五邑大學,近代物理,物理數(shù)學,identical

全同粒子系全同粒子系2/5/2023115交換對稱性在微觀世界中，一個重要的守恒量是全同粒子的交換。在自然界中存在許多種類的粒子，同一類粒子的每一個粒子有相同的內(nèi)部屬性。具有相同內(nèi)部屬性的粒子被稱為全同粒子。由同類粒子組成的多粒子系統(tǒng)叫做全同粒子系。當全同粒子系中任意兩個粒子交換時，任何可觀測量都不會改變。這種特性被稱為交換對稱性。最簡單的全同粒子系是由兩個不帶電的自由粒子組成的系統(tǒng)：如果這兩個粒子帶電，則要加上它們之間的電相互作用：顯然，兩個粒子交換位置不會改變系統(tǒng)的哈密頓量。2/5/2023215波函數(shù)的對稱性稍微復雜一點的是氦原子中的兩個電子：兩個電子交換位置也不會改變系統(tǒng)的哈密頓量。一般情況下，在全同粒子系中交換任意兩個粒子的算符與哈密頓算符對易。此外，不顯含時間。這顯示所有都是守恒量。既然交換任意兩個粒子不引起觀測結(jié)果的改變，交換前后系統(tǒng)必定處于相同的量子態(tài)：具有上述特性的波函數(shù)分別叫做對稱或反對稱波函數(shù)。2/5/2023315粒子交換算符的共同本征態(tài)對于一個任意系統(tǒng)，并不是所有都彼此對易：一般情況下，這意味著系統(tǒng)的波函數(shù)不一定是所有的共同本征函數(shù)。但是，對于全同粒子系，由于每一個粒子都是全同的，因此，所有應該是平等的。于是，唯一可能的選擇就是：系統(tǒng)的量子態(tài)必須是所有的共同本征態(tài)：即對稱或反對稱波函數(shù)。由此可見，全同粒子系的交換對稱性紿波函數(shù)很強的限制：系統(tǒng)的波函數(shù)要么是對稱的，要么是反對稱的。由于所有粒子對的交換算符都是守恒量，因此，波函數(shù)的交換對稱性不隨時間改變。2/5/2023415玻色子與費米子如果全同粒子系的波函數(shù)是對稱的，其成員粒子就被稱為玻色子，反之則被稱為費米子。在統(tǒng)計方法上，玻色子遵守玻色統(tǒng)計，費米子遵守費米統(tǒng)計。這是統(tǒng)計物理學的一個重要內(nèi)容。實驗顯示，全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的內(nèi)部特性自旋有關(guān)。自旋是一種類似于自轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是除了質(zhì)量和電荷外，用來標記微觀粒子的重要物理量。微觀粒子的自旋的取值總是的整數(shù)倍。凡是自旋等于的偶數(shù)倍的粒子，波函數(shù)對任意兩個粒子的交換總是對稱的，是玻色子。凡是自旋等于的奇數(shù)倍的粒子，波函數(shù)對任意兩個粒子的交換總是反對稱的，是費米子。2/5/2023515交換簡并如何構(gòu)造滿足對稱或反對稱要求的波函數(shù)，是多粒子系統(tǒng)理論的首要問題。先考慮由兩個全同粒子組成的系統(tǒng)。忽略粒子之間的相互作用，系統(tǒng)的哈密頓量：薛定諤方程：分離變量：相乘的兩個函數(shù)形式相同結(jié)果得到了兩個一模一樣的方程，是同一個單粒子方程用到兩個粒子上去的結(jié)果：求解方程將得到單粒子波函數(shù)及其本征值：由此得到系統(tǒng)的波函數(shù)：這兩個態(tài)都對應于同一個能量本征值：這種與交換粒子相聯(lián)系的簡并叫做交換簡并。2/5/2023615對稱與反對稱波函數(shù)如果要求波函數(shù)對于交換是對稱的，如果要求波函數(shù)是反對稱的，不允許有兩個全同費米子處于相同的量子態(tài)。泡利不相容原理2/5/2023715泡利不相容原理在量子力學發(fā)展初期，泡利在早期量子論的框架下首先提出不相容假說。后來，海森伯、費米和狄拉克用波函數(shù)的反對稱性說明了這條自然法則。泡利不相容原理是理解原子內(nèi)部電子的排布方式和元素周期表的理論基礎(chǔ)。元素周期表是門捷列夫于1869年提出來的。1921年，玻爾首次從物理學的角度指出，元素性質(zhì)呈現(xiàn)的周期性可以用原子內(nèi)電子的軌道排布來解釋。1925年，泡利提出不相容原理后，人們更深刻地認識到，元素的物理化學性質(zhì)呈現(xiàn)的周期性來源于核外電子組態(tài)的周期性變化，是電子排布具有殼層結(jié)構(gòu)的反映。由多個全同粒子組成的系統(tǒng)，原則上也可用單粒子波函數(shù)做類似的排列組合構(gòu)造。但這將是一件繁瑣的工作。2/5/2023815不考慮交換對稱時的波函數(shù)考慮兩個全同自由粒子，它們都處于動量本征態(tài)，本征值為當波函數(shù)具有不同的對稱性時，兩個粒子的相對距離的概率分布具有不同的特點。如果不考慮交換對稱性：質(zhì)心運動相對運動2/5/2023915不考慮交換對稱時的相對運動不考慮交換對稱性時相對運動的波函數(shù)：在一個粒子附近半徑為的球殼層中找到另一個粒子的概率假定兩個粒子的相對距離取r

的概率分布為P(r)，則這個概率就應該等于于是得到兩個粒子的相對距離的概率分布它的意義是，在一個粒子附近半徑為r

的球面上的單位面積中，找到另一個粒子的概率(密度)。當不考慮交換對稱性時，兩個粒子的相對距離取任意值的概率密度是一個常數(shù)。2/5/20231015交換反對稱的波函數(shù)對交換為反對稱的波函數(shù)：由此得到對兩個粒子交換為反對稱的相對運動波函數(shù)：2/5/20231115交換反對稱時的相對運動當波函數(shù)滿足交換反對稱時：發(fā)現(xiàn)粒子的相對距離為的概率相對距離的概率分布兩個全同費米子相互靠攏的概率趨于零。2/5/20231215交換對稱的波函數(shù)如果波函數(shù)對交換是對稱的：由此得到對兩個粒子交換為對稱的相對運動波函數(shù)：2/5/20231315交換對稱時的相對運動當波函數(shù)對交換為對稱時：發(fā)現(xiàn)粒子的相對距離為的概率相對距離的概率分布兩個全同玻色子相互靠攏的概率最大。2/5/20231415三種對稱情