高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié)經(jīng)典適合高一或高三復(fù)習(xí)

關(guān)于高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié)經(jīng)典適合高一或高三復(fù)習(xí)第一頁，共九十四頁，2022年，8月28日數(shù)與形,本是相倚依焉能分作兩邊飛數(shù)無形時(shí)少直覺形少數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合百般好隔離分家萬事休切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離

——華羅庚第二頁，共九十四頁，2022年，8月28日集合基本關(guān)系含義與表示基本運(yùn)算列舉法描述法包含相等并集交集補(bǔ)集圖示法

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)第三頁，共九十四頁，2022年，8月28日一、集合的含義與表示1、集合：把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合2、元素與集合的關(guān)系：3、元素的特性：確定性、互異性、無序性（一）集合的含義第四頁，共九十四頁，2022年，8月28日(二)集合的表示1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并放在{}內(nèi)2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{x|}內(nèi)3.圖示法Venn圖,數(shù)軸第五頁，共九十四頁，2022年，8月28日二、集合間的基本關(guān)系1、子集：對(duì)于兩個(gè)集合A，B如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們稱A為B的子集.

若集合中元素有n個(gè)，則其子集個(gè)數(shù)為真子集個(gè)數(shù)為非空真子集個(gè)數(shù)為2、集合相等：3、空集：規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n2n-12n-2第六頁，共九十四頁，2022年，8月28日三、集合的并集、交集、全集、補(bǔ)集全集：某集合含有我們所研究的各個(gè)集合的全部元素，用U表示AB第七頁，共九十四頁，2022年，8月28日0或2題型示例考查集合的含義第八頁，共九十四頁，2022年，8月28日考查集合之間的關(guān)系第九頁，共九十四頁，2022年，8月28日考查集合的運(yùn)算第十頁，共九十四頁，2022年，8月28日123453第十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日返回第十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

1.設(shè),其中,如果，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

擴(kuò)展提升第十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日2.設(shè)全集為R，集合，（1）求：A∪B，CR(A∩B)；（數(shù)軸法）（2）若集合,滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

第十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日{(diào)}211-，，=M2.已知集合集合則M∩N是()AB{1}C{1，2}DΦ{}，，MxxyyN?==2練習(xí)1.集合A={1,0,x},且x2∈A,則x＝

。3.滿足{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的個(gè)數(shù)有

個(gè)-1B3第十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日函數(shù)定義域奇偶性圖象值域單調(diào)性函數(shù)的復(fù)習(xí)主要抓住兩條主線1、函數(shù)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。2、幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì)。二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)冪函數(shù)第十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值函數(shù)的奇偶性函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)第十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則A.B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)。一、函數(shù)的概念：思考:函數(shù)值域與集合B的關(guān)系第十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日二、映射的概念設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:A→B為集合A到集合B的一個(gè)映射映射是函數(shù)的一種推廣,本質(zhì)是:任一對(duì)唯一第十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的定義域：使函數(shù)有意義的x的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)1、分式的分母不為零.2、偶次方根的被開方數(shù)不小于零.3、零次冪的底數(shù)不為零.4、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零.5、指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.6、實(shí)際問題中函數(shù)的定義域第二十頁，共九十四頁，2022年，8月28日（一）函數(shù)的定義域1、具體函數(shù)的定義域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】第二十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日練習(xí)：第二十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

2、抽象函數(shù)的定義域1）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[1，3]，求f(2x-1)的定義域2）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定義域3)1.[1,2];2.[1,4);3.[-]第二十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日思考：若值域?yàn)镽呢？分析：值域?yàn)镽等價(jià)為真數(shù)N能?。?，+∞）每個(gè)數(shù)。當(dāng)a=0時(shí)，N=3只是（0，+∞）上的一個(gè)數(shù)，不成立；當(dāng)a≠0時(shí)，真數(shù)N?。?，+∞）每個(gè)數(shù)即第二十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日求值域的一些方法：

1、圖像法，2、配方法，3、分離常數(shù)法，4、換元法，5單調(diào)性法。1)2)3)4)第二十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日三、函數(shù)的表示法1、解析法2、列表法3、圖象法

