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文檔簡介
第2章一維勢場中的粒子引言
本章主要是用Schr?dinger方程來處理一維粒子的能量本征態(tài)問題.
下面先討論一維粒子的能量本征態(tài)的一些共同的特點(diǎn).
設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢場中(考慮定態(tài)的情況下)的能量本征方程為在上式中,(1)為能量本征值.為相應(yīng)的能量本征態(tài).2.1一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(實(shí)數(shù)值)
在求解能量本征方程(1)時(shí),要根據(jù)具體物理問題的邊條件來定解.如束縛態(tài)條件,散射態(tài)的邊條件等.
為此先討論其一般解有關(guān)的七條基本性質(zhì).其中前4條,不僅對一維問題成立,對于三維問題也同樣適用.
下面先對該方程的解的一般性質(zhì)進(jìn)行討論.定理1也是方程(1)的一個(gè)解,對應(yīng)的能量也是,則設(shè)也是方程(1)的一個(gè)解,對應(yīng)的能量也是對應(yīng)的能量本征值為是能量本征方程(1)的一個(gè)解,設(shè)也是方程(1)的一個(gè)解,對應(yīng)的能量也是,則
假設(shè)對應(yīng)于能量的某個(gè)本征值,方程(1)解無簡并,(即只有一個(gè)獨(dú)立的解),則可取為實(shí)解(除了一個(gè)無關(guān)緊要的常數(shù)因子之外).對應(yīng)于能量的某個(gè)本征值,總可以找到方程(1)的一組實(shí)解,凡是屬于的任何解,均可表示為這一組實(shí)解的線性疊加.定理2
對于能級有簡并的情況,要用到此定理.定理3定義空間反射算符
即把空間坐標(biāo)
設(shè)具有空間反射不變性,如是方程(1)的對應(yīng)于能量本征值的解,則也是方程(1)的對應(yīng)于能量的解.對于一維粒子,則為
偶宇稱解(evenparity)
奇宇稱解(oddparity)
一維諧振子和一維對稱方勢阱都是具有空間反射對稱性,它們的能量本征態(tài)都有確定的宇稱。
如果對應(yīng)于某能量方程(1)的解無簡并,則解必有確定的宇稱(parity).
對于能級有簡并的情況,能量本征態(tài)并不一定就具有確定宇稱.此時(shí),可以用定理(4)來處理定理4適用范圍
設(shè)則對應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值總可以找到方程(1)的一組解(每個(gè)解都有確定的宇稱),而屬于能量本征值的任何解,都可用它們來展開.
在坐標(biāo)表象中,涉及波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問題,應(yīng)從能量本征方程(1)出發(fā),根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行討論.
如是的連續(xù)函數(shù),則與必為的連續(xù)函數(shù).
但是如不連續(xù),或有某種奇異性,則及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問題需要具體分析.對于階梯形方位勢(2)對于一維有限深方勢阱,這個(gè)定理明顯成立.定理5
能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的(但如,則定理不成立).(3)定理6注意
對于束縛態(tài)(boundstate),
當(dāng)時(shí),所以式(3)中常數(shù)必為0.結(jié)論
因此,對于同屬于能量的任何兩個(gè)束縛態(tài)波函數(shù)與
對于一維粒子,設(shè)與均為方程(1)的屬于同一能量的解,則定理7!
設(shè)粒子在規(guī)則(regular)勢場(無奇點(diǎn))中運(yùn)動(dòng),如存在束縛態(tài),則必定不簡并的.
對于常見的不規(guī)則勢阱(如無限深勢阱,勢阱等),在絕大多數(shù)情況下上述定理也成立.
但對于某些不規(guī)則勢阱,如一維氫原子除基態(tài)外,其他束縛態(tài)均為二重簡并.
其特征是波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在的奇異點(diǎn)處,兩個(gè)簡并態(tài)具有不同宇稱.先考慮一個(gè)理想的情況——無限深方勢阱中的粒子.在阱內(nèi)
能量本征方程為勢阱表示為為粒子質(zhì)量,
2.2方勢阱2.2.1無限深方勢阱,離散譜注意與是待定常數(shù).而按照邊條件,得即給出的波函數(shù),無物理意義,而取負(fù)值與取正值所給出的波函數(shù)描述的是同一個(gè)量子態(tài).n0=n則方程(2)的解可表示為按邊條件則要求
聯(lián)合式(5)和(3)結(jié)論
一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的,即構(gòu)成的能譜是離散的.
稱為體系的能量本征值.與En
對應(yīng)的波函數(shù)記為稱為能量本征函數(shù),利用歸一化條件則歸一化的波函數(shù)表示為
,取為實(shí)數(shù).設(shè)
為阱寬,為勢阱高度,以下討論束縛態(tài)情況.在阱外(,經(jīng)典禁區(qū)),能量本征方程為2.2.2有限深對稱方勢阱則方程的解具有如下指數(shù)函數(shù)形式
但考慮到束縛條件(要求處),波函數(shù)應(yīng)取如下形式這正是2.21無限方勢阱的邊條件的根據(jù)常數(shù)和待定.當(dāng)(無限深勢阱)即,則當(dāng)上式.在阱內(nèi)(,經(jīng)典允許區(qū)),能量本征方程為(a)偶宇稱態(tài)引入無量綱參數(shù)令
則方程的解可表為如下振蕩函數(shù)形式:根據(jù)和(14)式,有得到(b)奇宇稱態(tài)對于超越方程組(15),可用數(shù)值計(jì)算求解或用圖解法近似求解.利用的連續(xù)條件可求出與偶宇稱態(tài)類似,引進(jìn)無量綱參數(shù),則上式化為時(shí),才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級.即奇宇稱態(tài)與偶宇稱態(tài)不同,只當(dāng)從而能確定能量本征值.2.2.3束縛態(tài)與離散態(tài)束縛能量本征態(tài)
的能量是離散的,按照能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)
波函數(shù)是的振蕩函數(shù)
而且在愈大的地方,振蕩愈快.此外,由于與的正負(fù)號(hào)相反,
總是向軸彎曲.
