平面向量數(shù)量積1：定義

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一只猴子撿到一把鈍刀，連小樹也砍不斷.于是它向砍柴人請(qǐng)教，砍柴人說“把刀放到石上磨一磨”.于是猴子高興地飛奔回去，立刻把刀放在一塊石頭上拼命地磨.直到它發(fā)現(xiàn)刀口和刀背差不多厚了，便停下來…結(jié)果當(dāng)然是失敗的.難道猴子沒有做功嗎？不！難道猴子沒有用心嗎？不！但是做功力成功.物理學(xué)當(dāng)中的做功在數(shù)學(xué)中叫做什么，是如何表示的呢?平面向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量lallblcos，叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，其中e是a與b的夾角記法記作a-力，即a?b=lallblcose規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影l(fā)alcose(lblcose)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度lal與b在a的方向上的投影l(fā)blcose的乘積兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，a±b a?b=0.當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=lallbl；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=—lallbl.特別地，a?a=a2=lal2或lal=\/03.la?blWlallbl.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)A.交換律：a?b=ba.結(jié)合律：(Ad)?b=X(a?b)=a?(Ab).分配律：(a+b)?c=a-c+b-c.若lal=3，lbl=4,a，b的夾角為135°，則a-b=(B)A.—3-』2 B.—6月2C.6很 D.12［解析］Va-b=lallblcos135°=3X4X(一寺)=—6、/1已知lal=3，lbl=5，且〈a，b〉=45°，則向量a在向量b上的投影為(A)

A.C.4A.C.4D.5［解析］向量a在向量b上的投影為lahcosOnaxW^3^.3.給出以下命題:①a?0=0；②0a=0；30—AB=8A:④la?bl=lallbl；⑤若a/0,則對(duì)任一非零向量b有a?b^0；@a-b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0；⑦a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2.其中正確命題的序號(hào)是③⑦.［解析］本題考查數(shù)量積的概念及向量運(yùn)算.上述7個(gè)命題中只有③⑦正確.對(duì)于①，兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0?a=0；對(duì)于②，應(yīng)為0a=0；對(duì)于④，由數(shù)量積定義，有l(wèi)a-bl=lallbllcos0lWlallbl，這里3是a與b的夾角，只有0=0或0=n時(shí)，才有l(wèi)a?bl=lallbl；對(duì)于⑤，若非零向量a、b垂直，有a-b=0；對(duì)于⑥，由a-b=0可知a±b，即可以都非零.4.(2018-全國(guó)卷II理，4)已知向量a,b滿足lal=1,a?b=—1,則a-(2a—b)=(B)A.4 B.3C.2 D.0［解析］a?(2a—b)=2a2—a?b=2lal2—a?b.,「lal=1，a?b=—1，「.原式=2X12+1=3.故選B.命題方向1 平面向量的數(shù)量積典例1已知lal=2,lbl=3,a與b的夾角為120°,試求：a-b；(a+b)-(a_b)；(2a-b)-(a+3b).［思路分析］根據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義，逐一進(jìn)行計(jì)算即可.［解析］(1)a?b=lal?lblcos120°=2X3X(一?)=—3.(a+b)?(a—b)=a2—a?b+a-b—b2=a2—b2=lal2—lbl2=4—9=—5.(2a—b)-(a+3b)=2a2+6a-b—a-b—3b2=2lal2+5a-b—3lbl2=2X4—5X3—3X9=—34.『規(guī)律總結(jié)』求向量的數(shù)量積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

