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均值不等式巧解利潤最值問題-2023國家公務員考試行測解題技巧利潤問題是行測考試中數(shù)量關系部分的一種題型，這種題型中有一類考點，即求利潤的最值，此類題目在求解過程中往往會消失一元二次函數(shù)，如何簡便快速地求解一元二次函數(shù)的極值，下面我就為大家介紹一種方法，即利用均值不等式來求解。

均值不等式的一種表達形式如下，

假如a、b均為非負實數(shù)，那么當且僅當a=b時，等號成立。

由上述表達式，我們可以得到如下結論：已知a、b均為正數(shù)，若a+b為定值，則當且僅當a=b時，ab取得最大值。

【例1】某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售增加盈利盡快削減庫存，商場打算實行適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)覺假如每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，每件襯衫降低（）元時，商場每天盈利最多。

A.12

B.15

C.20

D.25

答案：B

接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路：

(1)找等量關系，列方程。

本題所求為利潤最值問題，結合條件可以得出等量關系：總利潤=單件利潤×銷量。分析可得假如售價下降1元在成本不變的狀況下利潤即下降1元，同時銷量會增加2件，這道題可以設每件襯衫的售價下降了x元，商場的總利潤為y元，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

(2)湊配定和，求極值。

y=(40-x)×(20+2x)，由前面學習的均值不等式的結論可知，要想求兩部分乘積的最大值，需要這兩部分的加和為定值，而我們會發(fā)覺40-x和20+2x的加和并不是常數(shù)，所以不為定值，那么就需要未知數(shù)在加和后抵消掉，則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x)，此時40-x與10+x的和為定值，所以當且僅當40-x=10+x，即x=15時，y存在最大值，答案為B。

【例2】某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價為每天180元時，房間會全部住滿，當每個房間的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，問房價為多少元時賓館利潤最大？

A.260

B.280

C.300

D.340

答案：D

【解析】總收入最多則利潤最大，所以需要求出總收入的最大值，通過題干條件可得等量關系為：總收入=房間單價×入住房間數(shù)量，房價增加會使入住房間數(shù)削減，此時可設房價增加了x個10元，總收入為y元，可得y=(180+10x)×(50-x)，想求兩個部分乘積的最大值，需要使兩部分加和為定值，可將方程變形為y=10×(18+x)×(50-x

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