區(qū)域,曲線向下彎;區(qū)域,曲線向上彎.結(jié)論與此不同,在經(jīng)典的禁區(qū)波函數(shù)是的指數(shù)上升或下降的函數(shù)無振蕩現(xiàn)象.由于與的正負(fù)號(hào)相同,總是背離軸彎曲,即在
區(qū)域,
曲線向上彎曲;在
區(qū)域
曲線向下彎曲.根據(jù)上述特點(diǎn),可以定性討論粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).()xyy2.2.4方勢壘的反射與透射設(shè)具有一定能量的粒子沿軸正方向射向方勢壘從量子力學(xué)觀點(diǎn)來看,考慮到粒子的波動(dòng)性,此問題與波碰到一層厚度為的介質(zhì)相似,即有一部分波透過,一部分波被反彈回去.先考慮情況.在勢壘外(,經(jīng)典允許區(qū)),能量的本征方程表示為由于勢壘的存在,在區(qū)域中,既有入射波
,
也有反射波
,而在區(qū)域中只有透射波所以所以式中和分別表示反射波與透射波,相應(yīng)的反射流密度和透射流密度分別為所以反射系數(shù)=
投射系數(shù)=其可取為通解在勢壘內(nèi)部(,經(jīng)典禁區(qū)),其能量本征方程為按式在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致上兩式相加減,分別得消去R
解出類似,在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致因此,為透射系數(shù)類似,消去S,可得出R,而反射系數(shù)為透射系數(shù)表示粒子被勢壘反彈回去的概率,表示粒子透過勢壘的概率.可以看出粒子能穿透比它動(dòng)能更高的勢壘的現(xiàn)象,成為隧穿效應(yīng).對于情況,從式可以看出,只需在式中,把利用式,可改寫成此時(shí)對于方勢阱的透射,上述理論仍然適用,透射系數(shù)T仍由式給出,但應(yīng)把,即2.2.5方勢阱的反射,透射與共振由式可以看出,如果,則一般來說T值很小,除非入射粒子能量E合適,使此時(shí),T=1(反射系數(shù)),這現(xiàn)象稱為共振透射.它出現(xiàn)的條件是或改寫成由式可求出共振時(shí)的能量共振能級如粒子能量很小,按2.2.2節(jié)的討論,是可能形成束縛態(tài)的.這相當(dāng)于式中量子數(shù)較小的情況.如較大,使則不能形成束縛態(tài).但如能量合適,滿足式,則將出現(xiàn)共振透射.式所確定的稱為其中,常數(shù)不含時(shí)Schr?dinger方程表示為
設(shè)有質(zhì)量為m的粒子(能量E>0)從左入射,碰到勢壘2.3δ勢2.3.1δ勢的穿透x=0
是方程的奇點(diǎn),在該點(diǎn)不存在,表現(xiàn)為在x=0
點(diǎn)不連續(xù).
所以在x=0
點(diǎn)一般是不連續(xù)的,除非對方程積分,可得(3)式稱為勢中的躍變條件.
解仍為但邊條件有所不同,根據(jù)x=0
點(diǎn)連續(xù)以及躍變條件有在處方程化為()6消去R,得而由于入射波的波幅已取為1,所以透射系數(shù)反射系數(shù)(b)
勢的特征長度為,特征能量為.透射系數(shù)只依賴于,即特征能量與入射粒子能量之比.當(dāng)時(shí),即高能極限下粒子將完全穿透勢壘.(a)如勢壘換為勢阱,透射及反射系數(shù)的值不變,仍如式和所示.
討論:(c)可以看出顯然在x=0點(diǎn),不連續(xù),但粒子流密度卻是連續(xù)的,可見:從能流密度的連續(xù)性并不能得出的連續(xù)性.考慮粒子在勢阱
時(shí),能量本征方程為積分,可得出的躍變條件2.3.2勢阱中的束縛態(tài)方程的解的形式為,考慮到,要求束縛能量本征態(tài)(不簡并)具有確定宇稱.以下分別討論在區(qū)域,方程化為考慮到束縛態(tài)條件,偶宇稱態(tài)波函數(shù)應(yīng)表示為按式,可得粒子的能量本征值偶宇稱態(tài)為歸一化常數(shù).按躍變條件,可得由歸一化條件在區(qū)域中的概率為
:波函數(shù)應(yīng)表示為奇宇稱態(tài)
勢阱對奇宇稱態(tài)沒有影響,因而不可能形成束縛態(tài).連續(xù)條件
由波函數(shù)的(x=0
點(diǎn)),可得出A=0,所以不可能存在奇宇稱束縛能量本征態(tài).從物理上考慮:
奇宇稱函數(shù)在x=0點(diǎn)必為0
,而勢又恰好只在x=0
點(diǎn)起作用.所以
事實(shí)上,所有涉及勢的問題,原則上均可以從方勢情況下的解取極限而得以解決.2.3.3
勢與方勢的關(guān)系,波函數(shù)微商的躍變條件
勢可以看成方勢的一種極限情況.
但直接用勢來求解,往往要簡捷
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