〔跟蹤練習(xí)1〕已知lal=4,lbl=5，當(dāng)(1)a〃b；(2)aXb；(3)a與b的夾角為60°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積.［解析］(1)'「a〃b,若a與b同向，則0=0°,.'.a?b=ailblcos0°=4X5=20；若a與b反向，則0=180°,:.a-b=lallblcos180°=4X5X(-1)=-20.當(dāng)a±b時(shí)，0=90°,：.a?b=lallblcos90°=0.當(dāng)a與b夾角為60°時(shí)，a-b=lallblcos60°=4X5x2=10.命題方向2 向量的投影典例2(1)若lal=4,a*b=6,求b在a方向上的投影；(2)已知lal=6,e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角0分別等于60°,90°,120°時(shí)，求出a在e方向上的投影.［解析］(1)設(shè)a與b的夾角為a因?yàn)閍?b=lallblcos0=6，且lal=4，3所以4lblcos0=6，所以b在a萬(wàn)向上的投影為lblcos0=2.(2)a在e方向上的投影為lalcos0.當(dāng)0=60°時(shí)，a在e方向上的投影為lalcos60°=3；當(dāng)0=90°時(shí)，a在e方向上的投影為lalcos90°=0；當(dāng)0=120°時(shí)，a在e方向上的投影為lalcos120°=-3.『規(guī)律總結(jié)』求一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影時(shí)，首先要根據(jù)題意確定向量的模及兩向量的夾角，然后代入公式計(jì)算即可.〔跟蹤練習(xí)2〕在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZABC=30°,D為BC的中點(diǎn).求BA在CD方向上的投影；求(^在扇方向上的投影.所以所以CD=BD=ABcos30°=寸3.［解析］如圖所示，連接AD.(1)因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，AB=AC，所以ADXBC.又AB=2，ZABC=30°，所以CD=BD=ABcos30°=.'3.由圖可知BA與CD的夾角為匕abc的補(bǔ)角

所以向量函與站的夾角為150°.因此扇在站方向上的投影為I扇lcos150°=2Xcos150°=一、?.,；3一>一、，、，，，I—，、，一 ，— 3(2)CD在&4萬(wàn)向上的投影為ICDIcos150°=*3cos150°=—3.命題方向3 利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)模、夾角問題兀，、典例3(1)已知lal=0l=5，向重a、b夾角。=§，求la+bl.(2)已知a,b是兩個(gè)非零向量，且lal=lbl=la—bl.求a與a+b的夾角.［思路分析］(1)先求ab再用la+bl與ab的聯(lián)系求解.(2)根據(jù)題中所給等式求出向量a與a+b的夾角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可.一一一 n25［解析］(1)a?b=lallblcos0=5X5Xcos3=".la+bl=;'(a+b)2=\'lal2+2a.b+lbl2=\\25+2X號(hào)+25=5茶.(2)Vlal=la—bl,lal2=la—bl2=lal2—2a-b+lbl2.又lal=lbl,.a-b=|lal2,又la+bl="寸(a+b)2=\'lal2+2a-b+lbl2=■'3lal,設(shè)a與a+b的夾角為仇I a-(a+b)a2+a-bal2+2al2-?../§則cos°=lalla+bl=aa+i=lal.后lal=三,n n又?！辏?,n］,「.0=6，即a與a+b的夾角為g.『規(guī)律總結(jié)』1.利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：a=a-a=lal2或lal=%'a?a.la±bl=W’(a±b)2=\a2+b2±2a-b.ab2.向量夾角公式cos〈a,b〉=abj的計(jì)算中涉及了向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算，計(jì)算時(shí)要區(qū)別進(jìn)行的是向量運(yùn)算還是數(shù)量運(yùn)算.從而保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確無誤.〔跟蹤練習(xí)3〕(1)已知單位向量3e2的夾角為a,且cosa=1，若向量a=3e1—2e2,則lal=3—.(2)(2017全國(guó)卷I)已知向量a,b的夾角為60°,lal=2,lbl=1,Qa+2bl=2、.0_.［解析］(1)因?yàn)閍2=(3g］—2e2)2=9—2X3X2Xcos汁4=9，所以lal=3.(2)la+2bl=\'a2+4a,b+4b2="頊(a+2b)2=\'22+4X2X1Xcos60°+4X12=.'12=2l/3.利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀典例4在AABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a?b=b?c=c?a,試判斷AABC的形狀.［思路分析］易知a+b+c=0,分別將a、b、c移至等號(hào)右邊，得到三個(gè)等式，分別平方可得ab、b?c、c-a,選取兩個(gè)等式相減即可得到a、b、c中兩個(gè)向量的長(zhǎng)度之間的關(guān)系.［解析］在^ABC中，易知AB+Bc+CA=0,即a+b+c=0,因此a+c=—b,a+b=—c,［(a+b)2=(—c)2,從而］、(a+c)2=(—b)2,兩式相減可得b2+2a-b—c2—2a-c=c2—b2,則2b2+2(a?b—a?c)=2c2,因?yàn)閍?b=c?a=a-c,所以2b2=2c2,即lbl=lcl.