大學物理第四章

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任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為振動.★物體圍繞一固定位置往復運動，稱為機械振動。其運動形式有直線、平面和空間振動.

機械振動可分為周期和非周期振動★

簡諧振動最簡單、最基本的振動.諧振子作簡諧振動的物體.簡諧振動復雜振動合成分解一、簡諧振動的動力學方程及其解——運動方程為說明簡諧振動的基本特征，先看兩個具體的例子。例4-1

水平彈簧振子的運動。彈簧振子：連接在一起的由一個忽略了質量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體組成的系統(tǒng)設x軸的原點與彈簧的平衡位置重合，振子在任意位置時所受合外力為令動力學方程

由牛頓第二定律，得例4-2

單擺小角度擺動小角度擺動，重力矩可以寫成定義正方向：以逆時針為正根據(jù)轉動定理一根質量可以忽略并且不會伸縮的細線長l

，上端固定，下端系一質量為m可看作質點的擺球，就構成一個單擺?？梢钥醋鞫ㄝS轉動的剛體動力學方程

令簡諧振動的定義：

如果質點的動力學方程可以歸結為的形式，且其中的決定于振動系統(tǒng)本身的性質，則該質點的運動稱為簡諧振動。積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定上述二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為：二階常系數(shù)線性齊次微分方程簡諧振動物體的速度：簡諧振動物體的運動方程：圖圖圖簡諧振動物體的加速度：二、描述簡諧振動的特征量1振幅作簡諧振動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值A，稱為振幅。在SI中，振幅的單位:m。

圖2相位與初相位相位：相位初相位初相位：當t=0時，稱為初相位1）存在一一對應的關系;討論：3）初相位

a描述質點初始時刻的運動狀態(tài).即t=0時質點的運動狀態(tài)2）相位在內(nèi)變化時，質點無相同的運動狀態(tài)；相差為整數(shù)

質點運動狀態(tài)全同.（周期性）4）設兩個振動狀態(tài)所對應的相位分別為若，稱振動狀態(tài)1超前于振動狀態(tài)2；若，稱振動狀態(tài)1滯后于振動狀態(tài)2；若，稱振動狀態(tài)1與振動狀態(tài)2同步或同相。初始條件

對給定振動系統(tǒng)，振幅和初相由初始條件決定.常數(shù)A和a

的確定3周期和頻率（1）周期物體作一次完全振動所需的時間稱為周期，用T表示在SI中，周期的單位:s

周期僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質有關。彈簧振子單擺x單位時間內(nèi)物體所作完全振動的次數(shù)，稱為頻率，用表示。(2)頻率(3)圓頻率或角頻率w與頻率n只相差常數(shù)2p倍,稱圓頻率或角頻率.在SI中，頻率的單位:Hz周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質有關，稱固有周期、固有頻率和固有圓頻率。例4-3

原長為0.50m的彈簧上端固定，下端掛一質量為0.1kg的砝碼。當砝碼靜止時，彈簧的長度為0.60m，若將砝碼向上推，使彈簧回到原長，然后放手，則砝碼做上下振動。（1）證明砝碼的運動為簡諧振動；（2）求此簡諧振動的振幅、角頻率和頻率；（3）若從放手時開始計時，求此簡諧振動的振動方程解（1）以振動物體的平衡位置為坐標原點，建立如圖所示的Ox坐標系。設t時刻砝碼位于x處，由牛頓第二定律，得①式中x0為砝碼處于平衡時彈簧的伸長量，有②式代入①式，化簡，得因此，砝碼的運動為簡諧振動。①②(2)砝碼振動的角頻率和頻率分別為設砝碼的諧振動方程由初始條件,t=0時,x=-x0=-0.1m,v=0,則其速度公式為(3)簡諧振動的振動方程為得:A=0.1ma=p三、簡諧振動的幾何描述——旋轉矢量法1.旋轉矢量1）旋轉矢量的模等于簡諧振動的振幅A

2）旋轉矢量繞O點作逆時針方向勻速轉動，其角速度的大小等于簡諧振動的角頻率。3）在t=0時，矢量A和x軸的夾角為a,矢量A的矢端在x軸上的投影點的坐標為矢量A的矢端在x軸上的投影點的坐標為在任意時刻t

