青海大學-化工應用數學-第五章-偏微分方程和特殊函數1

第五章偏微分方程和特殊函數.5.1引言5．2偏微分方程的分類5．3典型方程的建立5．4定解條件和定解問題5．5線性迭加原理5．6分離變量法5．7非齊次邊界條件的處理5.1引言5.1.1偏微分方程的定義5.1.1.1方程定義：描述物理量在時、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數的偏導數，則稱之為偏微分方程。5.1.1.2方程的規(guī)定：（1）方程中出現的偏導數的最高階數稱為方程的階數。（2）若方程中沒有未知函數及其偏導數的乘積或冪等非線性項稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對未知函數的所有最高階偏導是線性的——擬線性的。（3）不含未知函數及其偏導數的項稱之為自由項。自由項為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。例如：5.1.2偏微分方程的定解問題5.1.2.1n階線性常微分方程對于n階線性常微分方程其中線性無關；

——任意常數當存在n個邊界條件可以來確定系數：→特解的求解過程。5.1.2.2偏微分方程在偏微分方程中特解是具有特定形式的任意函數。如方程：的通解是,特解：

而滿足二維拉普拉斯方程滿足一維熱傳導方程

由此可以得出兩點結論：①偏微分方程的通解包含有任意函數，因此解偏微分方程，一般都不是先解通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。

確定地描述某個系統(tǒng)的運動過程，除了反映運動一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據實際問題的模型提出定解條件。泛定方程加定解條件構成一個確定的物理過程的“定解問題”，由此求得特定的解。定解條件包括初始條件（當方程含有時間變量時）和邊界條件（關于空間變量的約束條件）。5.1.2.3偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法包括貝塞爾函數、勒讓德多項式（球柱坐標）；②拉普拉斯變換法等。（2）數值解：尤拉法、龍格－庫塔法等。5.2二階偏微分方程分類.限兩個自變量的二階線性方程，未知函數u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(7-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0

（7-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數當A，B，C，D，E，G是常數時，式（7－5）是二階常系數線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數是自由項。由參數A，B，C判斷二階線性方程的分類設M=M（x，y）為自變量域內的某一點，若在該點處有：（１）B2－AC＞0，則方程在該點處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（7－6）（２）B2－AC＝0，則方程在該點處為拋物線型，如：

ut－uxx＝0

（7－7）（３）B2－AC＜0，則方程在該點處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（7－8）方程的類型在域內不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲線型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在兩數軸拋物線型三類方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程5.3典型方程的建立.

例題[例]半無限介質中線性熱傳導方程（本無界桿的熱傳導方程），端點溫度恒定為T1，初始時刻溫度均為T0，求溫度分布解：定解問題首先確定對哪個變量做拉氏變換，就本例題而言，對x與t都可進行拉氏變換，但由于缺少u

'(0,t)，故選t作L變設即對方程（1）兩端作拉氏變換，有（1）變換為對（3）的邊界條件做拉氏變換（4）是關于x的二階線性常微分方程方程的通解為因為，B＝0；因為，所以代入（6）得做逆變換誤差函數

余誤差函數用拉氏變換解偏微分方程的要點是：（1）首先確定對哪個自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據拉氏變換的微分性質該變量必需具備上式有關的初值條件。如若有兩個自變量都滿足要求，那應取決于對哪個自變量求解過程最簡單為準。（2）除對方程作拉氏變換外，還要對凡在方程變化中沒有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。（3）最后得到定解問題的解的關鍵是對新方程之解作拉氏逆變換。當象函數較復雜時，運用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時，就只能運用拉氏變換的反演公式，通常用復變函數的圍道積分法求解。5．4定解條件和定解問題.

上節(jié)建立的數學物理方程是具有某類共性的物理現象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個泛定方程可以有多個不同函數的解。因此對實際的物理現象特性的討論還需對其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結合泛定方程，便可確定定解問題的特解。5.4.1初始條件（初值條件）對于隨著時間而發(fā)生變化的問題，必須考慮研究對象的初始時刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導數的只需要一個初始條件，u的初始分布。（5-37）泛定方程中含有t的二階偏導數的則需要兩個初始條件，初始分布和初始速度。

(5-38)初始條件給出了整個系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過程因與t無關，則不存在初始條件5.4.2邊界條件（1）第一邊界條件——已知函數直接給出在邊界上的值（s——Γ上的動點）（7-39）如弦振動，長為的弦兩端固定，則邊界條件為，（7-40）又高h，半徑r0的圓柱體的穩(wěn)態(tài)導熱問題

(7-41)第一邊界條件稱為Dirichlet（狄利克利）條件，問題稱為Dirichlet問題。（2）第二類邊界條件——已知導數一維熱傳導（桿的導熱），設桿的一端x＝a絕熱，則由外到內經過桿端的熱量流速為零因K，S是常數，故（7-42）對于二維、三維應以邊界的外法向導數表述

(7-43)第二類邊界條件稱為Noumann（牛曼）條件，問題稱為Noumann問題。（3）第三類邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數值與其法向導數構成的線性關系。如一維導熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質溫度為u0

，則——桿端散發(fā)出的熱流效率與端點溫度與介質溫度之差成正比?？筛膶懀?-44）對于長為的桿兩端自由冷卻（7-45）第三類邊界條件的一般形式（7-46）5.5線性迭加原理.

