二的化驗總次數(shù)的期望為次．由此能求出方案一工作量更少．（Ⅱ）設(shè)事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，由題意得，，，由此利用條件概率能求出該職工確實患該疾病的概率．【詳解】解：（1）設(shè)方案一中每組的化驗次數(shù)為X，則X的取值為1，7，，∴X的分布列為：X17P0．9700．030

．故方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗次數(shù)為Y，則Y的取值為1，6，，，∴Y的分布列為：Y16P0．9750．025

．∴方案二的化驗總次數(shù)的期望為次．∵，∴方案一工作量更少．（2）設(shè)事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，則由題意得，，，由條件概率公式可得，∴該職工確實患該疾病的概率．【點睛】本題考查了概率與數(shù)學期望的問題，解題的關(guān)鍵是熟記公式；本題還考查了條件概率的知識.19.設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0），關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素．（1）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記bn=（n∈N*），則數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由．參考答案：考點：數(shù)列的應(yīng)用；二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：（1）由題設(shè)條件知a2﹣4×2=0?a=﹣2，故f（x）=（x+）2．a(chǎn)n=Sn﹣Sn﹣1=2n+2﹣1，所以an=．

（2）求出數(shù)列{bn}的通項，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立等式，即可得出結(jié)論．解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2（x∈R，a＜0）的圖象與x軸相切，則△=（﹣a）2﹣4×2=0，∵a＜0，∴a=﹣2．∴f（x）=x2+2x+2=（x+）2，∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=（n+）2（n∈N*）．

于是，當n≥2，n∈N*時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+）2﹣[（n﹣1）+]2=2n+2﹣1，當n=1時，a1=S1=（1+）2=3+2，不適合上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為an=．

（2）由（1）知，Sn=n2+2n+2（n∈N*）．

∵bn=，∴bn===n+2．假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br（正整數(shù)p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則bq2=bp?br，即（q+2）2=（p+2）（r+2），整理，得（pr﹣q）2+2（p+r﹣2q）=0．

因為p，q，r都是正整數(shù)，所以，于是pr﹣（）2=0，即（p﹣r）2=0，從而p=r與p≠r矛盾．故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項能組成等比數(shù)列．點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解及等比數(shù)列性質(zhì)的研究．第（1）問由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，得到Sn=f（n），然后由此求出數(shù)列{an}的通項公式，由Sn求通項an時注意檢驗初始項a1是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問題是否有解．20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）求當時，恒成立的的取值范圍，并證明.參考答案：(1)f(x)有兩個零點，x2-alnx=0在（0，+）上有兩實根，顯然a=,令g(x)=,g/(x)=,令g/(x)=0，x∴g(x)在（0，）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減，又g()=,x>1時g(x)>0.且g(x)0∴=有兩根須0<<,∴ae

（2）x2-alnx0恒成立，即x2>2alnx對x>1恒成立.當a時，顯然滿足。當a>時,>,由（1）知，(g(x))MAX=,,∴0＜a＜e綜上x2-alnx0對x>1恒成立的a的范圍為a＜e

令a=2，則x2-2lnx0對x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，nlnk<k,ln2,ln3,ln4,…，lnn<n,∴l(xiāng)n2+ln3+ln4+…+lnn<=

21.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），（Ⅰ）以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）直線l的方程為=，求直線l被曲線C截得的弦長．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（Ⅰ）求出曲線C的普通方程，即可求曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）直線l的方程為=，則x+y=1代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即可求直線l被曲線C截得的弦長．【解答】解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為（x﹣3）2+y2=4，即x2+y2﹣6x+5=0，…（2分）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得曲線C的極坐標方程是ρ2﹣6ρcosθ+5=0．…（Ⅱ）曲線l的方程ρsinθ+ρcosθ=1，則x+y=1，…（7分）將x=1﹣y代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即交點A（1，0），B（3，﹣2），弦長為|AB|=2．…（10分）【點評】本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上，則該球