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20082009(考試時(shí)間120班 姓 學(xué)—二三四五六七88一、選擇題(每題4分,共20分以下條件中( )不是函數(shù)fx在x0處連續(xù)的充分條件
xx0
fx
xx0
f
limfxfx00(C)f'0
存
fxx0可以下條件中( )是函數(shù)fx在x0處有導(dǎo)數(shù)的必要且充分條件fx
在x0處連
fx
x0處可微(C)
fx0xfx0存
limfxx1fx
x1
的 )間斷點(diǎn)(A)可 (B)跳 設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù)并在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo).如果在a,b內(nèi)f'x0,那么必有( 在a,b
fx
在a,b
fx單調(diào)增在a,b
fx單調(diào)減 (D)在a,b
fx是凸設(shè)函數(shù)fxx23x2sinx,則f'x0在0,內(nèi)根的個(gè)數(shù)為( (A)0 (B)至多1 二、求下列極限(5,20lnb1
a(1)x00
0b1時(shí),原式=limaxx00 1
limaxbsinxcxdcos
x00cabsin解:原式=lim a.xcdcos x limex1x a
ax
xa1 limsinx x0 lim
lnsinxlnxlimlnsinxln limxcosxsin= =ex002x2sinlimxcosxsin limxsin =
2
=ex006
=e6三、計(jì)算(624分ylntanxcosxlntanx,y 2 sec2 解:y' 2sinxlntanxcosxsec2tan2=sinxlntanx
tanFx是可導(dǎo)的單調(diào)函數(shù),滿(mǎn)足F'x0F00,方程FxyFxFy確yyx,
:令x0,則F0F0Fy0,所以Fy00.由Fx嚴(yán)格單調(diào)和F00y00原等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得F'xyyxy'F'xF'yy'x0,F'0y0F'0F'y0y0dx
=y'01t1t
d2yyx是參數(shù)方程yarctan
確定的函數(shù),dx2解:
1t
1 1tddy d1 d1d2
dx t t
1 11t
1t
t2 t2 設(shè)函數(shù)f
xx
a0問(wèn)a取何值時(shí)f0存在解:fx0處連續(xù).f01
f'0lna11lna,得aee1e
(8分)證明:x0時(shí)有exxe,xe時(shí)成立等式證明:fxxelnx,f'x1e,x0e時(shí),fx嚴(yán)格下降x
xe,時(shí),fx嚴(yán)格上升.fe0.x0時(shí)
xelnx,xe時(shí)成立等式.x0時(shí)有exxe,xe時(shí)成立等式五、(8分)假定足球門(mén)寬度為4米,一球員在球門(mén)右側(cè)沿垂直于的方向帶球向上距離球門(mén)右門(mén)柱6米的點(diǎn)處跑去.問(wèn):他在距離多遠(yuǎn)處獲得最大的射門(mén)(即他與兩門(mén)柱解:arctan10arctan6 d
x2
, 1
1
36x2100x2x
時(shí)最大六、(10設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上連續(xù),在區(qū)間ab內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù).如果fafb且存ca,b使得fcfa,證明在ab內(nèi)至少有一使得f0.證明:由中值定理,
fcfaf'ca
fbfcf'
bc所以12f0f.再由中值定理,ffff012 七、(10分)設(shè)f(x)在[a)上二階可導(dǎo),且f(a)
f(a)
xa時(shí)f(x)0,證明在(af(x)0證明 由于當(dāng)xa時(shí),f(x)0,因此f'(x)單調(diào)減,從而f'(x)f'(a)0,于f(xf(a)0f(x最多只有一個(gè)實(shí)根.下面證明f(x)0xa時(shí),f(x)f(a)f'()(xa)
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