人教B版必修第一冊(cè)1.1.3第一課時(shí)交集并集學(xué)案

集合的基本運(yùn)算

第一課時(shí)交集、并集學(xué)習(xí)目標(biāo).通過(guò)實(shí)例理解兩個(gè)集合交集與并集的含義,會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集，以提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)..會(huì)使用維恩圖表示集合的交、并運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用，以滲透數(shù)形結(jié)合思想..通過(guò)集合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，感受集合作為一種語(yǔ)言,在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)的簡(jiǎn)潔和準(zhǔn)確,進(jìn)一步提高類(lèi)比能力..交集⑴定義:一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由既屬于A又屬于B的所有元素（即A和B的公共元素）組成的集合,稱(chēng)為A與B的交集,記作AAB,讀作“A交B”.◎⑵圖形語(yǔ)言表示為:思考1:若兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素,則兩集合的交集是什么？答案:若兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素,則兩集合的交集是空集.思考2:若兩個(gè)集合A,B的交集是空集,則兩集合有什么特征？答案:若兩個(gè)集合A,B的交集是空集,則兩集合至少有一個(gè)是空集或者兩集合雖不是空集，但是兩集合沒(méi)有公共元素..并集A.{1,2,3}B.{1,2,4)C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}解析:AGB={1,2},(AGB)UC={1,2,3,4}.故選D.5.設(shè)集合A={x|-3<x<n,xGZ},B={x|x=2k-1,k?Z},則AGB的元素有個(gè).解析:因?yàn)榧螦={x|-3<x<n,XGZ},B={x|x=2k-l,k￡Z},所以集合A中的元素為-2,-1,0,1,2,3,而集合B中的元素為奇數(shù),所以AGB={-1,1,3},AAB的元素個(gè)數(shù)為3.答案：3⑴定義:一般地,給定兩個(gè)集合A,B,由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合,稱(chēng)為A與B的并集,記作AUB,讀作“A并B”.⑵圖形語(yǔ)言表示為：思考3:集合AUB的元素個(gè)數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)之和？答案:不一定相等.AUB的元素個(gè)數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)之和.思考4:根據(jù)兩集合的并集的定義可知,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有什么關(guān)系？答案:根據(jù)兩集合的并集的定義,集合AUB中的元素與集合A,B的元素有以下三種關(guān)系：①x￡A且xqB;②x￡B且泊A;③x￡A且x￡B.交集、并集的運(yùn)算性質(zhì)您探究點(diǎn)一交集運(yùn)算交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)AAB=BAAAUB=BUAAAA=AAUA=AAG0-0AU0=AAGB=AAB=AAUB=AUB=B[例1]⑴設(shè)集合M二{T,0,1},N={xR=x},則MAN等于()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}⑵若集合A={x|-2WxW3},B={x|x<-l或x>4}，則集合AAB等于()A.{x|xW3或x>4}B.{x|T〈xW3}C.{x|3^x<4}D.{x|-2^x<-l}⑶已知A:{(x,y)14x+y=6},B={(x,y)13x+2y=7},則AAB=.解析：(1)N={xlx'x}二{0,1},所以MAN={0,1}.故選B.⑵將集合A,B表示在數(shù)軸上，由圖可得AGB={x|-2Wx<-1}.故選D.(3)AAB={(x,y)|4x+y=6}A{(x,y)|3x+2y=7}={(x,y)I梁:七_(dá)6)}={(1，2)}.答案：⑴B(2)D(3){(1,2)}求集合AAB的步驟與方法(1)步驟①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么.②把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來(lái)，寫(xiě)成“AGB”的形式.③把化簡(jiǎn)后的集合A,B的所有公共元素都寫(xiě)出來(lái)即可(若無(wú)公共元素,則所求交集為0).⑵方法①定義法.若集合是用列舉法表示的,可以直接利用交集的定義求解；②數(shù)形結(jié)合法.若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集,則可以借助數(shù)軸分析法求解,但要注意,利用數(shù)軸表示不等式時(shí),含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示,不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示.針對(duì)訓(xùn)練：⑴設(shè)集合人二年|-1?}加&|0。忘4},則八013等于()A.{x|0WxW2}B.{x|lWxW2}C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}(2)已知集合A={x|x=3n+2,n￡N},B={6,8,10,12,14),則集合AAB中元素的個(gè)數(shù)為()A.5B.4C.3D.2解析：(1)因?yàn)锳={x|TWxW2},B={x|0WxW4},在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖,故AAB={x|0〈xW2}.故選A.(2)因?yàn)?=3X2+2,14=3X4+2,所以8￡A,14￡A，所以AAB二所14).故選D.[備用例1](1)若A={x￡N|lWxW10},B=G￡1^^2+乂-6=0},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}⑵設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}，若AGB={1},則集合B等于A.{-3,1}B.{0,1}C.{1,5}D.{1,3}解析：(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由題意可知，陰影部分為AAB,AAB={2}.故選A.⑵因?yàn)锳C1B=⑴，所以1￡B,所以1是方程x2-4x+m=0的根，所以l-4+m=0,所以m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}.故選D.