2023屆湖南省百所重點高中高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.72.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.3.過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點,,為的準線上的一點,則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.84.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.5.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.6.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.8.第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行,中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務,要求每個人都要被派出去提供服務,且每個場地都要有志愿者服務,則甲和乙恰好在同一組的概率是()A. B. C. D.9.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.10.定義在上的函數(shù)與其導函數(shù)的圖象如圖所示,設為坐標原點,、、、四點的橫坐標依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.11.在復平面內(nèi),復數(shù)z=i對應的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應的復數(shù)是()A. B. C. D.12.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點,到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.14.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.15.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時a=____________.16.動點到直線的距離和他到點距離相等,直線過且交點的軌跡于兩點,則以為直徑的圓必過_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年春節(jié)期間,某超市準備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設計了兩種抽獎方案.方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望;②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?18.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.19.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.20.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎者擲各面標有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎者從箱中任意摸出個球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學期望不超過元,求的最小值.21.(12分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.22.(10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標準方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算,關鍵是利用基向量表示所求向量.2、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.3、C【解析】

設拋物線的解析式,得焦點為,對稱軸為軸,準線為,這樣可設點坐標為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設拋物線的解析式,則焦點為,對稱軸為軸,準線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點,,是與的交點,又軸,∴可設點坐標為,代入,解得,又∵點在準線上,設過點的的垂線與交于點,,∴.故應選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時只要設出拋物線的標準方程,就能得出點坐標,從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.4、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構造函數(shù),求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設,則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調(diào)遞減,當時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減;當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導構造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.5、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.6、B【解析】

根據(jù),可知命題的真假,然后對取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結果.【詳解】對命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用,識記真值表,屬基礎題.7、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構造函數(shù),利用導數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應用,考查了學生數(shù)形結合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.8、A【解析】

根據(jù)題意,五人分成四組,先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù),再將甲乙組成一組的情況,即可求出概率.【詳解】五人分成四組,先選出兩人組成一組,剩下的人各自成一組,所有可能的分組共有種,甲和乙分在同一組,則其余三人各自成一組,只有一種分法,與場地無關,故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選:A.【點睛】本題考查組合的應用和概率的計算,屬于基礎題.9、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.10、B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.11、A【解析】

由復數(shù)z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標,則對應的復數(shù)可求.【詳解】解:∵復數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復平面中對應點Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,

設=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對應復數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.12、B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點,所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標系,則.設直線,即,則,所以,所以,,則,則,當時,,則單調(diào)遞減,當時,,則單調(diào)遞增,所以當時,最短,此時.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的實際應用,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.15、3【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當且僅當時,等號成立,故的最小值為3,此時.故答案為:3;.【點睛】本題考查基本不等式及其應用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎題.16、【解析】

利用動點到直線的距離和他到點距離相等,,可知動點的軌跡是以為焦點的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點O.【詳解】設點,由題意可得,,,可得,設直線的方程為,代入拋物線可得,,,,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點.故答案為:(0,0)【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線和拋物線的交匯問題,同時考查了方程的思想和韋達定理,考查了運算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為,每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為,根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一,方案二顧客獲返金卷的期望,方案一列出分布列計算即可,方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結論.【詳解】(1)選擇方案一,則每一次摸到紅球的概率為設“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A,則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率(2)①若選擇抽獎方案一,則每一次摸到紅球的概率為,每一次摸到白球的概率為.設獲得返金劵金額為元,則可能的取值為60,100,140,180.則;;;.所以選擇抽獎方案一,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為(元)若選擇抽獎方案二,設三次摸球的過程中,摸到紅球的次數(shù)為,最終獲得返金劵的金額為元,則,故所以選擇抽獎方案二,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為(元).②即,所以該超市應選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型,相互獨立事件的概率,二項分布,期望,及概率知識在實際問題中的應用,屬于中檔題.18、(1);(2)或.【解析】

(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結論;(2)設,由(1)可得關系,再由直線l過點,可得,進而建立關于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關系解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當時,,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當時,.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用,屬于基礎題20、;.【解析】

設顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲

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