社會統(tǒng)計學(xué)-參數(shù)估計

第6章參數(shù)估計統(tǒng)計推論基本概念抽樣分布點估計區(qū)間估計大樣本區(qū)間估計6.1統(tǒng)計推論統(tǒng)計推論是根據(jù)局部資料（樣本資料）對總體的特征進(jìn)行推斷。屬于歸納推理的范疇。統(tǒng)計推論的特點：（1）局部反映總體；（2）抽樣結(jié)果總是存在隨機(jī)性。統(tǒng)計推論的內(nèi)容：（1）參數(shù)估計（parameter’sestimation）（2）假設(shè)檢驗(Hypothesistest)6.2基本概念總體（Population）：是研究對象的全體?？梢钥醋魇且粋€研究對象的集合，又可以看作是所研究的變量的一個分布。例如家庭和家庭收入?？傮w由個體（調(diào)查單位）構(gòu)成。樣本（Sample）：從總體中按一定方式將要調(diào)查的個體抽出來，就組成一個樣本。其中包含的個體數(shù)目n稱為樣本大小或樣本容量。簡單隨機(jī)樣本：樣本中個體的抽取是獨立的，且和總體同分布，由此形成的樣本即簡單隨機(jī)樣本。要研究的總體的特征叫做參數(shù)值。要研究的樣本的特征叫做統(tǒng)計量。根據(jù)樣本觀測值得到的統(tǒng)計數(shù)字叫做統(tǒng)計量的觀測值。有時也把它們看作是統(tǒng)計量的本身。統(tǒng)計量的分布即抽樣分布。6.3抽樣分布總體分布（populationdistribution）是變量X的所有取值形成的分布。但我們在分析中往往不能知道總體分布的情況。1、樣本均值的分布（1）總體正態(tài)分布，方差已知

反映了統(tǒng)計量圍繞總體均值（μ）的分散程度，或者說反映了抽樣均值與μ的平均誤差水平。所以它又稱作抽樣均值的平均誤差或標(biāo)準(zhǔn)誤差。

是由抽樣引起的，其大小可以反映統(tǒng)計量的可靠性程度。其標(biāo)準(zhǔn)化后也得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2）總體正態(tài)分布，方差未知用樣本方差作為總體方差的估計值；統(tǒng)計量服從t分布。（3）任意總體，大樣本情況在社會現(xiàn)象的研究中，可以不考慮總體分布如何，只要n足夠大（≥50），樣本均值的分布將確定為一個近似的正態(tài)分布。2、樣本方差S2的分布樣本方差是隨機(jī)變量，當(dāng)總體為正態(tài)分布時，S2的分布與分布相聯(lián)系?！?/p>

2023/2/57

分布回顧該分布是指一些相互獨立、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量平方和的分布。即從正態(tài)分布總體中抽取出來的樣本，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，它的平方和服從分布?！╪-1）常用于列聯(lián)表檢驗。2023/2/586.4點估計點估計：是以一個最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計值來代表總體參數(shù)值。具體說，用樣本均值作為總體均值的點估計值。用樣本方差作為總體方式差的點估計值。估計量如果具有無偏性、一致性和有效性，就可以認(rèn)為這種統(tǒng)計量是總體參數(shù)的合理估計或最佳估計。6.4.1求點估計值的標(biāo)準(zhǔn)無偏性：要求統(tǒng)計量抽樣分布的均值恰好等于被估計的參數(shù)之值。比如，中心極限定理告訴我們，樣本均值抽樣分布的均值恰好等于總體均值，因此用樣本均值估計總體均值就滿足這個標(biāo)準(zhǔn)。但絕不是說任何的值將等于μ。一致性：當(dāng)樣本容量逐漸增加時，統(tǒng)計量越來越接近總體參數(shù)。要求統(tǒng)計量隨著樣本容量n的增大以更大的概率接近被估計參數(shù)。有效性：是指統(tǒng)計量的抽樣分布集中在真實參數(shù)周圍的程度。要求估計值的抽樣分布有較小的分散性，即選擇抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差較小的統(tǒng)計量作為估計量。6.4.2點估計值的計算總體均值的點估計總體方差的點估計值在統(tǒng)計學(xué)中，常常用符號“”來表示無偏估計量。數(shù)學(xué)上可以證明，對于隨機(jī)樣本而言，才是總體方差的無偏估計量，它稱為修正樣本方差。當(dāng)Xi表示的是變量，其取值是0和1。如果A類（X=1）出現(xiàn)了m次,我們用樣本的成數(shù)P作為總體的估計值。[例]工會為了了解春游期間需用幾輛公共汽車，在全廠10000名職工中進(jìn)行了共100人的簡單隨機(jī)抽樣調(diào)查。統(tǒng)計結(jié)果，其中有20名愿意外出春游。假設(shè)每輛車可載乘客50名，問估計要預(yù)租多少輛公共汽車？用樣本成數(shù)來估計。[例]研究者要調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入分布的差異情況，現(xiàn)隨機(jī)抽查了10戶，得到樣本方差為＝200(元2)。試以此資料估計總體家庭收入分布的差異情況。