同理可得lal=lbl,故lABl=lBCl=lCAl,即△△&「是等邊三角形.『規(guī)律總結(jié)』依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形的形狀，關(guān)鍵是由已知條件建立數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度、向量的夾角等之間關(guān)系，移項(xiàng)、兩邊平方是常用手段，這樣可以出現(xiàn)數(shù)量積及向量的長(zhǎng)度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向.〔跟蹤練習(xí)4〕若O是^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足l(5B-(?Cl=loB+(?C-2oAl,則^ABC的形狀為(B)A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形［解析］OB+OC—2OA=OB—OA+OC—OA=AB+AC,OB—OC=CB=AB—AC,于是iAb+Aci=iAb—Aci,所以iAb+Aci2=iAb—Aci2,即AB.Ac=0,從而ab±ac.故△ABC為直角三角形.混淆向量的模與實(shí)數(shù)的運(yùn)算典例5已知lal=2,lbl=3,a與b的夾角為120°,求la+bl及l(fā)a-bl的值.［錯(cuò)解］由題意，得a?b=lallblcos120°=—3.la+bl=\_02+2a?b+b2=\'22+2X(—3)+32=''7.,也2一萬(wàn)2| 5 5L..也一bl=卡=〒'L［錯(cuò)因分析］該解法錯(cuò)誤地類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的法則，實(shí)際上S—b2|=l(a+b)?(a—b)lWla+blla-bl.［思路分析］直接利用完全平方和(差)公式.［正解］由題意，得a?b=lallblcos120°=—3.la+bl='寸a2+2a?b+b2=*J22+2X(—3)+32=寸7,la—bl=-加2—2a?b+b2=君’22—2X(—3)+32=-《19.『規(guī)律總結(jié)』利用數(shù)量積求解模的問題，是數(shù)量積的重要應(yīng)用，解決此類問題的方法是對(duì)向量進(jìn)行平方，即利用公式：a?a=lal2，從而達(dá)到將向量轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的目的.〔跟蹤練習(xí)5〕已知向量a、b的夾角為120°,lal=lbl=1,c與a+b共線，貝ijla+cl的最小值為(D)TOC\o"1-5"\h\zA. 1 B. 2C 3 D吏C. 4 D. 2［解析］,/lal=lbl=1,c與a+b共線.:.a與c的夾角為60°或120°.當(dāng)。=60°時(shí)la+cl='ja2+2a?c+c2=\'1+lcl+lcl2=".?..J(lcl+2)2+4，:la+clmin=1.當(dāng)。=120°時(shí)，la+cl=Y‘1—lcl+lcl21,3(|c—2)2+4,：.la+cl.=幸min21.若a?c=b?c(c/0)，則(D)A.a=ba尹blal=lbla在c方向上的投影與b在c方向上的投影必相等［解析］設(shè)a與c的夾角為巧，b與c的夾角為％,,:a?c=b?c,：.lallclcosq=lbl?lclcos02,即lalcos^1=lblcos^2，故選D.下列命題正確的是(D)A.Ia?bl=lallbl B.a，/00lal+lbl/0C.ab=0Olall下列命題正確的是(D)A.Ia?bl=lallbl B.a，/00lal+lbl/0C.ab=0Olallbl=0 D.(a+b)?c=ac+b?c［解析］選項(xiàng)D是分配律，正確，A、B、C不正確.(2018-江西高安中學(xué)期末)在RtAABC中，匕。=90°,AC=4，則疝?AC=(A)A.16 B.-8C.8 D.-16—* —* .—* . —* —* —* . —* —* .—*. 一［解析］AB^AC=(AC+CB).AC=AC2+CBAC=lABl2=16.4.A.（山東高考）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ZABC=60°,則BDCD=（D）3—2a2C.「3D.2。2-J— > —* —* —* —* . —* ?、、> —* —* .—* . —* —* —* —*［解析］在菱形ABCD中，BA=CD,BD=BA+BC,所以BD?CD=(BA+BC).CD=BA.CD1 3+BC.CD=a2+aXaXcos60°=a2+另2=羿2.5.已知lbl=5,a.b=12，則向量a與b方向上投影為一普.^2.a.b ab12［解析］.a在b萬(wàn)向上的投影為lalcosO，又cos0=ajbi，—alcos0=ml=g.A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知^ABC中，AB=a,AC=b,若ab<0,則^ABC是(A)A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.任意三角形［解析］由a.b<0易知〈a，b〉為鈍角.2.若lal=4,lbl=2,a和b的夾角為30A.2則a在b方向上的投影為（C）B.舟C.2后D.4［解析］a在b方向上的投影Falcosa，b=4Xcos30°=^'3，故選C.3.A.