第二十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日例10求下列函數(shù)的解析式待定系數(shù)法換元法第二十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日（5）已知：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，求賦值法

構(gòu)造方程組法

(4)已知,求的解析式配湊法第二十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是對(duì)定義域上的某個(gè)區(qū)間而言的。注意三、函數(shù)單調(diào)性定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)

，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的增區(qū)間。如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)

，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的減區(qū)間。第二十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日寫出常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并指明是增區(qū)間還是減區(qū)間１、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是

2、函數(shù)y=ax+b（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是3、函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是第三十頁，共九十四頁，2022年，8月28日用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)設(shè)元，設(shè)x1,x2是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2;(2)作差，f(x1)－f(x2);(3)變形，通過因式分解轉(zhuǎn)化為易于判斷符號(hào)的形式(4)判號(hào)，判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)；（5）下結(jié)論.第三十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日1.函數(shù)f(x)=2x+1,(x≥1)４－x,(x＜1)則f(x)的遞減區(qū)間為()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,0]B2、若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍小試身手？3

判斷函數(shù)的單調(diào)性。第三十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日拓展提升復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y=f(u)定義域A，u=g(x)值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f[g(x)]叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量第三十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。x增→g(x)增→y增:故可知y隨著x的增大而增大引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。x增→g(x)減→y增:故可知y隨著x的增大而增大第三十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性若u=g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)則y=f[g(x)]增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)?！巴霎悳p”第三十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例題：求下列函數(shù)的單調(diào)性y=log4(x2－4x+3)解設(shè)

y=log4u（外函數(shù)）,u=x2－4x+3（內(nèi)函數(shù)）.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜1或x＞3}.當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，u=x2－4x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(－∞，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x∈(3，±∞)時(shí)，u=x2－4x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.第三十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日解：設(shè)u=x2－4x+3，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x＜2

(u減)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時(shí)，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(－∞，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x＞2

(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

代數(shù)解法：第三十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日解:設(shè)y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2

解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?＜x＜2.

由于y=log13u在定義域(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x－x2的單調(diào)性正好相反.易知u=2x-x2=-(x－1)2+1在x≤1時(shí)單調(diào)增.由0＜x＜2（復(fù)合函數(shù)定義域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

又u=－(x－1)2+1在x≥1時(shí)單調(diào)減，由

x＜2，(復(fù)合函數(shù)定義域)

x≥1，(u減)

解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.例2求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=log(2x－x2)第三十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日例題：求函數(shù)的單調(diào)性。解：設(shè)，f(u)和u(x)的定義域均為R因?yàn)?，u在上遞減，在上遞增。而在R上是減函數(shù)。所以，在上是增函數(shù)。在上是減函數(shù)。第三十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日例4：求的單調(diào)區(qū)間.解:設(shè)由u∈R,u=x2－2x－1,

解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R.因?yàn)樵诙x域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由二次函數(shù)u=x2－2x－1的單調(diào)性易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時(shí)單調(diào)減，由

x∈R,

(復(fù)合函數(shù)定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理［1，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

第四十頁，共九十四頁，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：(1)將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；(3)分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；(4)若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；(5)若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g(x)]為減函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。第四十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日四、函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù):對(duì)任意的,都有2.偶函數(shù):對(duì)任意的,都有3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條件:注:要判斷函數(shù)的奇偶性,首先要看其定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱!定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.第四十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日奇(偶)函數(shù)的一些特征1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.2.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且在對(duì)稱的區(qū)間上不改變單調(diào)性.3.偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,且在對(duì)稱的區(qū)間上改變單調(diào)性第四十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日例12判斷下列函數(shù)的奇偶性第四十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日第四十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日第四十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日第四十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日函數(shù)的圖象1、用學(xué)過的圖像畫圖。2、用某種函數(shù)的圖象變形而成。（1）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)系。（2）平移關(guān)系。（3）絕對(duì)值關(guān)系。第四十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日反比例函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象k>0k<0第四十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日二次函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>0a<0第五十頁，共九十四頁，2022年，8月28日指數(shù)函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>10<a<1R+yxo1yxo1第五十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日對(duì)數(shù)函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>10<a<1R+yxoyxo11第五十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的圖象：第五十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日(-∞,0)減(-∞,0]減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點(diǎn)(0,+∞)減增增[0,+∞)增增單調(diào)性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性{y|y≠0}[0,+∞)R[0,+∞)R值域{x|x≠0}[0,+∞)ＲＲＲ定義域y=x-1y=x3y=x2y=x