，旋轉矢量與x軸的夾角為

以O為原點的旋轉矢量的端點在Ox軸上的

投影點的運動為簡諧運動.2.用旋轉矢量表示簡諧運動的速度和加速度在x軸上的投影3.簡諧振動的旋轉矢量表示法如果畫一個圖表示出作勻速圓周運動的質點的初始徑矢的位置，并標以w，則相應的簡諧運動的三個特征量都表示出來了，因此可以用這樣一個圖表示一個確定的簡諧運動.簡諧運動的這種表示法叫做旋轉矢量法.例4-4

物體沿x軸作諧振動，其振幅為A=10.0cm周期為T=2.0s，t=0時物體的位移為x0=-5cm.且向x軸負方向運動.試求

(1)t=0.5s時物體的位移；(2)何時物體第一次運動到x=5cm處?(3)再經(jīng)過多少時間物體第二次運動到x=5cm處?解由已知條件，該諧振動在t=0時刻的旋轉矢量位置如圖所示.由圖及初始條件可知

由于所以,該物體的振動方程為-5(1)將t=0.5s代入振動方程，得質點的位移為(2)當物體第一次運動到x=5cm處時，旋轉矢量從初始位置轉過的角度為p，如圖所示，所以有(3)當物體第二次運動到x=5cm處時，旋轉矢量又轉過2p/3-55以彈簧振子為例振幅的動力學意義四、簡諧振動的能量動能勢能由于總能量(1)

線性回復力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒.(2)在作簡諧振動的過程中，振動系統(tǒng)的動能和勢能相互轉換，但其總能量為一恒量。結論簡諧運動能量曲線簡諧運動能量守恒，振幅不變簡諧振動能量曲線

4T2T43T能量一、機械波形成的條件波源介質+彈性作用機械波1.機械波產(chǎn)生的條件：1）波源；2）彈性介質.波是運動狀態(tài)的傳播，介質的質點并不隨波傳播.注意機械波：機械振動在彈性介質中的傳播.2.橫波與縱波機械波基本的類型有兩種:一種叫做橫波；另一種叫做縱波。（1）橫波：質點振動方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播）波谷波峰波的傳播方向質點振動方向

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷。（2）縱波：質點振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播）

特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.波密波疏質點振動方向波的傳播方向橫波縱波示意圖二、描述波動的特征量1波長l

：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相位差為2p

的振動質點之間的距離，即一個完整波形的長度.OyAA-2.波的周期T：波前進一個波長的距離所需要的時間。

3.波的頻率

n

：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目。n=1/T4.波速u：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的距離（相速）。注意周期或頻率只決定于波源的振動!波速只決定于媒質的性質！三、波的幾何描述1.波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連成的面(簡稱波面)。2.波前：在任何時刻，波面有無數(shù)多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。3.波射線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向(簡稱波線)*球面波平面波波前波面波線在各向同性介質中，波線是和波面垂直的。一、平面簡諧波的波動方程簡諧波：在波動過程中，當波源簡諧振動時，傳波介質中的各質點也在簡諧振動，且振動的頻率與波源相同.這種波稱為簡諧波.

平面簡諧波：波面為平面的簡諧波。波動方程：介質中任一質點（坐標為x）相對其平衡位置的位移（坐標為

y）隨時間的變化關系，即

y(x,t)

稱為波動方程。各質點相對平衡位置的位移波線上各點的位置設一列沿x軸正向傳播的平面簡諧波波速為u，設坐標原點O和坐標為x的任意一點P各放置一個經(jīng)嚴格校準的、完全相同的鐘,當O點和P點分別開始振動時,各自位置的鐘開始計時

1平面簡諧波的波動方程將x軸上任意一點的振動情況用y=y(x,t)的形式表示當波傳到某點時，某點的鐘開始計時.將點O,P的鐘所計時間分別稱為標準時t和地方時tp.設點O處的質點在某時刻t0的振動狀態(tài)為

