知識講解-數(shù)列的概念與簡單表示法-基礎(chǔ)

數(shù)列的概念與簡單表示法編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握數(shù)列的概念與簡單表示方法，能處理簡單的數(shù)列問題.2.掌握數(shù)列及通項公式的概念，理解數(shù)列的表示方法與函數(shù)表示方法之間的關(guān)系.3.了解數(shù)列的通項公式的意義并能根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.理解數(shù)列的順序性、感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)列之間的變量依賴關(guān)系.【學(xué)習(xí)策略】數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊的離散函數(shù)，因此，學(xué)習(xí)數(shù)列，可類比函數(shù)來理解。關(guān)于數(shù)列的一些問題也常通過函數(shù)的相關(guān)知識和方法來解決 .【要點梳理】要點一、數(shù)列的概念數(shù)列概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 .要點詮釋：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn) .數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項 .各項依次叫做這個數(shù)列的第 1項，第2項，?；排在第 n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 n項.其中數(shù)列的第 1項也叫作首項 .要點詮釋：數(shù)列的項與項數(shù)是兩個不同的概念。數(shù)列的項是指數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號.類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項也有相應(yīng)的三個性質(zhì)：1）確定性：一個數(shù)是否數(shù)列中的項是確定的；2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)；3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的.數(shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫成： a1,a2,a3, ,an, ，或簡記為{an}.其中an是數(shù)列的第 n項.要點詮釋：{an}與an的含義完全不同， {an}表示一個數(shù)列， an表示數(shù)列的第 n項.要點二、數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，?是無窮數(shù)列根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.要點三、數(shù)列的通項公式與前n項和數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式anf(n)來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式 .如數(shù)列：0,1,2,3,...的通項公式為ann1（nN*）；1,1,1,1,...的通項公式為an1（nN*）；1,1,1,1,...的通項公式為an1（nN*）；234n要點詮釋：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的。如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，?它的通項公式可以是an1(1)n1，也可以是an|cosn1|.22⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項.（4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第n項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．?dāng)?shù)列{an}的前n項和數(shù)列{an}的前n項和：指數(shù)列{an}的前n項逐個相加之和，通常用Sn表示，即Sna1a2...an；an與Sn的關(guān)系當(dāng)n1時aS；11當(dāng)n2時，an(a1a2...an1an)(a1a2...an1)SnSn1故anS1,n1.SnSn1,n2且nN*要點四、數(shù)列的表示方法通項公式法（解析式法） ：數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項。列表法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用a1表示第一項，用a2表示第二項，??，用an表示第n項，??，依次寫出得數(shù)列{an}．12?n?a1??a2an圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法：以項數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在 y軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列

an

的第

1項（或前幾項），且任一項

an與它的前一項

an1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如：數(shù)列：-3，1，5，9，13，?，可用遞推公式：a13,anan14(n2)表示。數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，?，可用遞推公式：a13,a25,anan1an2(n3)表示。要點五、數(shù)列與函數(shù)（1）數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集{1,2,3,...,n}）為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)yf(x),如果f(i)（i1,2,3,...,n,...）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列 f(1)，f(2)，f(3)，?，f(n)，?；2）數(shù)列的通項公式實際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項。（3）數(shù)列的圖象是落在 y軸右側(cè)的一群孤立的點數(shù)列

an

f(n)的圖象是以項數(shù)

n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項

an為縱坐標(biāo)的一系列孤立的點

(n,an)，這些點都落在函數(shù)

y

f(x)的圖象上。因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在

y軸的右側(cè)，從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式

.【典型例題】類型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式例1．寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，使其前四項分別是

:(1)0,

3,

8,

15

,?；2 3

4(2)1,

3,

5,

7

,?；4 9

16(3)9,99,999,9999,(4)6,1,6,1, ?.

