第4節(jié) 指數(shù)函數(shù)

第4節(jié)指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)專項(xiàng)突破知識(shí)鏈條完善考題專項(xiàng)突破2.如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系如何?你能得到什么規(guī)律?提示:圖中直線x=1與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值,即c1>d1>1>a1>b1,所以c>d>1>a>b.一般規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低),其底數(shù)越大.3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在其定義域上單調(diào)性如何?提示:當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí),y=ax在R上單調(diào)遞增.知識(shí)梳理1.根式xn=a2.有理數(shù)指數(shù)冪3.無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.4.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)(0,+∞)y=11.指數(shù)函數(shù)圖象的對稱規(guī)律函數(shù)y=ax的圖象與y=a-x的圖象關(guān)于y軸對稱,y=ax的圖象與y=-ax的圖象關(guān)于x軸對稱,y=ax的圖象與y=-a-x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.2.對于函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1),由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的定義域是R,因此滿足f(x)有意義的自變量x的取值范圍是函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域.設(shè)u=f(x),求出函數(shù)u=f(x)的值域E,則函數(shù)y=au(u∈E)的值域是函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.3.形如a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式,常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解,但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.對點(diǎn)自測C2.(2016·沈陽模擬)函數(shù)y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)(A)(2,2) (B)(2,4) (C)(1,2) (D)(1,3)D解析:因?yàn)閍0=1,所以令x-1=0,所以ax-1+2=3,所以函數(shù)y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).B4.導(dǎo)學(xué)號(hào)16452048函數(shù)y=2-|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,0)(C)(0,+∞) (D)不存在B解析:函數(shù)y=2-|x|的大致圖象如圖所示.由圖象可知其遞增區(qū)間為(-∞,0).選B.答案:②

指數(shù)冪的運(yùn)算考點(diǎn)一【例1】求值與化簡:(2)·

.反思?xì)w納

指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答.提醒:運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)二【例2】

(1)(2016深圳模擬)若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示,則(

)(A)0<a<1,-1<b<0 (B)0<a<1,0<b<1(C)a>1,0<b<1 (D)a>1,-1<b<0解析:(1)由圖象可以看出,函數(shù)為減函數(shù),故0<a<1,因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象過定點(diǎn)(0,1),函數(shù)y=ax+b的圖象過定點(diǎn)(0,1+b),由圖象知0<1+b<1,所以-1<b<0,故選A.(2)已知關(guān)于x的方程|2x-1|=k,則下列說法錯(cuò)誤的是(

)(A)當(dāng)k>1時(shí),方程的解的個(gè)數(shù)為1個(gè)(B)當(dāng)k=0時(shí),方程的解的個(gè)數(shù)為1個(gè)(C)當(dāng)0<k<1時(shí),方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)(D)當(dāng)k=1時(shí),方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)反思?xì)w納

指數(shù)函數(shù)圖象可解決的兩類熱點(diǎn)問題及思路(1)求解指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解常利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象,然后數(shù)形結(jié)合使問題得解.(2)求解指數(shù)型方程、不等式問題含參數(shù)的指數(shù)型方程、不等式問題的求解,常利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.【拓展訓(xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b均為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:(1)由函數(shù)圖象知0<a<1,又當(dāng)x=0時(shí),a-b<1,即a-b<a0,所以-b>0,即b<0,選D.答案:(1)D(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是

..

解析:(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示,由圖象可得:如果|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿足的條件是b∈[-1,1].答案:(2)[-1,1]指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)三考查角度1:利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小【例3】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.3,則(

)(A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)b>c>a解析:由y=0.4x在R上是減函數(shù)知0.40.2>0.40.3,此時(shí)b>c.又a=20.2>20=1,且0.40.2<1知a>b,綜上可知a>b>c,故選A.反思?xì)w納

(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大小;(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”等中間量比較大小.考查角度2:簡單的指數(shù)方程或不等式答案:(-∞,-1]∪[4,+∞)反思?xì)w納

簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題.解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.考查角度3:利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域【例5】

(2015·山東卷)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

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反思?xì)w納

由于指數(shù)函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù),因此涉及指數(shù)函數(shù)的值域問題,常借助其單調(diào)性求解,當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時(shí)要分類討論.考查角度4:含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)問題【例6】若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)反思?xì)w納

指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題.在解決涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或最值問題時(shí),應(yīng)注意對底數(shù)a的分類討論.考查角度5:指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題反思?xì)w納

形如f(x)=a2x+b·ax+c(ab≠0)的函數(shù)性質(zhì)問題常用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)求解.備選例題【例2】設(shè)a>0且a≠1,函數(shù)y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則a的值為

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【例3】已知函數(shù)f(x)=.(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)