ch3-3二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

2023/2/63-3二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（√）二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（√）三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析（√）四、過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析（√）五、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（自學(xué)）六、二階系統(tǒng)性能的改善（√）七、非零初始條件下二階系統(tǒng)的響應(yīng)過程（自學(xué))實(shí)例1：實(shí)驗(yàn)二二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

R(s)C(s)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型R(s)C(s),

實(shí)例1：實(shí)驗(yàn)二二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)2023/2/6實(shí)例2位置控制系統(tǒng)原理圖(P71)>SM發(fā)送減速器K12023/2/6>SM發(fā)送減速器二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型：開環(huán)傳函：閉環(huán)傳函：（1）傳遞函數(shù)2023/2/6R(s)C(s)二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖：2023/2/6二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程為：特征方程式的特征根為：可見：這些根與阻尼比有關(guān)√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ωnS1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二階系統(tǒng)根的分布

2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξ2023/2/61、實(shí)部為負(fù)的一對共軛復(fù)根稱阻尼振蕩角頻率平移性質(zhì)平移性質(zhì)2023/2/61．欠阻尼（）的情況

(續(xù))

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：j0特征：衰減震蕩曲線衰減系數(shù)2023/2/6

圖3-10以參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)2023/2/62、無阻尼（=0）的情況

C(t)特征方程式的根為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：特征：等幅震蕩曲線2023/2/63．臨界阻尼（=1）的情況C(t)系統(tǒng)的特征方程式的根為：特征：穩(wěn)態(tài)值為1的單調(diào)上升曲線4、過阻尼（）

系統(tǒng)的特征根為：過阻尼系統(tǒng)分析:衰減項(xiàng)的冪指數(shù)的絕對值一個(gè)大，一個(gè)小。絕對值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對值小的離虛軸近，衰減速度慢；衰減項(xiàng)前的系數(shù)一個(gè)大，一個(gè)??；二階過阻尼系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)；離虛軸近的極點(diǎn)所決定的分量對響應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)所決定的分量對響應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時(shí)甚至可以忽略不計(jì)。與一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應(yīng)1j0j0j0j0s1s2ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0二階系統(tǒng)單位

階躍響應(yīng)定性分析Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼2023/2/6三、欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析h(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義2(圖3-1)h(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsβ欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析(圖3-11)j0欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能計(jì)算(P77)由σ%=h(∞)h(tp)－h(huán)(∞)100%令h(t)一階導(dǎo)為0，取其解中的最小值或弧度令h(t)=1取其解中的最小值，2023/2/6h(t)ts的計(jì)算(P82)由包絡(luò)線求調(diào)節(jié)時(shí)間ts0.050.10.20.30.40.50.60.70.82.9973.0013.0163.0433.0833.1403.2193.3323.5060.050.10.20.30.40.50.60.70.83.9133.9173.9323.9593.9994.0564.1354.2694.4232023/2/6（1）上升時(shí)間tr

的計(jì)算

瞬態(tài)過程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。當(dāng)n一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間tr越長；當(dāng)一定時(shí)，n越大，則tr越短，系統(tǒng)響應(yīng)速度與一定成正比。2023/2/6（2）峰值時(shí)間的計(jì)算

將對求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，得

瞬態(tài)過程中第一次出現(xiàn)峰值的時(shí)間。2023/2/6（3）超調(diào)量的計(jì)算

最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中時(shí)刻。

從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts

的計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間近似與成反比關(guān)系。2023/2/6在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，一般系統(tǒng)的性能：注：超調(diào)量及調(diào)節(jié)時(shí)間兩項(xiàng)指標(biāo)是在階躍輸入作用下計(jì)算的。再說欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能(補(bǔ)充)或弧度2023/2/6舉例設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)給定輸入為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA＝200，1500，13.5時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp，調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量Mp，并分析比較之。2023/2/6輸入：單位階躍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：2023/2/6當(dāng)KA

＝200時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：2023/2/6當(dāng)KA

＝1500時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：2023/2/6當(dāng)KA

＝13.5時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得：無2023/2/6系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線2023/2/6六、二階系統(tǒng)的性能改善1.誤差信號(hào)的比例－微分控制2023/2/6系統(tǒng)開環(huán)傳函為：閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：2023/2/6

可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動(dòng)態(tài)性能，因?yàn)樗a(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實(shí)際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個(gè)修正作用。2023/2/6前面圖的相應(yīng)的等效結(jié)構(gòu)由此知道：2023/2/6和及的大致形狀如下一方面，增加項(xiàng)，增大了等效阻尼比，使曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使加上了它的微分信號(hào)，加速了c(t)的響應(yīng)速度，但同時(shí)削弱了等效阻尼比的平穩(wěn)作用。2023/2/6總結(jié)：引入誤差信號(hào)的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，還需要適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)。若大一些，使具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點(diǎn)的微分作用，將在保證響應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。2023/2/62.輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號(hào)c(t)采用負(fù)反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e(t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。2023/2/6閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。2023/2/63.比例－微分控制和速度反饋控制比較從實(shí)現(xiàn)角度看，比例－微分控制的線路結(jié)構(gòu)比較簡單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會(huì)使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。增大阻尼比的兩種方法(P83-87)2023/2/6例3-1

有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中K

=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；（4）如果要求，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)K

值。2023/2/6解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

得自然振蕩角頻率：阻尼比：由得超調(diào)量：調(diào)節(jié)時(shí)間：

2023/2/6

當(dāng)要求時(shí),

可見：

必須降低開環(huán)放大系數(shù)值，才能滿足二階工程最佳參數(shù)的要求。但應(yīng)注意到，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

2023/2/6例3-2為了改善系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負(fù)反饋，如圖所示，求微分時(shí)間常數(shù)。2023/2/6解：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2023/2/6為了使，

由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為2023/2/6結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼比，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時(shí)，不用比例-微分控制。2023/2/6四、二階過阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)分析對于過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)，只著重討論，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應(yīng)快速性的一個(gè)方面，2023/2/6四、過阻尼二階系統(tǒng)性能指標(biāo)(見P79)j0過阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析(補(bǔ)充)無零點(diǎn)的過阻尼二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)無振蕩無超調(diào)ξ不變時(shí),ωn越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts越小j-a-b0ωn不變時(shí),ξ越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts越大j0-a-b0.707012023/2/6Example3-3:electronicsystemR(s)C(s)2023/2/6T=RCK=Rx/R1取R=100K,C=1uf,則T=RC=0.1,Rx=50K,R1=100Kξ=0.25Mp(理論)=tS(理論)=tp(理論)=

Rx=100K,R1=100Kξ=0.5Mp(理