?；【解析】（1）將數(shù)列改寫為121，221，321，421，?，1234故ann21.n（2）此數(shù)列奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，可用(1)n1來表示；其絕對值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，故an(1)n12n1.n2（3）將數(shù)列改寫為1011,1021,1031,1041，?，故an10n1.（4）將數(shù)列每一項減去6與1的平均值7得新數(shù)列5,-5,5,-5,?，22222故an7(1)n15或an75cos(n1).2222【總結(jié)升華】寫通項時注意以下常用思路：①若數(shù)列中的項均為分數(shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時分數(shù)是約分后的結(jié)果，要根據(jù)觀察還原分數(shù)；②注意(－1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項正、負交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項出現(xiàn)倒數(shù)；③（4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個周期為2的函數(shù)為背景。④歸納猜想的關(guān)鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進行適當(dāng)?shù)淖冃?，使?guī)律明朗化.⑤熟練掌握一些基本數(shù)列的通項公式，例如：數(shù)列-1，1，-1，1，?的通項公式為an(1)n；數(shù)列1，2，3，4，?的通項公式為ann；數(shù)列1，3，5，7，?的通項公式為21；ann數(shù)列2，4，6，8，?的通項公式為an2；n數(shù)列1，4，9，16，?的通項公式為ann2；數(shù)列1，1，1，1，?的通項公式為an1。234n舉一反三：【高清課堂：數(shù)列的概念與簡單表示法 379271數(shù)列知識的講解及配套練習(xí)】【變式】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)1,1,1,1, ?；(2)-1,1,-1,1,?；(3)1,-1,1,-1,?；(4)1，111?；，，,243(5)2，0，2，0，?.【答案】an1；an(1)n2；(3)a(1)n1；n(4)an(1)n11；n(5)an1(1)n1；類型二：通項公式的應(yīng)用例2（2015秋奇臺縣校級期中）已知數(shù)列{an}的通項公式是，寫出數(shù)列{an}的前5項．【思路點撥】利用數(shù)列的通項公式能寫出數(shù)列{an}的前5項．【解析】∵數(shù)列{an}的通項公式是，a1=﹣1+1=0，a2=1+2=3，a3=﹣1+3=2，a4=1+4=5，a5=﹣1+5=4．【總結(jié)升華】根據(jù)數(shù)列的通項公式，可以寫出數(shù)列的所有項。舉一反三：【變式1】（2014秋紅橋區(qū)期中）根據(jù)如圖所示的程序框圖，變量a每次賦值后的結(jié)果依次記作：a1、a2、?a?．如a=3?．a(chǎn)3n1=1，a2（Ⅰ）寫a3、a4、a5；（Ⅱ）猜想出數(shù)列{an}的一個通項公式；（Ⅲ）寫出運行該程序結(jié)束輸出的a值．（寫出過程）【解析】（Ⅰ）a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31（Ⅱ）猜想： an=2n﹣1（Ⅲ）當(dāng) n=11時，a＞2014，輸出a=2047.【變式2】根據(jù)下列數(shù)列 {an}的通項公式，寫出它的第五項 .（1）ann；（2）annsinn，2n12【答案】（1）5；（2）5.9例3．已知數(shù)列{an}的通項公式 an 3n 2,試問下列各數(shù)是否為數(shù)列 {an}的項，若是，是第幾項？(1)94 ；(2)71.【思路點撥】先假設(shè)是數(shù)列中的項， 可以列方程求解，若求解得到的腳標(biāo) n N，那么是數(shù)列中的項， 否則，不是.【解析】（1）設(shè)94 3n 2,解得n 32.故94是數(shù)列{an}的第32項.1（2）設(shè)71 3n 2，解得n 24 N.故71不是數(shù)列{an}的項.【總結(jié)升華】方程思想是解決數(shù)列中未知量的主要方法， n,an,d,Sn,a1中知三求二，就是采用了方程的思想.舉一反三：【變式】已知數(shù)列{an}的通項公式an(n1)(n2),（1）若an9900，試問an是第幾項？（2）56和28是否為數(shù)列{an}的項？【答案】（1）98項；（2）56是，28不是.類型三：遞推公式的應(yīng)用【高清課堂：數(shù)列的概念與簡單表示法379271例2】例4.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a11，an112)，寫出這個數(shù)列的前五項。(nan1【思路點撥】題中已給出{a}的第11，故可以依次寫出下列各項.項a11和遞推公式：an1nan1a11，a2112，a3131158【解析】據(jù)題意可知：a11，a4a33，a5a225故數(shù)列的前5項為:1，2，3，5，8.235【總結(jié)升華】遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫出數(shù)列的所有項。舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{an}滿足：a11，a23，an2an12an(n1)，寫出前6項.【答案】a11，a23，a35，a411，a521，a643.【變式2】已知數(shù)列{a}滿足：a12，an12an，寫出前5項，并猜想an．n【答案】法一：a12，a22222，a322223，觀察可得an2n法二：由an12an，∴an2an1an2即an1anan1an2a2n1∴an2an3a12an1∴aa2n12nn1類型四：前n項和公式Sn與通項an的關(guān)系例5．已知數(shù)列{an}的前n項和公式Sn，求通項an.（1）Sn2n2n1，(2)Snlog2(n1).【思路點撥】先由n2時，anSnSn1，求出a；再由當(dāng)n1時，aS，求出a，并驗證a是否符合所求n1111出的an.【解析】(1)當(dāng)n2時，anSnSn1(2n2n1)[2(n1)2(n1)1]4n3，當(dāng)n1時，a1S1212112413，∴an2,(n1)4n3,(n2且nN*)(2)當(dāng)n2時，anSnSn1log2(n1)log2nlog2n1n，11當(dāng)n1時，a1S1log2(11)1log2，1∴anlog2n1(nN)為所求.n【總結(jié)升華】已知S求出a依據(jù)的是S的定義：Saa...a，分段求解，然后檢驗結(jié)果能nnnn12n否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數(shù)的形式.舉一反三：【變式1】（海淀區(qū)2015年高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an0(nN)，又anan1Sn,則a3a1?！敬鸢浮恳驗閍1a2S1a1,解得a21,又a2a3S2a1a2,解得a3a11.【變式2】已知數(shù)列{an}的前n項積Snn2，求通項an【答案】當(dāng)n2時，anSnn2，Sn1n1當(dāng)n1時，a1S112312，113,(n1)∴an2且*.nn)n,(n2N1