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文檔簡介
山西省運城市晉新中學2023年高三數學理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.函數f(x)=ex+x2﹣2在區(qū)間(﹣2,1)內零點的個數為()A.1B.2C.3D.4參考答案:B考點:利用導數研究函數的單調性;根的存在性及根的個數判斷.專題:函數的性質及應用;導數的概念及應用.分析:由已知中函數的解析式,求出導函數f'(x)的解析式,和導函數的導函數f''(x)的解析式,分析f''(x)的符號,求出f'(x)的單調性,進而分析f'(x)的符號,再分析函數f(x)在區(qū)間(﹣2,1)的單調性及極值,進而結合零點存在定理,得到答案.解答:解:∵f(x)=ex+x2﹣2得f'(x)=ex+2xf''(x)=ex+2>0從而f'(x)是增函數,f'(﹣2)=﹣4<0f'(0)=1>0從而f'(x)在(﹣2,1)內有唯一零點x0,滿足則在區(qū)間(﹣2,x0)上,有f'(x)<0,f(x)是減函數,在區(qū)間(x0,1)上,f'(x)>0,f(x)是增函數.因為f(﹣2)=+2>0,f(x0)<f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0從而f(x)在(﹣2,1)上有兩個零點.故選B點評:本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷,使用導數法,判斷函數的單調性是解答的關鍵,但需要二次求導,難度中檔.2.已知,,…為凸多邊形的內角,且,則這個多邊形是(
)A.正六邊形
B.梯形
C.矩形
D.含銳角菱形
參考答案:C3.已知復數為純虛數,則m=A.
0
B.
3
C.
0或3
D.
4參考答案:B
.故選B.4.函數f(x)=+lg(1+x)的定義域是A.(-∞,-1)
B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,+∞)參考答案:C5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,若A、B在拋物線準線上的射影分別為A、30°B、45°C、60°D、90°參考答案:D6.已知定義在R上的連續(xù)可導函數f(x)無極值,且,若在上與函數f(x)的單調性相同,則實數m的取值范圍是(
)A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)C.(-∞,2] D.[-2,-1]參考答案:A【分析】根據連續(xù)可導且無極值,結合,判斷出為單調遞減函數.對求導后分離常數,利用三角函數的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導且無極值,故函數為單調函數.故可令,使成立,故,故為上的減函數.故在上為減函數.即在上恒成立,即,由于,故,,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查函數的單調性與極值,考查利用導數求解不等式恒成立問題,屬于中檔題.7.若一個角的終邊上有一點且,則的值為()A.
B.
C.或 D.參考答案:C略8.
已知集合,則有A.
B.
C.
D.參考答案:A9.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,且,則向量在方向上的投影為(
)A.
B.3
C.
D.-3參考答案:A略10.已知集合,,則
(
) A、 B、 C、
D、參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在二面角中,且已知
,,則二面角的余弦值為
▲
參考答案:12.已知A,B是求O的球面上兩點,且∠AOB=120°,C為球面上的動點,若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為,則求O的表面積為.參考答案:64π【考點】球的體積和表面積;球內接多面體.【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O﹣ABC的體積最大,利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為,求出半徑,即可求出球O的表面積.【解答】解:如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O﹣ABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VO﹣ABC=VC﹣AOB==,故R=4,則球O的表面積為4πR2=64π,故答案為:64π.【點評】本題考查球的半徑與表面積,考查體積的計算,確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O﹣ABC的體積最大是關鍵.13.某學校共有師生3200人,先用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個容量為160的樣本.已知從學生中抽取的人數為150,那么該學校的教師人數是.參考答案:200【考點】分層抽樣方法.【分析】根據學校的總人數和要抽取的樣本容量,做出每個個體被抽到的概率,根據學生要抽取150人,做出教師要抽取的人數是10,除以概率得到教師的人數.【解答】解:∵學校共有師生3200人,從所有師生中抽取一個容量為160的樣本,∴每個個體被抽到的概率是=,∴=,∴學校的教師人數為10×20=200.故答案是:200.14.已知向,∥,則x=
。參考答案:【知識點】平行向量與共線向量因為,∥,所以,解得,故答案為?!舅悸伏c撥】用兩向量共線坐標形式的充要條件公式即可.