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

所謂線性疊加就是幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產生的效果等于各因素獨立作用產生的效果的總和。迭加原理：設函數是齊次線性偏微分方程的特解，若級數可逐項求偏微分，則該級數也是齊次線性偏微分方程的解。5．6分離變量法.對于多個自變量的偏微分方程定解問題的求解，在可能的情況下，我們總設法使自變量的個數減少。分離變量法就是基于這種想法產生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問題化為求解常微分方程的固有值問題，再利用定解條件及有關數學方法，求得定解問題的解。分離變量法對定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問題。我們主要是通過各種例題來介紹分離變量法的具體應用。[例]有界弦的自由振動解：弦長為兩端張緊固定且無外力作用的弦振動問題，可用下述定解問題表述

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問題。（1）分離變量設其解函數可以表示為兩個單自變量函數的乘積。令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函數，T(t)——t的函數代入（7-52）得分離變量改寫為不妨令其等于常數λ得到兩個常微分方程（7-56）（7-57）由邊界條件（7-53）

（7-58）（2）求本征值（固有值）λ(i)設λ>0，則（5-56）的通解為代入條件（5-58）

解得A=-B=0，即X(x)≡0，不合題意舍去。（u≡0）(ii)設λ＝0得，

由條件（5-58）得A=B=0，X(x)≡0，不合題意舍去。（iii）設λ<0，不妨令λ=-β2

，式（5－56）的通解為

由條件（7-58）

因為β≠0

，所以

λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函數，常寫成不帶系數的形式：

（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解問題的一組特解un(x,t)對，有通解為（5-61）(5-60)×(5-61)得一組特解（5-62）（4）由傅立葉級數確定系數Cn,Dn，求由解的迭加原理（5-63）代入初始條件（5-55）、（5-56）

式（5－64）和式（5－65）分別是φ(x),ψ(x)

的傅立葉正弦級數的展開式，而φ(x),ψ(x)是由初始條件給出的定義在[0，l]上的連續(xù)函數（或只有有限個第一類間斷點，且至多有有限個極值點），所以只要選取即代入（5-63）即得定解問題的完整特解。[例]

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問題。解:u(x,t)是其一個解函數假設函數可以表示為各個自變量單元函數的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數，T(t)-t的函數代入原方程中：將邊界條件代入：運用疊加原理運用正交函數：兩邊同乘以，并從積分。(為需要求的待定系數)運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從積分。運用正交函數：兩邊同乘以，并從∴∴u(x?t)=總結：①通過假設，將變量分離②確定待定系數（通過已知條件）③利用疊加原理得到解函數

得到F(詳見P223頁)【習題】用分離變量法解下列振動問題初始條件：（2）兩端固定，解：（2）的定解問題為：1°分離變量令u=X?T，代入方程（1）得（λ為常量）（4）（5）由邊界條件（2）得2°求固有值λ①當λ>0時，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；②當λ=0時，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；③當λ<0時，令λ=β2

，方程（6）的通解為由邊界條件（7）得3°求將代入方程（5）得通解為4°確定系數Cn,Dn

，求u(x,t)由解的疊加原理由初始條件（3）【例（補充）】有限桿的熱傳導長為l的均勻細桿放置x軸上，其側面及兩端面絕熱，桿內無熱源且桿內初始溫度分布為φ(x)。定解問題：解：（1）分離變量令代入方程式（1）得（2）求λ（i）設λ>0，通解為代入邊界條件得：

即X(x)≡0，不合題意。（ii）λ=0，通解為代入邊界條件得所以（iii）設λ<0,取，通解

代入邊界條件得：所以固有值固有函數（3）求（i）當λ0＝0時

化為得解

（ii）當（4）確定cn及u(x,t)，由疊加原理代入初始條件代入u(x,t)的表達式即得定解問題的解。5.7非齊次邊界條件的處理.

前面分離變量涉及的定解條件是齊次邊界條件，對非齊次邊界條件則要進行齊次化的處理。以一維熱傳導定解問題為例介紹非齊次邊界條件的處理方法——邊界條件齊次化。一維熱傳導定解問題：作代換：（7-98）選取適當的W(x,t)，使V(x,t)滿足齊次邊界條件（7-99）則W(x,t)的形式力求簡單，達到V(x,t)邊界條件齊次化的目的即可，不妨設W(x,t)為x的