空間幾何體及棱柱、棱錐的結構特征

1.1空間幾何體第二課時棱柱、棱錐的結構特征

問題提出

1.在平面幾何中，我們認識了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圓，扇形等平面圖形.那么對空間中各種各樣的幾何體，我們如何認識它們的結構特征？

2.對空間中不同形狀、大小的幾何體我們如何理解它們的聯(lián)系和區(qū)別？棱柱、棱錐的結構特征知識探究（一）：空間幾何體的類型

思考1：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果我們只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.你能列舉那些空間幾何體的實例？思考2：觀察圖片，圖片中的物體具有怎樣的形狀？日常生活中這些物體的形狀叫什么？觀察、分析結構特征之要點：①注意它與平面圖形的聯(lián)系；②注意觀察組成幾何體的每個面的特點；③注意觀察面與面之間的聯(lián)系.思考3：圖（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特點？這些幾何體可以統(tǒng)一叫什么名稱？多面體特點：每個面都是平面圖形,并且都是平面多邊形(包括它的內部的平面部分)。思考：一般地，怎樣定義多面體？圍成多面體的各個多邊形，相鄰兩個多邊形的公共邊，以及這些公共邊的公共頂點分別叫什么名稱？面頂點棱由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體

.思考4：圖（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特點？這些幾何體可以統(tǒng)一叫什么名稱？旋轉體特點：組成它們的面不全是平面圖形。思考：一般地，怎樣定義旋轉體？軸

由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體

思考5：如果將這些幾何體進行適當分類，你認為可以分成那幾種類型？圖中的物體大體可分為兩大類：

1、多面體.2、旋轉體

知識探究（二）：棱柱的結構特征

思考1：我們把下面的多面體取名為棱柱，你能說一說棱柱的結構有那些特征嗎？據(jù)此你能給棱柱下一個定義嗎？

1、有兩個面互相平行，2、其余各面都是四邊形，3、每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫做棱柱.思考2：為了研究方便，我們把棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.你能指出上面棱柱的底面、側面、側棱、頂點嗎？側面頂點側棱底面思考3：下列多面體都是棱柱嗎？如何在名稱上區(qū)分這些棱柱？如何用符號表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1

④棱柱的任何兩個平行平面都可以作為棱柱的底面嗎？答：不是．思考4：棱柱上、下兩個底面的形狀大小如何？各側面的形狀如何？兩底面是全等的多邊形,各側面都是平行四邊形,側棱平行且相等思考5：有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱嗎？思考6：一個棱柱至少有幾個側面？一個N棱柱分別有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個頂點？DABCEFF′A′E′D′B′C′思考：傾斜后的幾何體還是棱柱嗎？斜棱柱棱柱的分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形、……我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱1.用平行的兩底面多邊形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E12.用表示一條對角線端點的兩個字母表示，如：棱柱BCDABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1E1ABCAE棱柱的表示法棱柱的分類1、按側棱與底面是否垂直可分為：1）側棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2）側棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3）底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱

柱。棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱四棱柱平行六面體長方體直平行六面體正四棱柱正方體底面是平行四邊形側棱與底面垂直底面是矩形底面為正方形側棱與底面邊長相等補充：幾種四棱柱（六面體）的關系：長方體的性質：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，對角線長為l，則l2=a2+b2+c2思考題：1、側棱不垂直于底面且底面為三角形的棱柱叫做___________;2、側棱垂直于底面且底面為四邊形的棱柱叫做____________;3、側棱垂直于底面且底面為正五邊形的棱柱叫做____________。斜三棱柱直四棱柱正五棱柱1.側棱都相等，側面是平行四邊形；棱柱的性質2.兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；3.過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形1.斜棱柱、直棱柱的底面為任意多邊形。正棱柱的底面為正多邊形。思考題：1、斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、側面各有什么特點？2.斜棱柱的側面為平行四邊形。直棱柱的側面為矩形。正棱柱的各個側面為全等的矩形。思考題：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之間存在怎樣的包含關系？直棱柱正棱柱棱柱斜棱柱例1：下列命題中正確的是（）

A、有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱。

B、有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱。（舉例）

C、有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱。（舉例）

D、有兩個相鄰側面垂直與底面的棱柱是直棱柱。D典型例題知識探究（三）：

棱錐的結構特征

思考1：我們把下面的多面體取名為棱錐，你能說一說棱錐的結構有那些特征嗎？據(jù)此你能給棱錐下一個定義嗎？1、有一個面是多邊形，2、其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的多面體叫做棱錐.思考：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的立體圖形一定是棱錐嗎？思考2：參照棱柱的說法，棱錐的底面、側面、側棱、頂點分別是什么含義？側面頂點側棱底面

多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各三角形面叫做棱錐的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱，各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.棱錐的側面棱錐的頂點棱錐的側棱棱錐的高SABCDEO2．相關概念：（1）棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側面，如側面SAB、SAE等；棱錐的底面（2）各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點，如頂點S、A、B、C

等；（3）相鄰兩側面的公共邊叫做棱錐的側棱，如側棱SA、SB等；（4）棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面，如底面ABC、ABCDE等；（5）如果棱錐的底面水平放置，則頂點與過頂點的鉛垂線與底面的交點之間的線段或距離，叫做棱錐的高，如SO.