至探究點(diǎn)二并集運(yùn)算[例2](1)設(shè)集合A={1,2,3),B=⑵3,4,5},求AUB;(2)設(shè)集合A:{x|-3<xW5},B={x|2<xW6}，求AUB.W：(1)AUB={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5).⑵畫(huà)出數(shù)軸如圖所示.所以AUB={x|-3〈x《5}U{x|2〈xU6}二{x|-3<xW6}.并集運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題⑴對(duì)于描述法給出的集合,應(yīng)先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集,還是點(diǎn)集,然后將集合化簡(jiǎn),再按定義求解.⑵求兩個(gè)集合的并集時(shí)要注意利用集合元素的互異性這一屬性,重復(fù)的元素只能算一個(gè).⑶對(duì)于元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí),可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)的值能否取到.針對(duì)訓(xùn)練：（1）已知集合M={T,O,1},P={O,1,2,3},則圖中陰影部分所表示的集合是（）A.{0,1}B.{0}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}⑵若集合A={x|x>-l},B={x|-2<x<2},則AUB二.解析：⑴由維恩圖，可知陰影部分所表示的集合是MUP.因?yàn)镸=1},P={0,1,2,3},故MUP=1,2,3}.故選D.（2）畫(huà)出數(shù)軸如圖所示,故AUB={x|x>-2}.答案：（1）D（2）{x|x>-2}您好一集合交集、并集的應(yīng)用［例3］已知集合A={x12<x<4},B={x|a<x<3a（a>0）}.⑴若AUB二B,求a的取值范圍；⑵若AGB二0,求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)锳UB=B,所以ACB,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，觀察數(shù)軸可知，1公所以欠aW2.（2"門(mén)8=0有兩類(lèi)情況:8在A的左邊和B在A的右邊,如圖.觀察數(shù)軸可知,a24或3aW2,又a>0,所以（KaW?或a24.3針對(duì)訓(xùn)練：已知A={xa〈xWa+8},B={x|x<-l或x>5}.若AUB=R,求a的取值范圍.解：由題意得a〈a+8,又B={x|x<-l或x>5},在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B,如圖.所以{:腎5,所以-3Wa〈T.［備用例2］已知集合人=卜|0忘*忘4},集合B={x|m+lWxWl-m}.⑴若AUB二A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若AGB=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）因?yàn)锳UB=A,所以BUA.因?yàn)锳二為|0WxW4},所以B=0或BW。.當(dāng)B=0時(shí),有解得m>0;當(dāng)BWo時(shí),用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示，（m+1<1-m,因?yàn)锽cA,所以0<m+l,解得TWmWO.（1-m<4,綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍是［-1,+8）.⑵因?yàn)锳GB=A,所以AGB.如圖，所以解得mWT.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（,-3］.核心素養(yǎng)一一數(shù)形結(jié)合法求解集合運(yùn)算個(gè)數(shù)問(wèn)題［典例］某班有學(xué)生55人,其中音樂(lè)愛(ài)好者34人,體育愛(ài)好者43人,還有4人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，則班級(jí)中既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的有人.解析：設(shè)只愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為X人,兩者都愛(ài)好的人數(shù)為y人,只愛(ài)好體育的人數(shù)為z人，作維恩圖如圖，則x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.答案：26有限集中元素的個(gè)數(shù)的求法我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集,用card來(lái)表示有限集的元素個(gè)數(shù),即card(A)表示有限集A的元素個(gè)數(shù),則有：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB);card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(APlBAC).［素養(yǎng)演練］某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人,同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人,則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人.解析：由條件知,每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組,故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)小組，設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)組成的集合分別為A,B,C,則card(AABAC)=0,且card(AAB)=6,card(BBC)=4,由card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AAB)-card(AAC)-card(BAC)+card(AABCC),易知36=26+15+13-6-4-card(AAC),故card(APC)=8,即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.答案：8.下列說(shuō)法中正確的有（B）⑴交集的元素個(gè)數(shù)一定比參與運(yùn)算的任何一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)少；⑵若AUB=A,則B中的每一個(gè)元素都在集合A中；（3）AnB=CAB,貝A=C;（4）兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：由AAA二A可知，（1）錯(cuò)誤;若AUB二A,可得集合B是集合A的子集，（2）正確；當(dāng)交集都是空集時(shí)，集合A與C不一定相等，（3）錯(cuò)誤;兩集合均不為空集,則兩集合的并集不可能為空集，（4）正確.因此正確的個(gè)數(shù)為2.故選B..已知集合A;{x|-3<x-l<4},B={x|l-x>0}，貝ljAAB等于（C）A.{x|x<5}B.{x|Kx<5}C.{