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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.2.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.1603.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④4.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對(duì)任意都有零點(diǎn);則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.5.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.6.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.7.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.8.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.9.已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn),若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.10.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.11.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.212.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.近年來(lái),新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車市場(chǎng)上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù),它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上,車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電,那么他的車能夠充電2500次的概率為_(kāi)_____.14.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.15.的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.16.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________(用具體數(shù)據(jù)作答).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點(diǎn),求.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,.(1)證明:平面平面ABCD;(2)設(shè)H在AC上,,若,求PH與平面PBC所成角的正弦值.19.(12分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側(cè)面為平行四邊形,側(cè)面為正方形,,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.2、A【解析】
求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)?,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無(wú)零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)?,,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);綜上所述:與無(wú)交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.4、A【解析】
先分別判斷每一個(gè)命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí),直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí),,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時(shí),沒(méi)有零點(diǎn),所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、B【解析】
試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點(diǎn),所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題中,涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,焦點(diǎn)弦長(zhǎng),拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時(shí),常??紤]用拋物線的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系.6、B【解析】
由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.7、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
畫(huà)出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫(huà)出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無(wú)窮多組,在解決具體問(wèn)題時(shí),合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.9、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進(jìn)而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長(zhǎng)為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.10、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.11、D【解析】
分析可得,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長(zhǎng),所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導(dǎo),則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因?yàn)椋?,,因?yàn)?,且,所以,即,所以,即故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:,由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.【詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時(shí)取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、【解析】
寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),然后取的指數(shù)為求得的值,則項(xiàng)的系數(shù)可求得.【詳解】,由,可得.含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式、需熟記二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,故,故的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù),注意利用通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算,本題屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1):;:.(2)【解析】
(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,當(dāng)時(shí),,,所以.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)記,連結(jié),推導(dǎo)出,平面,由此能證明平面平面;(2)推導(dǎo)出,平面,連結(jié),由題意得為的重心,,從而平面平面,進(jìn)而是與平面所成角,由此能求出與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:記,連結(jié),中,,,,,,平面,平面,平面平面.(2)中,,,,,,,,,,平面,∴,連結(jié),由題意得為的重心,,,,平面平面平面,∴在平面的射影落在上,是與平面所成角,中,,,,.與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接,交與,連接,由,得出結(jié)論;(2)以為原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用夾角公式求出即可.【詳解】(1)連接,交與,連接,在中,,又平面,平面,所以平面;(2)由平面平面,,為平面與平面的交線,故平面,故,又,所以平面,以為原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,,,由,得,平面的法向量為,由,故二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)時(shí),根據(jù)絕對(duì)值不等式的定義去掉絕對(duì)值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價(jià)于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),時(shí),不等式化為,解得,即時(shí),不等式化為,不等式恒成立,即時(shí),不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí),取得最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了函數(shù)絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問(wèn)題,屬于常規(guī)題型.21、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡(jiǎn)不等式為,再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍.詳解:(1)當(dāng)時(shí),可得的解集為.(2)等價(jià)于.而,且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故等價(jià)于
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