此狀態(tài)沿x軸正向傳至點P時，P的狀態(tài)與上式相同，且點P的鐘所計時間為tp=t0，或此時點O的鐘所示時間已變?yōu)閠'當我們統(tǒng)一用標準時表示坐標為x的任一質點P在任一時刻偏離平衡位置的位移y時，就有平面簡諧波的波動方程利用關系式和，得當平面簡諧波沿x軸負向傳播時，點P的振動狀態(tài)(相)將超前于點O，或者說點P的鐘比點O的鐘先走.于是兩鐘的時差變?yōu)閺亩▌臃匠套優(yōu)槔藐P系式和，得2波動方程的物理意義(1)當固定式中的x=x0時，則y僅為時間t的函數(shù).也就是說此時波動方程給出的是坐標為x0的指定質點的振動方程，有

此方程說明了每個質點振動的周期性，即波動的時間周期性.據(jù)此可以作出該質點的y-t振動曲線。兩點的相位差為其初相位差：兩點的波程差為：在同一時刻，距離原點O分別為x1和x2的兩質點的相位分別為：相位差和波程差(2)

當固定式中的t=t0時，則y僅為坐標x的函數(shù).即此時波動方程給出了t0時刻各傳波質點偏離平衡位置位移y的空間分布，即t0時刻的波形，有

uv-例4-5

已知一列平面簡諧波沿x軸正向傳播，波速u=3m·s-1，圓頻率w=p/2Hz，振幅A=5m，依次通過A、B兩點，并有xB-xA=3m.當t=0時，A處的質點位于平衡位置并向振動正方向運動.(1)分別以A、B為坐標原點寫出波動方程；(2)點B在t時刻的狀態(tài)相當于點A何時的狀態(tài)?

解（1）以A為坐標原點時，點A的振動初相為a=-p/2于是波動方程為以B為坐標原點時，B與A的相位差等于其初相差

所以由此可寫出波動方程(2)由于點B在t時刻應與點A在t′時刻的狀態(tài)(相)相同，應有代入數(shù)據(jù)后可解出

即點B在t時刻的狀態(tài)相當于點A在t-1時的狀態(tài).這實際上是點A的振動超前于點B的結果.例4-6

已知一列平面簡諧波沿x軸正向傳播，t=0時刻的波形如圖中的實線所示.求：(1)t=T/4時的波形曲線；(2)坐標x=l/4的質點的振動曲線(T、l分別為波的周期和波長).

解（1）由波動過程的空間周期性，沿著波的傳播方向每個質點在t+Δt時刻都在重現(xiàn)它前面的質點在t時刻的狀態(tài)，因而整個波形應沿傳播方向平移vΔt

的距離.當Δt=T/4時，整個波形應沿傳播方向平移l/4的距離.于是可容易地作出t=T/4時的波形曲線，如圖中的虛線所示.

由圖中的兩條曲線可得到坐標x=l/4的質點在t=0、T/4時的y值，按照這樣的思路，只要平移波形曲線，就可以得到在不同時刻質點更多的y值.于是就可以作出這個質點的振動曲線，如圖所示.

二、波的能量和能流1波的能量

波動在彈性介質內(nèi)傳播時，波所達到的質元要發(fā)生振動，因而有動能，質元還要發(fā)生形變因而有彈性勢能.動能與彈性勢能的總和即為該質元含有的波的能量.

在波線上坐標為x處取一個體積元△V，其質量dm=△V

該體積元的振動速度為xO設平面簡諧波為該體積元△V的動能為

可以證明，因為介質形變，體積元△V的勢能與動能相等

在波的傳播過程中，彈性介質體積元中的動能、勢能和機械能都是時間t的周期性函數(shù)，它們同時最大—平衡位置，同時最?。榱悖畲笪灰铺帯ｓw積元△V的機械能為單位體積的介質中波所具有的能量稱為能量密度。能量密度在一個周期內(nèi)的平均值稱為平均能量密度。

2波的能流單位時間內(nèi)通過介質中某一截面的能量稱為通過該面積的能流，以P表示。能流密度：對能流密度取時間的平均值，稱為平均能流密度，以I表示。又稱波的強度。在SI中，能流密度的單位是瓦每平方米：W·m-2u3波的振幅

在波動過程中，如果各處傳波質點的振動狀況不隨時間改變，并且振動能量也不為介質吸收，那么單位時間內(nèi)通過不同波面的總能量就相等，這是能量守恒定律要求的.

