離散數(shù)學(xué)(3.5關(guān)系及其表示)

2023/2/51離散數(shù)學(xué)(DiscreteMathematics)第三章集合與關(guān)系（SetsandRelations)

3.6關(guān)系的閉包運(yùn)算(ClosureOperations)3.7集合的劃分與覆蓋(Partition&CoverofSets)3.8等價(jià)關(guān)系(EquivalentRelations)3.9相容關(guān)系(Compatibility

Relations)3.10序關(guān)系(OrderedRelations)3.1集合及其運(yùn)算(Sets&Operationswithsets)

3.2序偶與笛卡爾積(OrderedPairs&CartesianProduct)3.3關(guān)系

(Relations)3.4關(guān)系的性質(zhì)(ThePropetiesofRelations)3.5復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系(CompoundRelations&InverseRelations)3.3關(guān)系(Relations)3.3.1

關(guān)系的定義(ThedefinitionofRelation)3.3.2幾種特殊的關(guān)系(SeveralspecialRelations)

3.3.3關(guān)系的表示(TheexpressionofRelations)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)3.3.1

關(guān)系的定義(ThedefinitionofRelation)定義3.3.1

笛卡爾積的任意一個(gè)子集R稱為是由A到B的一個(gè)二元關(guān)系，R中任意序偶

,可記作或.不在R中任意序偶,可記作或.當(dāng)A=B時(shí)，稱R是集合A上的二元關(guān)系。例1

設(shè)A={a,b}，B={2,5,8}則令因?yàn)?，，。所以?和均是由A到B的關(guān)系。例2>=例3Q=例4第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)例5

設(shè)。

由到的關(guān)系定義為：當(dāng)且僅當(dāng)a整除b時(shí)，

有。AB

定義3.3.2

設(shè)是由A到B的一個(gè)關(guān)系，的定義域或前域記作dom，的值域記作ran，分別定義為：顯然有

于是

的定義域，值域.3.3.2幾種特殊的關(guān)系(SeveralspecialRelations)

空關(guān)系對(duì)任意集合.

所以是由A到B的關(guān)系，也是A上的關(guān)系，稱為空關(guān)系。

全域關(guān)系因?yàn)?,所以是一個(gè)由到

的關(guān)系,稱為由到

的全域關(guān)系。是

上的一個(gè)關(guān)系,稱為上的全域關(guān)系。常將記作

是上的恒等關(guān)系。

恒等關(guān)系定義集合上的恒等關(guān)系例6

設(shè)則是上的全域關(guān)系。3.3.3關(guān)系的表示(TheexpressionofRelations)第三章集合與關(guān)系(Sets&Relations)1.集合表示法用表示集合的列舉法或描述法來(lái)表示關(guān)系。

例7

設(shè)A={2,3,4,8},B={1,5,7},用描述法定義由A到B的關(guān)系，試用列舉法將表示出來(lái)。解

例8

有王、張、李、何是某校的老師，該校有三門課程：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)，已知王可以教語(yǔ)文和數(shù)學(xué)，張可以教語(yǔ)文和英語(yǔ)，李可以教數(shù)學(xué)，何可以教英語(yǔ)，若記A={王，張，李，何}，B={語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)}。那么這些老師與課程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以用由A到B的一個(gè)關(guān)系中的序偶來(lái)表示。

={〈王,語(yǔ)文〉,〈王,數(shù)學(xué)〉,〈張,語(yǔ)文〉,〈張,英語(yǔ)〉,〈李,數(shù)學(xué)〉,〈何,英語(yǔ)〉}2.矩陣表示法

例7中由A到B的關(guān)系可以用一個(gè)的矩陣來(lái)表示。

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定義3.3.3

設(shè)A、B都是有限集，,

，由A到B的關(guān)系可以用一個(gè)的矩陣來(lái)表示，的第i行第j列的元素取值如下：矩陣稱為的關(guān)系矩陣。1234例9

設(shè)，A上的關(guān)系

解

則可以用一個(gè)的矩陣來(lái)表示。3.關(guān)系圖表示法關(guān)系圖由結(jié)點(diǎn)和邊組成例如

例7中的，,則ρ的關(guān)系圖如下AB例如

例9