若a.b=0貝則a=0或b=0B.若Aa=0，則A=0或a=0C.若a2=b2,貝9a=b或a=—b對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)兀下列命題中真命題是（B）D.若a?b=a?c,貝9b=c［解析］A中，若a?b=0,則a=0或b=0或a±b,故A錯(cuò)；C中，若a2=b2，則lai=lbl,C錯(cuò)；D中，若a-b=a-c,則可能有a±b,a±c,但b手c,故只有選項(xiàng)B正確，故選B.若向量a與b的夾角為60°,lbl=4,(a+2b)?(a—3b)=—72，則lal=(C)A.2 B.4C.6 D.12［解析］V(a+2b)-(a-3b)=-72，.?.a2—a，b—6b2=—72.lal2—lallblcos60°—6lbl2=—72.lal2—2lal—24=0,又TlalN0，「.lal=6.已知非零向量a,b滿足lbl=4lal,且a±(2a+b),則a與b的夾角為(C)TOC\o"1-5"\h\zn nA.3 B.22n 5nC.項(xiàng) D.—3 6ab［解析］由題意、，得a-(2a+b)=2a2+a-b=0，即ab=—2a2，所以cosa，b=Ovb\=/=—2,所以a，b=孚故選C.4^a2 2 3則P是△ABC的(D):.PB±CA.6.P是則P是△ABC的(D):.PB±CA.B-內(nèi)心夕卜心B-內(nèi)心。重心。。重心［解析］由PA?pB=rb-PC得PB?(Pa—Pc)=0,即PB?cA=0,同理PALBC,PC±AB,.P^AABC的垂心.二、填空題2n…7.（江辦高考）已知勺、e2是夾角為耳的兩個(gè)單位向量，a=e1—2e2,b=ke1+e2,若ab=0,則實(shí)數(shù)k的值為_j_.2兀 5［解析］由a?b=0得0—2e2)?(ke］+e2)=0.整理，得k—2+(1—2k)cos"3=0,解得k=$.已知向量a、b夾角為45°,且lal=1,l2a—bl=偵希，則lbl=^'2.［解析］l2a—bl=、寸10O(2a—b)2=10O4+lbl2—4lblcos45°=10Olbl=3-臣.三、解答題已知lal=10,lbl=12,a與b的夾角為120°，求:a，；(2)(3a).Q，)(3)(3b-2a)-(4a+b).［解析］(1Wb=lallblcos^=10X12Xcos120°=-60.(3a)-(5，)=5@b)=|x(—60)=—36.(3b-2a)-(4a+b)=12b-a+3b2—8a2—2a-b=10a-b+3lbl2—8lal2=10X(—60)+3X122—8X102=—968.10.已知lal=4,lbl=3,(2a-3b)-(2a+b)=61.求la+bl；求向量a在向量a+b方向上的投影.［解析］(1).「(2a—3b)-(2a+b)=61,.?.4lal2—4a?b—3lbl2=61.*/lal=4,lbl=3,Aa-b=—6,la+bl='?.,：lal2+lbl2+2a.b=%；42+32+2X(—6)=”J13.(2)?「a?(a+b)=lal2+a?b=42—6=10,「.向量a在向量a+b方向上的投影為a?(a+b)__ 10疝la+bl=而=13.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題(2018-四川綿陽(yáng)期末)下列命題中錯(cuò)誤的是(B)對(duì)于任意向量a、b,有l(wèi)a+blWlal+lbl若a-b=0，則a=0或b=0對(duì)于任意向量a?b,有l(wèi)a?blWlallbl若a、b共線，則a-b=±lallbl［解析］當(dāng)a±b時(shí)，ab=0也成立，故B錯(cuò)誤.定義：laXbl=lal-lbl-sin^,其中3為向量a與b的夾角，若al=2,lbl=5,a-b=-6,則laXbl等于(B)TOC\o"1-5"\h\zA.-8 B.8C.-8或8 D.634 4［解析］由lal=2,lbl=5,a-b=—6,得cos3=—|,sin3=|,..laXbl=lal?lbl?sin3=2X5X|=8．

3.若非零向量a、b滿足lal=§lbl,且(a—b)頊3a+2b),則a與b的夾角為(A)A.C.BA.C.D.n“. 2盤 2 _、.所以ab=3-(3lbl)2—2b2=3,2,所以cosa,bab32 <2=lal?lbl=2'巧=2,所以a、Vb2兀4,［解析“. 2盤 2 _、.所以ab=3-(3lbl)2—2b2=3,2,所以cosa,bab32 <2=lal?lbl=2'巧=2,所以a、Vb2兀4,故選A.4.已知△△&「中，若AB2=AB-AC+BA-BC+CA-洼，則△人8。是(C)A.等邊三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形［解析］由AB2—AB-AC=BA-BC+CA-CB,——————得AB-(AB—AC)=BC?(BA—CA),—————一——.——即AB?CB=BC?BC,：.AB-BC+BCBC=0,/.Bc-(Ab+Bc)=q,則BbAC=o,即BC^AC,所以△△&「是直角三角形，故選C.1=3_二、填空題1=3_5.若非零向量a,b滿足lal=3lbl=la+2bl,則a與b夾角的余弦值為^［解析］*/lal=3lbl=la+2bl,al2=9lbl2=(a+2b)2=al2+4lbl2+4a.b,：.a?b=—lbl2,cos(a-b〉a?b —cos(a-b〉一 一一 lal-lbl 3lbl?lbl 3*6.已知向量a、b滿足：lal=1,l