2023屆湖南省汨羅第二中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實數(shù),“”是“”的充分不必要條件2.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.5.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.6.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列7.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)滿足,則對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.設(shè)集合,則()A. B. C. D.10.已知,,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.511.對兩個變量進行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.12.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在邊長為2的正三角形中,,則的取值范圍為______.14.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是______.15.已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合,直線過拋物線的焦點與拋物線交于、兩點和橢圓交于、兩點,為拋物線準(zhǔn)線上一動點,滿足,,當(dāng)面積最大時,直線的方程為______.16.在棱長為的正方體中,是正方形的中心,為的中點,過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎?wù)邤S各面標(biāo)有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結(jié)束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎?wù)邚南渲腥我饷鰝€球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學(xué)期望不超過元,求的最小值.18.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.19.(12分)如圖,四棱錐的底面中,為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,平面平面,為中點.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.20.(12分)在中,角所對的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點,求△MON的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.2、D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運算能力,屬于中檔題.3、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

運行程序,依次進行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】

選B.考點:圓心坐標(biāo)6、D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題7、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時,.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點,則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時.又當(dāng)直線經(jīng)過點時,有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個交點時,實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時,實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛:已知函數(shù)零點的個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.8、D【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計算、復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可得答案;【詳解】,對應(yīng)的點,對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

解對數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號可取到.故選:A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.11、D【解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點,觀察這四個點在靠近哪個曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個函數(shù)圖象,同時描出題中的四個點,它們在曲線的兩側(cè),與其他三個曲線都離得很遠,因此D是正確選項,故選:D.【點睛】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多,說明擬合效果好.12、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意通過設(shè)元、消元,將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.14、【解析】

設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時,的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時,,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運算能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】

根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號成立條件得到直線的傾斜角為,計算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.16、【解析】

確定平面即為平面,四邊形是菱形,計算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點共面,記的中點為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因為正方體的棱長為,易知四邊形是菱形,其對角線,,所以其面積.故答案為:【點睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】

設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,求出;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,所以;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因為,解得,即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.18、(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解析】

(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回?fù)p失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為(元)【點睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設(shè)中點為,連接、,首先通過條件得出,加,可得,進而可得平面,再加上平面,可得平面平面,則平面;(2)設(shè)中點為,連接、,可得平面,加上平面,則可如圖建立直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)中點為,連接、,為等邊三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,為的中位線,,平面,平面,平面,、為平面內(nèi)二相交直線,平面平面,平面DMN,平面;(2)設(shè)中點為,連接、為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,、、共線,,,,,平面平面.平面平面平面,交線為,平面平面.設(shè),則在中,由余弦定理,得:又,,,,,為中點,,建立直角坐標(biāo)系(如圖),則,,,.,,設(shè)平面的法向量為,則,,取,則,,平面的法向量為,,二面角為銳角,二面角的余弦值大小為.【點睛】本題考查面面平行證明線面平行,考查向量法求二面角的大小,考查學(xué)生計算能力和空間想象能力,是中檔題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由可得到,代入,結(jié)合正弦定理可得到,再利用余弦定理可求出的值,即可求出角;(Ⅱ)由,并結(jié)合正弦定理可得到,利用,,可得到,進而可求出周長的范圍.【詳解】解:(Ⅰ)由可知,∴.由正弦定理得.由余弦定理得,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴,.的周長為.∵,∴,∴,∴的周長的取值范圍為.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用,考查了三角形的面積公式,考查了學(xué)生分析問題、解決問

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