15.以雙曲線的左焦點為圓心,并與其漸近線相切的圓的標準方程是__▲__.參考答案:略16.我們可以利用數列{an}的遞推公式an=(n∈N+)求出這個數列各項的值,使得這個數列中的每一項都是奇數.則a24+a25=
;研究發(fā)現,該數列中的奇數都會重復出現,那么第8個5是該數列的第
項.參考答案:28,640.【考點】數列遞推式.【分析】借助于遞推公式知道奇數項的值為其項數,而偶數項的值由對應的值來決定.又通過前面的項發(fā)現項的值為5時,下角碼是首項為5,公比為2的等比數列.即可求出第8個5在該數列中所占的位置.【解答】解:由題得:這個數列各項的值分別為1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3…∴a24+a25=3+25=28.又因為a5=5,a10=5,a20=5,a40=5…即項的值為5時,下角碼是首項為5,公比為2的等比數列.所以第8個5是該數列的第5×28﹣1=640項.故答案為:28,640.17.直線2x﹣y+3=0與橢圓=1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點的連線垂直,則該橢圓的離心率為.參考答案:考點:橢圓的簡單性質.專題:圓錐曲線的定義、性質與方程.分析:由題意得:KAB=﹣=﹣,從而b=,由a2=b2+c2得:的比值,進而求出e=的值.解答:解:畫出草圖,如圖示:,由題意得:kAB=﹣=﹣,∴b=,由a2=b2+c2得:=,∴e==,故答案為:.點評:本題考查了橢圓的簡單性質,考查直線的斜率問題,是一道基礎題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關系:,若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求的值及的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用達到最小,并求最小值.參考答案:解(1)設隔熱層厚度為,由題設,每年能源消耗費用為,
由,∴,∴……2分
而建造費用為
……4分
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
……6分(2),令,則
所以,……8分(當且僅當,即時,不等式等式成立)……10分故是的取得最小值,對應的最小值為……13分答:當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值70萬元.……14分19.設函數.(1)試討論函數的單調性;(2)如果且關于x的方程有兩解,,證明.參考答案:(1)由,可知.因為函數的定義域為,所以,①若時,當時,,函數單調遞減,當時,,函數單調遞增;②若時,當在內恒成立,函數單調遞增;③若時,當時,,函數單調遞減,當時,,函數單調遞增.(2)要證,只需證.設,因為,所以為單調遞增函數.所以只需證,即證,只需證.又,,所以兩式相減,并整理,得.把代入式,得只需證,可化為.令,得只需證.令,則,所以在其定義域上為增函數,所以.綜上得原不等式成立.20.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若,求a,c.參考答案:【考點】正弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知及正弦定理,得,結合sinA≠0,可求,由于0<B<π,可求B的值.(Ⅱ)由已知及正弦定理,得,利用余弦定理可求,聯立即可解得a,c的值.【解答】解:(Ⅰ)由及正弦定理,得.在△ABC中,sinA≠0,∴,∴.∵0<B<π,∴.(Ⅱ)由及正弦定理,得,①由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得,,即,②由①②,解得.21.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=6,cos∠ABC=﹣.(Ⅰ)若∠BAC=,求AC的長;(Ⅱ)若BD=9,求△BCD的面積.參考答案:【考點】正弦定理.【分析】(Ⅰ)若∠BAC=,利用同角三角函數的基本關系求得sin∠ABC的值,△ABC中,再利用正弦定理求得AC的長.(Ⅱ)若BD=9,由條件求得sin∠BCD的值.在△BCD中,根據cos∠BCD=利用余弦定理求得CD的值,從而求得S△BCD=?6?9?sin∠BCD的值.【解答】解:(Ⅰ)因為cos∠ABC=﹣,∴∠ABC為鈍角,sin∠ABC==,在△ABC中,,即=,解得AC=8.(Ⅱ)因為AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=π,故cos∠BCD=﹣cos∠ABC=,sin∠BCD=sin∠ABC=.在△BCD中,cos∠BCD==,整理得CD2﹣4CD﹣45=0,解得CD=9,所以,S△BCD=?6?9?sin∠BCD==18.【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系,正弦定理和余弦定理的應用,屬于中檔題.22.(14分)橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應于焦點的準線與軸相交于點A,,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。
(I)求橢圓的方程及離心率;
(II)若求直線PQ的方程;
(III)設,過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M,證明。參考答案:解析:(I)解:由題意,可設橢圓的方程為
由已知得
解得所以橢圓的方程為,離心率
。。。。。。。。。。。4分(II)解:由(I)可得設直線PQ的方程為由方程組
得
依題意得
設則
①
②由直線PQ的方程得
于是
③
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