[解]因為樣本容量較小，宜用修正樣本方差作為總體方差點估計量。即

＝＝＝222.26.5區(qū)間估計（Intervalestimation)區(qū)間估計的任務(wù)是，在點估計值的兩側(cè)設(shè)置一個區(qū)間，使得總體參數(shù)被估計到的概率大大增加?？煽啃院途_性(即信度和效度)在區(qū)間估計中是相互矛盾的兩個方面。

6.5.1有關(guān)區(qū)間估計的幾個概念置信區(qū)間：區(qū)間估計是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計到的信心而在點估計兩邊設(shè)置的估計區(qū)間。區(qū)分精確性與可靠性顯著性水平

α：表示用置信區(qū)間來估計的不可靠的概率。置信度（水平）1-α：表示置信區(qū)間估計的可靠性（把握度）。例如置信水平取0.90。抽樣平均誤差與概率度

Z抽樣平均誤差：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差。反映在參數(shù)周圍抽樣平均值的平均變異程度。越大，樣本均值越分散。概率度：Z在參數(shù)估計中被稱為概率度，其大小由

α決定.

顯著性水平、置信水平、概率度之間的關(guān)系：

α

=0.10時，1-

α

=0.90，Zα/2=1.65

α=0.05時，1-

α

=0.95，Zα/2=1.96

α=0.01時，1-

α

=0.99，Zα/2=2.582023/2/5186.5.2區(qū)間估計的做法從點估計值開始，向兩側(cè)展開一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計總體參數(shù)很可能就包含在這個區(qū)間之內(nèi)。置信區(qū)間的大小主要由和Z這兩個量所決定，并且是2Z。所以參數(shù)μ的區(qū)間估計就歸結(jié)為計算這兩個量（即就各種抽樣分布計算概率度和就各種抽樣方式計算抽樣平均誤差）。

的大小對設(shè)置置信區(qū)間的范圍起著很重要的作用。在同等置信度的情況下，抽樣平均誤差小，估計區(qū)間就縮小了，從而獲得對參數(shù)較為有效的估計（決定效度的關(guān)鍵因素）。Z則與信度相聯(lián)系。對參數(shù)μ的區(qū)間估計的步驟：

1.首先從總體抽取一個樣本，根據(jù)收集的樣本資料求出它的均值。

2.根據(jù)合乎實際的置信水平查表求得概率度

3.根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量求出抽樣平均誤差

4.以均值為基準(zhǔn)，向兩側(cè)展開Z倍抽樣平均誤差的區(qū)間。根據(jù)總體方差是否知道，估計分兩種情況。（1）已知（2）未知，用S代替6.5.3大樣本，總體均值的區(qū)間估計[例]設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動服從正態(tài)分布N