函數(shù)性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)21xy=第五十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日對(duì)號(hào)函數(shù)(a>0)的性質(zhì)及應(yīng)用第五十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日.函數(shù)(a>0)的大致圖像xy0第五十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日獲取新知

利用所掌握的函數(shù)知識(shí),探究函數(shù)

(a>0)的性質(zhì).1.定義域2.奇偶性(-∞,0)∪(0,+∞)

奇函數(shù)f(-x)=-f(x)第五十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日3.確定函數(shù)(a>0)的單調(diào)區(qū)間⑴.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),確定某單調(diào)區(qū)間第五十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日第五十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日⑵.當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),確定某單調(diào)區(qū)間綜上,函數(shù)(a>0)的單調(diào)

區(qū)間是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為:a的平方根第六十頁，共九十四頁，2022年，8月28日4.函數(shù)(a>0)的大致圖像xy0第六十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日5.函數(shù)(a>0)的值域第六十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日運(yùn)用知識(shí)1.已知函數(shù)第六十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日第六十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日2.已知函數(shù),求f(x)的最小值,并

求此時(shí)的x值.第六十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日3.建筑一個(gè)容積為800米3,深8米的長方體水池(無蓋).池壁,池底造價(jià)分別為a元/米2和2a元/米2.底面一邊長為x米,總造價(jià)為y.寫出y與x的函數(shù)式,問底面邊長x為何值時(shí)總造價(jià)y最低,是多少?第六十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日第六十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日函數(shù)圖象與變換1．平移變換(1)水平方向的變換：y＝f(x＋a)的圖象可由y＝f(x)的圖象沿x軸向左平移(a>0)或向右平移(a<0)|a|個(gè)單位而得到．(2)豎直方向的變換：y＝f(x)＋b的圖象可由y＝f(x)的圖象沿y軸向上平移(b>0)或向下平移(b<0)|b|個(gè)單位而得到．第六十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日2．對(duì)稱變換(1)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(2)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．(3)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(4)y＝|f(x)|的圖象是保留y＝f(x)圖象中位于x軸上方的部分及與x軸的交點(diǎn)，將y＝f(x)的圖象中位于x軸下方的部分翻折到x軸上方去而得到．(5)y＝f(|x|)的圖象是保留y＝f(x)中位于y軸右邊部分及與y軸的交點(diǎn)，去掉y軸左邊部分而利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將y軸右邊部分以y軸為對(duì)稱軸翻折到y(tǒng)軸左邊去而得到．第六十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日第七十頁，共九十四頁，2022年，8月28日(2)先作函數(shù)y＝x2－2x的位于x軸上方的圖象，再作x軸下方圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，得函數(shù)y＝|x2－2x|的圖象，如圖所示．第七十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日(3)先作函數(shù)y＝x2－2x位于y軸右邊的圖象，再作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得到函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象，如圖所示．第七十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日例作函數(shù)的圖象yxo1yxo1第七十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法（如類比法、賦值法添、拆項(xiàng)

等）。高考題和平時(shí)的模擬題中經(jīng)常出

現(xiàn)。抽象性較強(qiáng)；綜合性強(qiáng)；靈活性強(qiáng)；

難度大。

沒有具體給出函數(shù)解析式但給出某些函數(shù)特性或相應(yīng)條件的函數(shù)概念題型特點(diǎn)解題思路抽象函數(shù)問題第七十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日一、研究函數(shù)性質(zhì)“賦值”策略

對(duì)于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過觀察與分析，將變量賦予特殊值，以簡化函數(shù)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化為要解決的問題的目的。第七十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日(1)