幾何性質-大連理工大學內部課件

附錄I截面圖形的幾何性質

GeometricPropertiesofanArea力學響應的決定因素：荷載（F、M）,材料（E、G、v、[σ]）,幾何性質拉壓桿扭轉軸

截面的幾何性質——只與橫截面的幾何形狀和尺寸有關的某些幾何量，對桿件的應力和變形起著重要作用.梁的幾何性質對變形的影響FF§Ⅰ-1靜矩和形心1.靜矩（面積的一次矩）代數(shù)量,+/-,0單位：m3dAzyyzO∴Sy

=AzcyCyzOCzCdAzy2.形心——均勻薄板的重心Sz

=Ayc

幾個特例形心必位于對稱軸上對稱軸必為形心軸Cyz結論：圖形對其形心軸的靜矩為零Cyzy是形心軸時，zc=0∴Sy=Azc

=0xyhbyyobdA例

試計算圖示三角形截面對底邊軸的靜矩。解yz例解：由對稱性，dzCzCRZy求圖示半圓的Sy,Sz

和形心。yc=0,Sz

=0

4.組合圖形的靜矩和形心ⅠⅡzCy有什么關系?60602020oxydAyzOρ§Ⅰ-2

極慣性矩·慣性矩·慣性積

1.極慣性矩面積對點的二次矩，正定，單位：m4圖形分布距離O點越遠，對該點的極慣性矩就越大。2.慣性矩面積對軸的二次矩，正定，單位：m4圖形分布距離某軸越遠，對該軸的慣性矩就越大。dAyzyzO3.慣性矩與極慣性矩的關系

∵

ρ2=y2＋z2即Ip

=Iz＋Iy圖形對通過一點的任意兩個互相垂直坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)，即對該點的極慣性矩。dAyzyzOρy1z1=Iz1＋Iy1hbzyOy'dzyODdzyO4.慣性半徑單位：m矩形圓形hbzyOdzyOyzO5.慣性積面積對軸的混合二次矩，代數(shù)量，單位：m4y,z軸中有一個是對稱軸，則

Iyz=0dAyzyzO-ydAzydAzhbxyOdACycxc矩形截面對x、y軸的慣性積：1、平行移軸公式CxCaxyOyCb問題：已知C(b,a),Ixc

,Iyc

,Ixcyc

求Ix,Iy

，Ixy§Ⅰ-3平行移軸公式

組合截面的慣性矩和慣性積xbOxCyaxCxCyCdAyyC

Iy=Iyc+a

2A

Iz

=Izc+b

2A

Iyz=Iyczc+a

bA在一組平行的軸中，圖形對其形心軸的慣性矩最小。慣性積公式中b,a為形心坐標，注意其正負號。CyCayzObyzOCyCzC(b,a)已知Iy1，要求

Iy2，怎么辦？

y1

y2(b,a)zChbzyOy'hbxyOdACycxc2、組合圖形的慣性矩和慣性積

若則同理

已知：C為形心，求：Izc.2.求Izc.

Izc=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）

=37.67×106mm4由對稱性，形心位于對稱軸上。解：1.求形心位置例200C200205555zyCzCC1z1ⅡⅠC2z220求：Iy、IzyZ同理yZ例

求圖形對x軸的慣性矩和慣性積x′半圓xcx′半圓對xc軸的慣性矩xcx′

1.靜矩dAzyyzO上節(jié)回顧形心與靜矩的關系

Sz

=Ayc

圖形對一個軸的靜矩，等于該圖面積與其形心坐標的乘積。

Sy

=AzcyCyzOCzCdAzy圖形對形心軸的靜矩必為零

Cyz

2.慣性矩dAzyyzO

3.慣性積組合圖形的靜矩和形心ⅠⅡC(yc,zc)C1(yc1,zc1)C2（yc2,zc2)yz以求Iy為例

Iy

=CyCayzCzzOzCdAz=zC+aIy

=

Iy=Iyc+a

2A

Iz

=Izc+b

2A

Iyz=Iyczc+a

bA在一組平行的軸中，圖形對其形心軸的慣性矩最小。慣性積公式中b,a為形心坐標，注意其正負號。CyCayzCzzOzCdAbyCyzOCyCzC

當y，z軸中有一軸為對稱軸時，圖形對yz軸的

慣性積必為零hbzyOdzyO

y，z軸為主慣性軸hbzyO

4.形心主慣性矩

形心主慣性矩DzyODdzyO形心主慣性軸zyCCC對稱軸必為形心主慣性軸。zyzy一、轉軸公式y(tǒng)zyzOdAαz1y1y1z1α§Ⅰ-4

轉軸公式·主慣性軸和主慣性矩一、轉軸公式y(tǒng)zyzOdAαz1y1y1z1αα角：逆時針轉動為正。新舊坐標轉換關系：

y1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinα已知Iy

,Iz

,Iyz,α

求Iy1,Iz1

，Iy1z1

整理后得Iy1,Iz1,Iy1z1

都是α角的有界連續(xù)函數(shù)。

Iy1＋

Iz1

=Iy＋

Iz

=Ip

=常數(shù)CzyCz1y1Cz1y1討論1.

Iy1z1

有一個從正連續(xù)變化到負的過程；Cz1y1zy二主慣性軸主慣性矩

1.主慣性軸若

Iy1z1=0,則y1,z1

軸稱為主慣性軸。其位置α0可由下式確定：Cz1y1zy2.主慣性矩——圖形對主慣性軸的慣性矩主慣性矩Cz1y1zyIy0IZ0主慣性矩的意義即

所以，主慣性軸就是使得圖形的慣性矩取極值的坐標軸，主慣性矩就是極值慣性矩。討論2.有界連續(xù)函數(shù)慣性矩Iy1必有極值，使慣性矩取極值的α＝？主慣性矩就是極值慣性矩，一個極大一個極小。Cz1y1zy20020020203.形心主慣性軸與形心主慣性矩

若主慣性軸過形心就成為形心主慣性軸,對其矩就是形心主慣性矩。特點：1.對稱軸必為形心主慣性軸；2.形心主慣性矩就是過形心的各軸的慣性矩的極值，一個極大，一個極小。CzyC形心主慣性軸的判斷：只有一個對稱軸；2.有兩個對稱軸；3.有三個或三個以上對稱軸；有無窮多對主慣性軸4.沒有對稱軸。zyCCzyzy形心主慣性矩計算步驟：確定形心（先設定一任意坐標軸）；確定對任意形心軸的慣性矩和慣性積；計算α0；計算形心主慣性矩。ImaxImin2020zO100100y例求形心主慣性矩解:1.選坐標yoz,求形心；C2C1C（yc

,zc）2020zO100100yC2C1C（40,30）

2.求

Iyc,Izc,IyczczCyC20202020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020

Iyczc

=100×20×（－30×20)

+