3.如何理解棱錐？（1）棱錐是多面體中的重要一種，它有兩個本質的特征：①有一個面是多邊形；②其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。（2）棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，是棱錐?4．棱錐的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等，其中三棱錐又叫四面體!三棱錐四棱錐五棱錐（四面體）（2）正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且水平放置，它的頂點又在過正多邊形中心的鉛垂線上，則這個棱錐叫做正棱錐OSABCDE5．正棱錐的性質：（1）正棱錐的各側面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高6．棱錐的表示：（1）用頂點和底面各頂點的字母表示棱錐：如三棱錐P－ABC，四棱錐S－ABCD.（2）用對角面表示：如四棱錐可以用P－AC表示.思考3：下列多面體都是棱錐嗎？如何在名稱上區(qū)分這些棱錐？如何用符號表示？ABCSSABCDSABCEFD思考4：一個棱錐至少有幾個面？一個N棱錐有分別有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個頂點？

至少有4個面；1個底面，N個側面，N條側棱，1個頂點.思考5：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面的形狀關系如何？相似多邊形理論遷移

例1如圖，截面BCEF將長方體分割成兩部分，這兩部分是否為棱柱？ABCDA1B1C1D1EF

例2一個三棱柱可以分割成幾個三棱錐？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1棱臺及相關概念1．定義：棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面間的部分叫做棱臺.下底面上底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧唔旤cABCDA’B’C’D’o兩底面平行側棱的延長線相交于同一點棱臺的特征3．棱臺的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺等；（2）正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。正棱錐正四棱臺4．正棱臺的性質：（1）各側棱相等；（2）正棱臺的各側面都是全等的等腰梯形；（3）正棱臺的斜高相等。2．相關概念：（1）棱臺的下底面、上底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；（2）棱臺的側面：棱臺中除上、下底面以外的面叫做棱臺的側面；（3）棱臺的側棱：相鄰兩側面的公共邊叫做棱臺的側棱；（4）棱臺的高：當棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段或距離叫做棱臺的高。5．棱臺的表示：棱臺可用表示上、下底面的字母來命名，如可以記作棱臺ABCD－A’B’C’D’，或記作棱臺AC’.判斷下列圖形是否為棱柱、棱錐、棱臺

練習1（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2.右圖中的幾何體是不是棱臺?為什么?棱柱棱錐棱臺結構特征①側棱都相等②側面是平行四邊形③兩個底面互相平行全等

④過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形①有一個面是多邊形

②其余各面是有一個公共頂點的三角形③側棱相交于一點但不一定相等

①各側棱延長后相交于一點②兩底面是平行的相似多邊形棱柱、棱錐、棱臺之間的關系棱錐是當棱柱的一個底面收縮為一個點時形成的空間圖形，棱臺則可以看成是用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形，要注意的是棱臺的各條側棱延長后，將會交于一點，即棱臺可以還原成棱錐.例1.有四個命題：①各側面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側面可能都是直角三角形；④四棱錐的四個側面中可能四個都是直角三角形。其中正確的命題有

.③④解：設VO為正四棱錐V－ABCD的高，作OM⊥BC于點M，則M為BC中點，連接OM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB.例2.已知正四棱錐V－ABCD，底面面積為16，一條側棱長為2，計算它的高和斜高。因為底面正方形ABCD的面積是16，所以BC=4，MB=OM=2，又因為VB=,在Rt△VOB中,由勾股定理得

在Rt△VOM中，由勾股定理得即正四棱錐的高為6，斜高為練習題：1．能保證棱錐是正棱錐的一個條件是(

)（A）底面為正多邊形（B）各側棱都相等（C）各側面與底面都是全等的正三角形（D）各側面都是等腰三角形C2．若正棱錐的底面邊長與側棱長相等，則該棱錐一定不是（

）（A）三棱錐（B）四棱錐（C）五棱錐（D）六棱錐D3．過正方體三個頂點的截面截得一個正三棱錐，若正方體棱長為a，則截得的正三棱錐的高為