對平面波，可任取兩個面積為S1、S2的波面，相應的強度分別為I1,I2.由于S1＝S2，且根據(jù)能量守恒，在單位時間有所以從而因為S1=S2

對球面波仍有即所以（振幅與半徑成反比）

令有由此可寫出球面簡諧波的波動方程其中號表示波的傳播方向。一、惠更斯原理在波的傳播過程中，波前上的每一點都可看成是發(fā)射子波的波源，在t時刻這些子波源發(fā)出的子波，經(jīng)Δt

時間后形成半徑為uΔt

(u為波速)的球形波面，在波的前進方向上這些子波波面的包跡就是t+Δt

時刻的新波面.這就是惠更斯原理.球面波平面波O障礙物的小孔成為新的波源原波陣面新波陣面S1S2t時刻t+Dt

時刻uDt二、波的反射與折射

反射線與入射線和界面法線位于同一平面內(nèi)，并且入射線與法線的夾角(入射角)等于反射線與法線的夾角(反射角).這就是波的反射定律.1波的反射N界面RN界面IRA用惠更斯原理證明反射定律波的反射定律用惠更斯原理證明反射定律設平面波AB以波速v入射到兩種介質1和2的分界面MN上.在不同時刻，波前的位置分別為AB，CC＂，

DD＂，

EE＂，….由于是在同種介質中傳播，波速不變，因而AA'=BB′，CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B′，….中心在A，C，D，E，…的一組圓柱面的包跡A′B′就是反射波的波前.當振動由點B傳至點B′，由C＂傳至B′,……在點A，C，D，E，…發(fā)出的次波分別通過了由半徑AA′，CC′，DD′，EE′，…所決定的距離.

1）折射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；2）

2波的折射N界面RN界面IRA用惠更斯原理證明折射定律波的折射定律當波在第一種介質中通過距離BB′時，波在同一時間內(nèi)將在另一種介質中通過距離AA′.二者之比應等于波在兩種介質中的波速u1、u2之比，即有用惠更斯原理證明折射定律因為所以三、波的衍射

水波通過狹縫后的衍射波的衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時，傳播方向發(fā)生改變，能繞過障礙物的現(xiàn)象.

波的衍射····a障礙物的小孔成為新的波源一、波的疊加原理

實驗表明，幾列波同時通過同一介質時，它們各自保持自己的頻率、波長、振幅和振動方向等特點不變，彼此互不影響，這稱為波傳播的獨立性.

在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi)，任一質元的位移等于各列波單獨傳播時所引起的該質元的位移的矢量和，這稱為

波的疊加原理.1波傳播的獨立性2波的疊加原理二、波的干涉兩個頻率相同、振動方向相同、相位差恒定或相位相同的波源發(fā)出的兩列波，在它們相遇區(qū)域內(nèi)，某些點處的振動始終加強，而在另一些點處的振動始終減弱，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。1）頻率相同；2）振動方向相同；3）相位相同或相位差恒定。波的相干條件**波源振動P點的兩個分振動P點的合振動為P點的合振動為其中兩個分振動的相位差為由于的值是由波源決定的，且對空間各點此值都相同，故可令其為零，從而有說明1）當時，即合振幅最大，振動最大加強波程差r1-r2=

kl,k=0,1,2,……2）當時，即合振幅最小，振動最大減弱波程差3)其他波程差合振幅最大，振動最大加強1）波程差合振幅最小，振動最大減弱2)波程差r1-r2=

kl,k=0,1,2,……三、駐波

駐波是由頻率、振動方向和振幅都相同，而傳播方向

相反的兩列簡諧波疊加形成的。

駐波是一種特殊的波的干涉現(xiàn)象，它在每時刻都有一定的波形，而這波形是駐定不傳播的，只是各點的位移時大時小。1駐波的物理圖象

各點以相同的ω作簡諧振動。

各點的振幅隨位置而變，但與時間無關

振幅為零的點－波節(jié)

振幅最大的點－波腹

實驗結果：xy波節(jié)波腹2駐波方程

設一列波沿x軸的正方向傳播，另一列波沿x軸的負方向傳播.選取共同的坐標原點和時間零點，它們的波函數(shù)為在兩波相遇處，各質元的合位移應為各質點都在作同頻率的簡諧運動駐波的振幅與位置x有關1波節(jié)和波腹的位置

