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文檔簡介

直接證明與間接證明一、基礎(chǔ)知識1.直接證明(1)綜合法①定義:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.綜合法證明題的一般規(guī)律(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知 (從題設(shè)到結(jié)論 )的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷 (命題)出發(fā),經(jīng)過一系列中間推理,最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性.(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.②框圖表示: P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→?―→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等, Q表示所要證明的結(jié)論 ).③思維過程:由因?qū)Ч?2)分析法①定義:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件 (已知條件、定理、定義、公理等 )為止,這種證明方法叫做分析法.分析法證明問題的適用范圍當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、 直接,或證明過程中所需用的知識不太明確、 具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,??紤]用分析法.②框圖表示:Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→?―→得到一個明顯(其中Q表示要證成立的條件明的結(jié)論).③思維過程:執(zhí)果索因.2.間接證明反證法:一般地,假設(shè)原命題不成立 (即在原命題的條件下,結(jié)論不成立 ),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立的證明方法.考點一綜合法的應(yīng)用[典例]設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:(1)ab+bc+ca≤1;3222a+b+c≥1.(2)bca[證明](1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.當且僅當“a=b=c”時等號成立;222a+b≥2a,b+c≥2b,c+a≥2c,(2)因為bca當且僅當“a2=b2=c2”時等號成立,故a2+b2+c2+(a+b+c)≥2(a+b+c),bca即a2+b2+c2≥a+b+c.bca所以a2+b2+c2≥1.bca[變透練清]1.變結(jié)論若本例條件不變,證明2221a+b+c≥.3證明:因為a+b+c=1,2 2 2 2所以1=(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac,所以2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),所以2222221≤a+b+c+2(a+b+c),2221即a+b+c≥.32.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;2π(2)若C=3,求證:5a=3b.證明:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因為sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有 a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列.2π(2)由C=3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以5a=3b.考點二 分析法的應(yīng)用[典例] 已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c.求證:1+1=3.a+bb+ca+b+c[證明]1+1=3,要證a+bb+ca+b+c即證a+b+c+a+b+c=3,也就是c+a=1,a+bb+ca+bb+c只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又△ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.[解題技法] 利用分析法證明問題的思路及格式(1)分析法的證明思路先從結(jié)論入手,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證.(2)分析法的格式通常采用“要證(欲證)??”“只需證??”“即證??”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性.[對點訓(xùn)練]已知m>0,a,b∈R,求證:a+mb2a2+mb2≤1+m.1+m證明:因為m>0,所以1+m>0.所以要證a+mb2≤a2+mb21+m,1+m只需證m(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,2故a+mb2≤a+mb.1+m1+m考點三反證法的應(yīng)用[典例]已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)0,且0<x<c時,f(x)>0.1(1)證明:a是函數(shù)f(x)的一個零點;1(2)試用反證法證明 a>c.[證明](1)因為f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點,所以f(x)=0有兩個不等實根x1,x2,因為f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=c,a11所以x2=aa≠c,1所以是函數(shù)f(x)的一個零點.1(2)因為函數(shù)有兩個不同零點,所以 a≠c.假設(shè)1<c,又1>0,a由0<x<c時,f(x)>0,知f1>0,與f1=0矛盾,a a1所以<c不成立,又因為1≠c,所以1>c.aa[對點訓(xùn)練]1設(shè)a>0,b>0,且a+b=a+b.證明:(1)a+b≥2;22+b<2不可能同時成立.(2)a+a<2與b1 1 a+b證明:由a+b=+= ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2.2 2(2)假設(shè)a+a<2與b+b<2同時成立,同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.[課時跟蹤檢測 ]A級1.用反證法證明命題“設(shè) a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實數(shù)根”時,假設(shè)為

(

)A.方程x3+ax+b=0沒有實數(shù)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實數(shù)根33解析:選A “至少有一個實數(shù)根 ”的否定是“一個實數(shù)根也沒有根”.2.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,則△ABC一定是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定

”,即“沒有實數(shù)解析:選C 由sinAsinC<cosAcosC,得cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是銳角,π從而B>2,故△ABC必是鈍角三角形.3.分析法又稱執(zhí)果索因法,已知x>0,用分析法證明1+x<1+x時,索的因是()2A.x2>2B.x2>422C.x>0D.x>1解析:選C因為x>0,所以要證 1+x<1+x2,1+x2只需證(1+x)2<2,即證0<x,24即證x2>0,因為x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”索的因應(yīng)是()A.a(chǎn)-b>0B.a(chǎn)-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0解析:選C由題意知b2-ac<3a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.選C.5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值()A.恒為負值B.恒等于零C.恒為正值D.無法確定正負解析:選A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0.6.(2019·太原模擬)用反證法證明“若 x2-1=0,則 x=-1或x=1”時,應(yīng)假設(shè)____________________.解析:“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.答案:x≠-1且x≠17.設(shè)a>b>0,m= a- b,n= a-b,則m,n的大小關(guān)系是________.解析:(分析法) a- b< a-b? a< b+ a-b?a<b+2 b·a-b+a-b?b·a-b>0,顯然成立.答案:m<n8.若二次函數(shù)22在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一點c,使f(c)f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+10,則實數(shù)p的取值范圍是________.解析:(補集法)f-1=-22p+p+1≤0,解得p≤-3或p≥3,令2f1=-2p-3p+9≤0,23故滿足條件的p的取值范圍為-3,2.答案:-3,329.已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:1-11-11-1>8.xyz證明:因為x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,所以1-1=1-x=y(tǒng)+z2yz,xxx>x1-yx+z2xzy-1=y(tǒng)=y(tǒng)>y,1-zx+y2xyz-1=z=z>z,又x,y,z為正數(shù),由① ×②×③,

①②③得1x-1 1y-11z-1>8.23n-n *10.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn= ,n∈N.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)證明:對任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.3n2-n解:(1)由Sn= ,得a1=S1=1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-2,當n=1時也適合.所以數(shù)列{an}的通項公式為 an=3n-2.(2)證明:要使得 a1,an,am成等比數(shù)列,只需要a2n=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此時m∈N*,且m>n.所以對任意的 n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.B級1.如圖所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點 C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.證明:(1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.因為AD⊥DE,CC1∩DE=E,CC1?平面BCC1B1,DE?平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點,所以 A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1,A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因為CC1∩B1C1=C1,CC1?平面BCC1B1,B1C1?平面BCC1B1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.12.設(shè)函數(shù) f(x)定義在(0,+∞)上,f(1)=0,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;1(2)討論g(x)與gx的大小關(guān)系;1(3)是否存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<x對任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.1解:(1)由題設(shè)易知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+,x-1∴g′(x)= x2,令g′(x)=0得x=1,當x∈(0,1)時,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,因此,x=1是g(x)的唯一極值點,且為極小值點,從而是最小值點,所以最小值為g(1)=1.1(2)gx=-lnx+x,設(shè)h(x)=g(x)-g1=2lnx-x+1,x xx-12則h

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