力學第二章第六節(jié) 剛體的定軸轉動(全部)

一.剛體特殊的質點系，——理想化模型形狀和體積不變化§2.6.1

剛體運動概述2.6剛體的定軸轉動剛體是一個特殊的質點系：任意兩點沒有相對位移。二.剛體的平動剛體運動時，若在剛體內所作的任一條直線都始終保持和自身平行—剛體平動平動的特點:剛體中各質點的運動情況相同.結論：剛體的平動可歸結為質點運動.角坐標1.描述

剛體繞定軸轉動的角量定軸轉動時，剛體上的任一點都繞同一軸作圓周運動，半徑為該點到軸的垂直距離，圓心為垂足。該圓所在的平面稱為轉動平面。剛體內各點都繞同一直線(轉軸)作圓周運動___剛體轉動轉軸固定不動—定軸轉動(運動學方程)三、定軸轉動轉動平面參考方向角速度角加速度2.定軸轉動剛體上各點的速度和加速度P×ω,剛體參考方向θzOr'基點O任意點都繞同一軸作圓周運動,且，

都相同質點系的定律或定理+定軸轉動的剛體的特殊性定軸轉動剛體的動力學

思路：把質點系對軸的角動量定理應用的剛體上，就得剛體定軸轉動定理§2.6.2剛體繞定軸轉動定理轉動平面質元在轉動平面內做圓周運動（剛體定軸轉動定律）對質量連續(xù)分布的剛體r剛體的轉動慣量（做定軸轉動的剛體的角動量）加速轉動方向與力矩方向滿足右手螺旋！

剛體定軸轉動定律是剛體定軸轉動動力學的基本方程，如同質點力學中的；

剛體定軸轉動定律中的M、轉動慣量J和角加速度三個物理量都是相對于同一轉軸而言的；

討論

剛體定軸轉動定律中的M是作用在剛體上的合外力矩；力矩是使剛體改變轉動狀態(tài)的原因，是使剛體轉動產生角加速度的原因。求M是關鍵，方法同質點系所受外力對軸的力矩。轉動平面(1)外力不與軸垂直轉動平面(2)外力與軸垂直

（切向力）例題：質量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質量為m的重物，如圖所示．求盤的角加速度的大?。僭O輪盤逆時針加速轉動，力矩方向以垂直紙面向里為正（軸的正方向）。正方向正方向N方向垂直紙面向外.假設輪盤逆時針加速轉動，規(guī)定力矩方向以垂直紙面向外為正。（加速轉動方向與力矩方向滿足右手螺旋?。├阂惠S承光滑的定滑輪，質量為M＝2.00kg，半徑為R＝0.100m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質量為m＝5.00kg的物體，如圖所示．已知定滑輪的轉動慣量為J＝，其初角速度w0＝10.0rad/s，方向垂直紙面向里．求：(1)定滑輪的角加速度的大小和方向；(2)定滑輪的角速度變化到w＝0時，物體上升的高度；(3)當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向

正方向（2）當w＝0時，物體上升的高度h

=

Rq

=

6.12×10-2m

(3)10.0rad/s方向垂直紙面向外.解（1）受力分析如圖。TR＝Jb

a＝Rb

b

=

mgR/(mR2＋J)mg－T＝ma

方向垂直紙面向外（是正值，與力矩方向一致）輪盤逆時針加速轉動，規(guī)定力矩方向以垂直紙面向外為正。1、

剛體繞定軸轉動的轉動動能對剛體上所有質點的動能求和在剛體上任取一質點Pi質點Pi的動能為（剛體繞定軸轉動的轉動動能）

討論

與質點的動能相比較，也可看出轉動慣量J的地位對應于質點的質量m?！?.6.3

定軸轉動的動能定理2力矩的功O

功的定義力矩作功的微分形式對一有限過程若

M=C(積分形式）力的累積過程——力矩的空間累積效應??P(力矩的功就是力的功)討論(1)合力矩的功(2)內力矩作功之和為零。(3)力矩的功率設在合外力矩M的作用下3剛體繞定軸轉動的動能定理——合力矩功的效果（剛體繞定軸轉動動能定理的微分形式）當剛體角速度從t1時刻的ω1改變?yōu)閠2時刻的ω2時，合外力矩對剛體所作的功為（剛體繞定軸轉動的動能定理）合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體始、末兩個狀態(tài)轉動動能的增量。若以hC表示質心到零勢能面的高度，則剛體的重力勢能與其質量全部集中在質心上的質點相同。4剛體的重力勢能

結論：如圖，一鐘擺由長度為l，質量為m1的均質細桿和固定在其一端的質量為m2的擺球（可以看作質點）構成。鐘擺可繞過桿另一端的固定軸無摩擦地擺動，開始時把它放置于水平位置，并處于靜止狀態(tài)，然后讓它自由下落。受力分析如圖鐘擺所受的合外力矩（重力的力矩）例解求放手后鐘擺擺到角位置時的角速度。鐘擺系統(tǒng)的總轉動慣量還有其他方法嗎？利用轉動定理！由剛體定軸轉動定律，有而

例一根長為

l

，質量為

m

的均勻細直棒，可繞軸O

在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時的此題也可用機械能守恒定律方便求解OlmCx例一根長為

l

，質量為

m

的均勻細直棒，可繞水平光滑軸O

在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置.求它由此下擺

角時的系統(tǒng)機械能守恒（棒、地球）。

重力勢能零點：取細桿的水平位置.則有由此解得解圖示裝置可用來測量物體的轉動慣量。待測物體A裝在轉動架上，轉軸Z上裝一半徑為r

的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質量為

m的重物。重物下落時，由繩帶動被測物體

A繞Z軸轉動。今測得重物由靜止下落一段距離

h，所用時間為t，例解分析（機械能）：求物體A對Z

軸的轉動慣量Jz。設繩子不可伸縮，繩子、各滑輪的質量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計。機械能守恒若滑輪質量不可忽略，怎樣？

如圖，系統(tǒng)由靜止開始釋放，釋放時彈簧處于自然狀態(tài)。已知滑輪半徑為r=

0.3m

，轉動慣量為J=0.5kgm2。滑塊的質量為m=2kg

，斜面傾角為

=370

，彈簧的勁度系數(shù)為k=20Nm-1

?；瑝K與斜面、滑輪與軸承之間的摩擦均可忽略不計，輕繩不可伸長，與滑輪之間沒有相對滑動。(1)當滑塊沿斜面滑下1.0m時，它的速率多大？(2)滑塊沿斜面將下滑多遠？(3)當滑塊速率達到最大值時，它已滑下多遠？例解求

設滑塊沿斜面下滑距離為x時的速率為v，則取彈簧、滑輪、滑塊、地球為研究系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒。取滑塊的初始位置為重力勢能零點，彈簧自然長度點為彈性勢能零點。（參數(shù)）

r=

0.3m