波節(jié)：靜止

波腹：振幅最大討論

相鄰波腹（節(jié)）間距相鄰波腹和波節(jié)間距xy波節(jié)波腹2.相位——駐波分段振動的特點

相鄰兩波節(jié)之間質點振動同相位，任一波節(jié)兩側振動相位相反，在波節(jié)處產(chǎn)生的相位躍變。（與行波不同，無相位的傳播）。為波節(jié)例相鄰波節(jié)間的各點同相,波節(jié)兩邊的各點振動反相.設某時刻

這說明駐波是以波節(jié)劃分的分段振動，相位不傳播.3.駐波的能量ABC波腹波節(jié)位移最大時平衡位置時全部質元的位移最大時，各質元的速度為零，能量全部為勢能，并要集中在波節(jié)附近；當全部質元都通過平衡位置時，各質元恢復到自然狀態(tài)，且速度最大，能量全部變成動能，并主要集中在波腹附近.駐波相鄰的波節(jié)和波腹之間的λ/4區(qū)域實際上構成一個獨立的振動體系，它與外界不交換能量，能量只在相鄰波節(jié)和波腹之間流動.四、半波損失

在兩種介質的交界處，可以把介質分為波密介質和波疏介質把密度與波速u的乘積u較大的介質稱為波密介質，較小的介質稱為波疏介質。當波從波疏介質垂直入射到波密介質，被反射到波疏介質時形成波節(jié).入射波與反射波在此處的相位時時相反,即反射波在分界處產(chǎn)生p的相位躍變，相當于出現(xiàn)了半個波長的波程差，稱半波損失.

當波垂直入射到兩種介質的交界面是，在兩種介質的分界處形成波節(jié)還是波腹是由介質的密度和波速u

的乘積決定

當波從波密介質垂直入射到波疏介質，被反射到波密介質時形成波腹.入射波與反射波在此處的相位時時相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生相位躍變，沒有半波損失。

駐波的規(guī)律在聲學(包括音樂)、無線電學、光學(包括激光)等學科中都有著重要的應用.往往可以利用駐波測量波長

或系統(tǒng)的振動頻率.一、多普勒效應發(fā)射頻率n：波源性質決定發(fā)射頻率接收頻率接收頻率n’：觀測頻率，觀測波長和觀測波速決定

在波源與觀察者有相對運動時，觀察者接收到的頻率ν′

與波源頻率ν存在差異的現(xiàn)象就稱為多普勒效應.發(fā)射頻率接收頻率二、多普勒效應的定量研究首先討論波源與觀察者在同一直線上運動的情形.設波源、觀察者相對于傳波介質的速度分別為u，v.另外設介質中的波速為V，對機械波而言，V與u、v無關.

（1）波源與觀察者相對于傳波介質靜止(即u=v=0)單位時間內(nèi)觀察者接收的波數(shù)為即觀察者接收到的頻率與波源頻率相同.·VS（2）波源靜止，觀察者相對于傳波介質運動(即u=0，假定v>0)此時因觀察者以速度v迎向波源運動，這相當于波以速度V+v通過觀察者，因此單位時間內(nèi)通過觀察者的波數(shù)為VS·u=0·Rv·觀察者迎向波源運動v>0觀察者背離波源運動v<0觀察者與波相對靜止v=-V（3）觀察者靜止，波源相對于傳波介質運動(即v=0，假定u>0)ABuV波源運動的前方波長縮短BuS··R'lB'l若波源背離觀察者運動，u<0，則觀察者接收到的頻率ν′就會因波長變長而使ν′<ν了.B'l(4)觀察者和波源同時相對于傳波介質運動A若二者彼此靠近觀察者以速度v迎向波源運動，相當于波速變?yōu)閂+v；因此，觀察者所接收到的頻率ν′應為而波源以速度u迎向觀察者運動，相當于波長縮短為B若二者彼此遠離由于機械波是通過介質傳播的，因此觀察者和波源相對于介質運動的速度v和u在公式中的地位是不對稱的.也就是