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文檔簡介

幾種不同增長的函數(shù)模型例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請問,你會選擇哪種投資方案呢?思考投資方案選擇原則:投入資金相同,回報(bào)量多者為優(yōu)

比較三種方案每天回報(bào)量(2)比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量

哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量最多,我們就在那段時(shí)間選擇該方案。[來源:Z|xx|k.Com]分析

我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型,再通過比較它們的增長情況,為選擇投資方案提供依據(jù)。解:設(shè)第x天所得回報(bào)為y元,則方案一:每天回報(bào)40元;

y=40(x∈N*)方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回 報(bào)10元;

y=10x(x∈N*)方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報(bào)量來看: 第1~4天,方案一最多: 每5~8天,方案二最多: 第9天以后,方案三最多;有人認(rèn)為投資1~4天選擇方案一;5~8天選擇方案二;9天以后選擇方案三?累計(jì)回報(bào)數(shù):81940920410250.82512三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321

天數(shù)回報(bào)/元方案327616389107805204801312方案一方案二方案三

三種方案的累計(jì)回報(bào)表

投資8天以下(不含8天),應(yīng)選擇第一種投資方案;投資8~10天,應(yīng)選擇第二種投資方案;投資11天(含11天)以上,應(yīng)選擇第三種投資方案。例題的啟示解決實(shí)際問題的步驟:實(shí)際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學(xué)問題演算推理數(shù)學(xué)問題的解還原說明實(shí)際問題的解例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí),按銷售利潤進(jìn)行獎勵(lì)且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個(gè)獎勵(lì)模型:,,,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求?(1)獎金總數(shù)不超過5萬元(2)獎金不超過利潤的25%分析:選擇的模型需要滿足的要求如下:40060080010001200200

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45678Xyoy=5y=0.25x解:借助于計(jì)算機(jī)先作出y=0.25x,

的圖像首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎金總數(shù)不超過5萬對于模型,在區(qū)間[10,1000]上遞增,令0.25x=5,可得x=20,因此當(dāng)x>20時(shí),y>5,所以該模型不符合要求;對于模型,根據(jù)圖像令y=5,利用計(jì)算器可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)滿足,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,故當(dāng)時(shí),y>5,所以該模型也不符合要求。(1)、由函數(shù)圖象可以看出,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,而且當(dāng)x=1000時(shí),y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合資金不超過5萬元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計(jì)算按模型y=log7x+1獎勵(lì)時(shí),資金是否不超過利潤的25%,即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),是否有成立。[來源:Z|xx|k.Com]令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象可知它是遞減的,因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以,當(dāng)x∈[10,1000],思考從上節(jié)課的兩個(gè)例子中可以看到,這三類函數(shù)的增長是有差異的,那么,這種差異的具體情況到底怎么樣呢?[來源:Z|xx|k.Com]結(jié)論1:一般地,對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn):在區(qū)間(0,+∞)上,無論n比a大多少,盡管在x的一定范圍內(nèi),ax會小xn,但由于ax的增長快于xn的增長,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會有ax>xn.結(jié)論2:一般地,對于對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn):在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增大,logax增大得越來越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定變化范圍內(nèi),logax可能會大于xn,但由于logax的增長慢于xn的增長,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會有l(wèi)ogax<xn.綜上所述:(1)、在區(qū)間(0,+∞)上,y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)、隨著x的增大,y=logax(a>1)的增長速度越來越慢,會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長速度??偞嬖谝粋€(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就有

logax<xn<ax例1同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=x2+7和y=2x的圖象如圖.試比較x2+7與2x的大小.5040302010510y=x2+7y=2xxyO例2已知函數(shù)y=x2和y=log2(x+1)的圖象如圖,試比較x2與log2(x+1)的大小.4321-12

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