[μ

，0.662]，根據(jù)36人的隨機(jī)抽樣調(diào)查，樣本每天平均從事家務(wù)勞動的時間為2.65小時，求μ的置信區(qū)間（置信度1-α

=0.95）。

[解]按題意，此為大樣本，且總體方差已知，又

n＝36，＝2.65，＝0.66，1-α＝0.95。查表得Z＝1.96，代入公式有＝2.65±1.96＝2.65±0.22

因此，有95％的把握，該廠婦女平均從事家務(wù)勞動的時間在2.87～2.43小時之間。[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測得平均身高為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為7.5厘米，試求該校學(xué)生平均身高95％的置信區(qū)間。

[解]按題意，此為大樣本，且總體方差未知，又n＝100，＝170，S＝7.5，1—α＝0.95．查表得＝1.96，代入公式有

=170±1.96＝170±1.47因此，有95％的把握，該校學(xué)生的平均身高在168.5~171.5厘米之間。[習(xí)題]從來自“白領(lǐng)犯罪與罪犯生涯：一些初步研究結(jié)果”的一項研究報告的數(shù)據(jù)表明，白領(lǐng)犯罪可能是年紀(jì)較大者，并且顯示比街頭罪犯有較低的犯罪率。給出數(shù)據(jù)為：白領(lǐng)犯罪發(fā)作平均年齡為54歲，n

=100，標(biāo)準(zhǔn)差被估計為7.5歲。建立真實平均年齡的90%置信區(qū)間。采用t分布6.5.4小樣本，正態(tài)總體均值區(qū)間估計[例]在一個正態(tài)總體中抽取一個容量為25的樣本，其均值為52，標(biāo)準(zhǔn)差為12，求置信水平為95％的總體均值的置信區(qū)間。

[解]根據(jù)題意，總體方差未知，且為小樣本，故用t分布統(tǒng)計量。由95％置信水平查t分布表得概率度＝(24)＝2.064

代入公式得

＝52±2.064＝52±4.95因此，置信水平95％的總體均值的置信區(qū)間是從47.05到56.95。從總體的均值估計過渡到總體的成數(shù)估計，其方法和思路完全相同，只要用代替，用代替。6.5.5大樣本總體成數(shù)的估計[例]假若從某社區(qū)抽取一個由200個家庭組成的樣本，發(fā)現(xiàn)其中有36%的家庭由丈夫在家庭開支上作決定的次數(shù)超過半數(shù)。試問家庭開支的半數(shù)以上由丈夫決定的家庭的置信區(qū)間是多少？（置信水平99%）[例]假若從某社區(qū)抽取一個由200個家庭組成的樣本，發(fā)現(xiàn)其中有36%的家庭由丈夫在家庭開支上作決定的次數(shù)超過半數(shù)。試問家庭開支的半數(shù)以上由丈夫決定的家庭的置信區(qū)間是多少？（置信水平99%）

[解法一][解法二]2023/2/530n1≥50n2≥50現(xiàn)在從兩總體獨立地各抽取一個隨機(jī)樣本：只要樣本都大于或等于50，則兩個樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的隨機(jī)變量仍然服從正態(tài)分布的原理，則均值差也服從正態(tài)分布。6.5.5大樣本二總體均值差的估計若總體方差未知，則用樣本方差代替總體方差。在大樣本的情況下置信度為1-a的（μ1-μ2）的區(qū)間估計為：2023/2/533

與單樣本成數(shù)的區(qū)間估計一樣，成數(shù)差區(qū)間估計可以被看作均值差的特例來處理(但它適用于各種量度層次)。即對給定的置信水平（1―α），得兩總體成數(shù)差(p1―p2)之估計區(qū)間為

6.5.5大樣本成數(shù)差的區(qū)間估計2023/2/534

[例]有一個大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類，四年級學(xué)生中有58％屬于“外向”類。樣本中新生有171名，四年級學(xué)生有117名。試在99％的置信水平上，求新生、老生性性格“外向”的成數(shù)差的置信區(qū)間。2023/2/535

[解]據(jù)題意，

新生組的抽樣結(jié)果為：＝0.73，

＝027，

n1＝171(人)

四年級學(xué)生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.58，

＝0.42，n2＝117(人)

由（1―α）＝0.99，得Zα/2＝Z0.005＝2.58，代入上式得

得在99％置信水平上，