三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分．如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等．范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等．

圖1-5建模步驟示意圖三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用備注①簡(jiǎn)單應(yīng)用——學(xué)以致用，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題②數(shù)學(xué)模型——具體的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系③三角函數(shù)模型——三角函數(shù)關(guān)系函數(shù)模型的應(yīng)用示例1、物理情景——①簡(jiǎn)單和諧運(yùn)動(dòng)②星體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)2、地理情景——

①氣溫變化規(guī)律②月圓與月缺3、心理、生理現(xiàn)象——①情緒的波動(dòng)②智力變化狀況③體力變化狀況4、日常生活現(xiàn)象——①漲潮與退潮②股票變化…………正弦型函數(shù)例題1下圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？（2）從O點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從A點(diǎn)算起呢？（3）寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式。OA2BCDFEy/cmx/s0.40.81.2如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（１）求這一天6～14時(shí)的最大溫差。（２）寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式。注意——

一般的，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫(huà)這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況，因此要特別注意自變量的變化范圍。例題２o10861214102030t/hT/oC解：（1）觀察圖象可知，這段時(shí)間的最大溫差是20oC。（2）從圖中可以看出，從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個(gè)周期的圖象，所以因?yàn)辄c(diǎn)（6，10）是五點(diǎn)法作圖中的第四點(diǎn)，故故，所求函數(shù)解析式為如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)是北緯40o）的一幢高為ho的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？例題３分析：根據(jù)地理知識(shí)，能夠被太陽(yáng)直射到的地區(qū)為——南，北回歸線之間的地帶。畫(huà)出圖形如下，由畫(huà)圖易知ABCh0M解：圖中Ａ、Ｂ、Ｃ分別為太陽(yáng)直射北回歸線、赤道、南回歸線時(shí)樓頂在地面上的投影點(diǎn)。要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽(yáng)直射南回歸線的情況來(lái)考慮，依題意兩樓之間的距離應(yīng)不小于MＣ。根據(jù)太陽(yáng)高度角的定義有所以即在蓋樓時(shí)，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)與樓高兩倍的間距。練習(xí)：市的緯度是北緯230，小王想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高7層，每層3米，樓與樓之間相距15米。要使所買樓層在一年四季正午太陽(yáng)不被前面的樓房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？A南樓北C3層以上返回太陽(yáng)高度角的定義如圖，設(shè)地球表面某地緯度值為，正午太陽(yáng)高度角為，此時(shí)太陽(yáng)直射緯度為那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值。太陽(yáng)光地心北半球南半球返回返回太陽(yáng)光直射南半球太陽(yáng)光地心例4：海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻0.003.006.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0（1）選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值（精確到0.001）。xyO3691215182124246解：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并用平滑的曲線連接。根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)刻畫(huà)水深與時(shí)間的關(guān)系。從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：

A=2.5，h=5，T=12，由時(shí)刻0.001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深時(shí)刻12.0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深7.165從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：

A=2.5，h=5，T=12，由時(shí)刻0.001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時(shí)刻12.0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？xyO3691215182124246（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5（米），所以當(dāng)y≥5.5時(shí)就可以進(jìn)港.令化簡(jiǎn)得由計(jì)算器計(jì)算可得解得因?yàn)椋杂泻瘮?shù)周期性易得因此，貨船可以在凌晨零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30分左右出港；或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港，下午17時(shí)30分左右出港，每次可以在港口停留5小時(shí)左右。解：（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)候必須停止卸貨，將船駛向較深的水域。xyO36912152462解：（3）設(shè)在時(shí)刻x船舶的安全水深為y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在6時(shí)到7時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn).通過(guò)計(jì)算可得在6時(shí)的水深約為5米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.1米；7時(shí)的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安全，船舶最好在6.5時(shí)之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域。小結(jié):1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來(lái)研究很多問(wèn)題,我們可以通過(guò)建立三角函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,如天氣預(yù)報(bào),地震預(yù)測(cè),等等.2.建立三角函數(shù)模型的一般步聚:搜集數(shù)據(jù)利用計(jì)算機(jī)作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合得出函數(shù)模型利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題練習(xí)：下表是城市1973—2002年月平均氣溫（華氏°)c月份12345